八整式的乘除講義-整章

1、 一 整式的乘除 一、同底數(shù)冪的乘法1同底數(shù)冪的乘法法則同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：（m，n都是正整數(shù)）。這個(gè)公式的特點(diǎn)是：左邊是兩個(gè)或兩個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘，右邊是一個(gè)冪，指數(shù)相加。注意：（1）同底數(shù)冪的乘法中，首先要找出相同的底數(shù)，運(yùn)算時(shí)，底數(shù)不變，直接把指數(shù)相加，所得的和作為積的指數(shù).（2） 在進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算時(shí)，如果底數(shù)不同，先設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為相同的底數(shù)，再按法則進(jìn)行計(jì)算.公式拓展：= ?！镜湫屠}】例1：計(jì)算：（1）； （2）； （3）例2：計(jì)算：（1） （2）（3） （4）總結(jié) 例3、計(jì)算： 例4：已知，用含m的代數(shù)式表示?！咀兪骄毩?xí)】 (1) 2(-3) (2) (

2、-)23 (3) 2(-)2(-)3 (4) (-2)(-)2(-3)(-)3(5) (6)x4m x4+m(-x)(7) x6(-x)5-(-x)8 (-x)3 (8) -3(-)4(-)52 逆用同底數(shù)冪的法則逆用法則為：（m、n都是正整數(shù)）【典型例題】1（1）已知xm=3，xn=5，求xm+n。 （2）：已知xm=3，xn=5，求x2m+n；（3）：已知xm=3，x2m+n=36，求xn?！咀兪骄毩?xí)】1、已知， ，試求的值。2、已知，則，3、若為正整數(shù)，且求的值。二冪的乘方（重點(diǎn)）冪的乘方是指幾個(gè)相同的冪相乘，如是三個(gè)相乘，讀作a的五次冪的三次方。冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相

3、乘。即（m，n都是正整數(shù)）?！镜湫屠}】例1、填空：例2、計(jì)算： 例3、已知?jiǎng)t例4、例5、，則，例6、將化成指數(shù)相同的冪的形式，并比較它們的大小。 若，試?yán)蒙鲜龇椒ū容^大小例7、已知，試求的值。例8、已知【變式練習(xí)】1、 填空： 2、 若，則3、 ，則4、 計(jì)算：5、 試比較的大小。三積的乘方（重點(diǎn)）1.積的乘方的意義：指底數(shù)是乘積形式的乘方。如：積的乘方法則：積的乘方，等于把積得每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。如：注：法則中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；運(yùn)用該法則時(shí)，注意系數(shù)為-1時(shí)的“-”號(hào)的確定；三個(gè)或三個(gè)以上因式的乘方，也具有這一性質(zhì)；該法則可逆用，即 ，逆向運(yùn)用

4、可將算式靈活性變形或簡(jiǎn)化計(jì)算。法則的推導(dǎo)【典型例題】例1、填空：例2、計(jì)算： 2. 逆用公式和推廣（1）公式可以逆用，（m，n是正整數(shù)），例如：（2）底數(shù)為三個(gè)或三個(gè)以上的因數(shù)時(shí)，也可以運(yùn)用此法則，即（n是正整數(shù)）（3）當(dāng)運(yùn)用積的乘方法則計(jì)算時(shí)，若底數(shù)互為倒數(shù)，則可適當(dāng)變形?！镜湫屠}】例3、已知，求的值例4、計(jì)算： 例5、已知例6、計(jì)算： 【變式練習(xí)】1：計(jì)算（1）； （2）； （3）2：已知，求的值。3：計(jì)算 （1）； （2）四單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（重點(diǎn)）法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式例含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。注意：1.單項(xiàng)式

5、與單項(xiàng)式相乘時(shí)，要先把各個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)相乘，作為積的系數(shù)，要注意系數(shù)的符號(hào)2.相同字母相乘時(shí)，實(shí)際上就是按照同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行，即底數(shù)不變，指數(shù)相加3.對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，一定要把它連同指數(shù)寫在積中，作為積的因式，切記不要將它漏掉4.單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用5.單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式【典型例題】例1：計(jì)算（1）; (2) ;(3) 【變式練習(xí)】1. 計(jì)算：（1） （2）4y（2xy2）； （3）（2m2n）2+（mn）（m3n） （4）.(-3/2ab)(-2a)(-2/3a2b2)（5）.(2105)2(4103) （6）.(-4xy)(-x2

6、y2)(1/2y3)（7） .(-1/2ab2c)2(-1/3ab3c2)3(12a3b) （8）.(-2xn+1yn)(-3xy)(-1/2x2z)（9） x2y（3xy2z）（2xy2） （10）（x3）2（3xy）（2y2）3 五.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘（重點(diǎn)）法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。用式子表示為（m，a，b，c都是單項(xiàng)式）。注意：1.法則中的每一項(xiàng)的含義是不重不漏的2.在運(yùn)算過程中，要注意各項(xiàng)的符號(hào)，尤其是負(fù)號(hào)的情形3.非零單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的結(jié)果仍是一個(gè)多項(xiàng)式，積的項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同【典型例題】例1.計(jì)算 （1） （2）（3）

7、 例2.化簡(jiǎn) 例3.已知：，求代數(shù)式的值. 例4.已知：，求m. 【變式練習(xí)】1.(1)(3a5b-4a2b3-6ab4)； (2) ；（3）(3x2myn-3-5xmy2n+1)(-4xm-2y5)；2化簡(jiǎn)求值：-ab（a2b5-ab3-b），其中ab2=-2。6；多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（1）多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則是由單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則求出，因此兩個(gè)多項(xiàng)式相乘只要把其中一個(gè)多項(xiàng)式看作單項(xiàng)式即可。例如(a+b)(c+d)可以將(a+b)看成單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則去計(jì)算。如： =(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd。（2）為避免丟項(xiàng)，也可以用第一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)依次去乘第二個(gè)

8、多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，在沒有合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)等于這兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)之積。如： =ac+bc+ad+bd。項(xiàng)數(shù)為22=4項(xiàng)。（3）對(duì)于型如(x+a)(x+b)的積要注意它的特殊性，即(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab, 這就是說，含有一個(gè)相同字母的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘，得到的積是同一個(gè)字母的二次三項(xiàng)式。注意：1.必須做到不重不漏，計(jì)算時(shí)按一定的順序2.應(yīng)確定積中每一項(xiàng)的符號(hào)3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，如有同類項(xiàng)要合并【典型例題】例1 計(jì)算：( a- b)( a+ b)例2化簡(jiǎn)求值：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x2-5x+17) ，其中 x=5

9、 .例3當(dāng)(x2+mx+8)(x2-3x+n)展開后，如果不含x2和x3的項(xiàng)，求出(-m)3n的值。 例4計(jì)算：(3x3-2-5x)(6-7x+2x2)【變式練習(xí)】1.計(jì)算：(1) ； (2)；(3)； (4) ； (5)； (6) .2先化簡(jiǎn)，再求值：，其中3.某同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式乘以-3x2時(shí)，因抄錯(cuò)符號(hào)，算成了加上-3x2，得到的答案是x2-0.5x+1，那么正確的計(jì)算結(jié)果是多少？4.已知：，且 異號(hào)，是絕對(duì)值最小的負(fù)整數(shù)，求3AB-AC的值.5若（x2+mx+8）（x2-3x+n）的展開式中不含x3和x2項(xiàng)，求m和n的值二、乘法公式1平方差公式（重點(diǎn)）平方差公式：即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)

10、數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做平方差公式。歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式： 位置變化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符號(hào)變化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指數(shù)變化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系數(shù)變化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 換式變化，xy+(z+m)xy-(z+m) 增項(xiàng)變化，(x-y+z)(x-y-z) =(xy)2-(z+m)2 =(x-y)2-z2 =x2y2-(z+m)(z+m) =(x-y)(x-y)-z2 =x2y2-(z2+zm+zm+m2) =x2-xy-xy+y2-z2 =x2y2-z2

11、-2zm-m2 =x2-2xy+y2-z2 連用公式變化，(x+y)(x-y)(x2+y2) 逆用公式變化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x2-y2)(x2+y2) = (x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =x4-y4 =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz一、：平方差公式及其逆用【典型例題】1：求解下列各式.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） 6(7+1)(7+1)(7+1)(7+1)+1 （8）（9）例題2：1949-1950+1951-1952+1999-2000【變式練習(xí)】1 計(jì)算: (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)

12、 ； (6) ；7） （8） ； (9) ； (10) 79.980.1.2.如果，且，則= 2完全平方公式（重點(diǎn)）完全平方公式即兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積得2倍。這兩個(gè)公式叫做（乘法的）完全平方公式1：完全平方公式其逆用【典型例題】例題1：求解下列各式.（1）位置變化： （2）符號(hào)變化：（3）數(shù)字變化： （4）方向變化：（5）項(xiàng)數(shù)變化： （6）公式變化2完全平方公式的運(yùn)用例題4：已知：，求：；例題5例題6已知=0， 求的值； 求的值.例題7若，則 .【變式練習(xí)】1234563逆用1、若，則.2、若是關(guān)于的完全平方式，則.3、多項(xiàng)式x2+kx+25是另一個(gè)多項(xiàng)式

13、的平方，則k= .4、已知， 求的值.5、已知，求的值4配方法例題1：已知：x+y+4x-2y+5=0，求x+y的值.【變式練習(xí)】1.已知x+y-6x-2y+10=0，求的值.2.已知x+y+6x+8y+25=0，求x-y的值.3.已知：x+y+z-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z的值.4.已知：x+y+=2x+y,求：的值. 5解方程 6如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求a+b的值.7已知：，求：的值.考點(diǎn)連接題型一：乘法公式在解方程和不等式組中的應(yīng)用解方程：題型二：應(yīng)用完全平方公式求值設(shè)m+n=10，mn=24，求的值。題型三：巧用乘法公式簡(jiǎn)算計(jì)算：（1）； （2

14、）題型四：利用乘法公式證明對(duì)任意整數(shù)n，整式是不是10的倍數(shù)？為什么？題型五：乘法公式在幾何中的應(yīng)用已知ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，試判斷ABC的形狀。整式的除法1.同底數(shù)冪的除法法則: 同底數(shù)冪相除,底數(shù) ,指數(shù) . 即 (a0,m,n都是正整數(shù),并且mn) 零指數(shù)冪: 任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于 . 即 ，其中要求a不能為 ?！窘?jīng)典例題】（1）. . . . 若，則x= .（2）. （3）. （4）. （5）. （6）2.若，求。2單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商式的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式注：系數(shù)先相除，所得的結(jié)果作為商的系

15、數(shù)，特別注意系數(shù)包括前面的性質(zhì)符號(hào)被除式里單獨(dú)有的字母及其指數(shù)，作為商的一個(gè)因式，不要遺漏要注意運(yùn)算的順序，有乘方先算乘方，有括號(hào)先算括號(hào)里特別是同級(jí)運(yùn)算一定要從左至右，【經(jīng)典例題】(1)14a32a （2)-8ab32ab2 (3)-16a3c4a3 (4)-2a2b2c 3（-3ab）2 (5)（6106) （2104） (6)【變式練習(xí)】(1) (2)(-0.5a2bx2) 3(-ax2) 2； (3)(4109)(-2103) (4)3.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。 注：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式所得商的項(xiàng)數(shù)與這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同

16、用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式時(shí)，商中的每一項(xiàng)的符號(hào)由多項(xiàng)式中的每項(xiàng)的符號(hào)與單項(xiàng) 式的符號(hào)共同確定【經(jīng)典例題】（1） (2) （3）（2xy）8x2x【變式練習(xí)】(1)(8a3b-16a2b2)4ab； (2) (y3-7xy2+y5)y2 (3) (25x2+15x3y-20x4)(-5x2)； （4） 因式分解一、提公因式法.知識(shí)點(diǎn)1：分解因式的定義 1分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)_整式的乘的積，這種變形叫做分解因式，它與整式的 乘法互為逆運(yùn)算。分解因式需知； （1）只有多項(xiàng)式才能夠分解因式，單項(xiàng)式不能分解因式 （2）結(jié)果必須是整式，不能有分式出現(xiàn) （3）結(jié)果必須是積的形式 【經(jīng)典例題】 判

17、斷下列從左邊到右邊的變形是否為分解因式： （ ） （ ） （ ） （ ）知識(shí)點(diǎn)2：公因式公因式： 定義：我們把多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。 公因式的確定： （1）符號(hào): 若第一項(xiàng)是負(fù)號(hào)則先把負(fù)號(hào)提出來（提出負(fù)號(hào)后括號(hào)里每一項(xiàng)都要變號(hào)） （2）系數(shù)：取系數(shù)的最大公約數(shù)； （3）字母：取字母（或多項(xiàng)式）的指數(shù)最低的； （4）所有這些因式的乘積即為公因式； 【經(jīng)典例題】：1_2多項(xiàng)式分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（ ） ABCD 3. 的公因式是_知識(shí)點(diǎn)3：用提公因式法分解因式 提公因式法分解因式：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化

18、成幾個(gè)因式的乘積，這種分解因式的方法叫做提公因式法。1可以直接提公因式的類型： （1）=_；（2） =_（3） （3）=_ （4）不解方程組，求代數(shù)式的值2.式子的第一項(xiàng)為負(fù)號(hào)的類型：（1） =_ =_（2）若被分解的因式只有兩項(xiàng)且第一項(xiàng)為負(fù)，則直接交換他們的位置再分解（特別是用到平方差公式時(shí)）如： 【變式練習(xí)】1多項(xiàng)式:的一個(gè)因式是,那么另一個(gè)因式是( ) C D.2.分解因式5(yx)310y(yx)33. 公因式只相差符號(hào)的類型：公因式相差符號(hào)的，要先確定取哪個(gè)因式為公因式，然后把另外的只相差符號(hào)的因式的負(fù)號(hào)提出來，使其統(tǒng)一于之前確定的那個(gè)公因式。（若同時(shí)含奇數(shù)次和偶數(shù)次則一般直接調(diào)換偶

19、數(shù)次里面的字母的位置，如 【經(jīng)典例題】 ( 1)（ba）2+a（ab）+b（ba）( 2)（a+bc）（ab+c）+（ba+c）（bac）（3）【變式練習(xí)】：1.將下列各式分解因式 （1）2x24x （2）8m2n+2mn （3）a2x2yaxy2 （4）3x33x29x （5）24x2y12xy2+28y3 （6）4a3b3+6a2b2ab （7） (8) （9） (10) （11） (12) （13） (14) 2.利用因式分解進(jìn)行計(jì)算 （1）1210.13+12.10.9121.21 （2）2.3413.2+0.6613.226.4二，公式法分解因式 公式法分解因式：如果把乘法公式反過來

20、，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。一、平方差公式分解因式法 平方差公式：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。即a2-b2=(a+b)(a-b)特點(diǎn)：a.是一個(gè)二項(xiàng)式，每項(xiàng)都可以化成整式的平方. b.兩項(xiàng)的符號(hào)相反.例如：1、判斷能否用平方差公式的類型（1）下列多項(xiàng)式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a2+b2 (B)-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2（2）下列各式中，能用平方差分解因式的是（ ）A B C D2、直接用平方差的類型（1） （2） （3） 3、整體的類型：（1） （2）4、提公因式法和平方差公

21、式結(jié)合運(yùn)用的類型(1)m34m= (2) 【變式練習(xí)】（1） (2)100x281y2；(3)9(ab)2(xy)2；（4） （5） （6） （7）二、完全平方式分解因式法完全平方公式：兩個(gè)數(shù)的平方和，加上（或減去）這兩數(shù)的乘積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。即 a2+2ab+b2=(a+b)2 ; a2-2ab+b2=(a-b)2特點(diǎn)：（1）多項(xiàng)式是三項(xiàng)式；（2）其中有兩項(xiàng)同號(hào)，且此兩項(xiàng)能寫成兩數(shù)或兩式的平方和的形式；（3）另一項(xiàng)是這兩數(shù)或兩式乘積的2倍.1、判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否可用完全平方公式進(jìn)行因式分解【例題】：下列多項(xiàng)式能分解因式的是（ ）A B C D2、關(guān)于求式子中的未知數(shù)的問題【例題】：1若多項(xiàng)式是完全平方式，則k的值為（ ） A4 B4 C8 D4 2若是關(guān)于x的完全平方式，則k= 3.若是關(guān)于x的完全平方式則m=_ 3、直接用完全平方公