13-1-3菱形的性質及判定.講義學生版

1、I菱形的性質及判定2UL1厘中考要求知識點A要求B要求C要求菱形會識別菱形掌握菱形的概念、性質和判定，會用菱形的性質和 判定解決簡單問題會用菱形的知識解決有關 問題.；L Hr知識點睛1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2 .菱形的性質菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質，？還具有自己獨特的性質： 邊的性質：對邊平行且四邊相等. 角的性質：鄰角互補，對角相等. 對角線性質：對角線互相垂直平分且每條對角線平分一組對角; 對稱性：菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形:.菱形的面積等于底乘以咼，等于對角線乘積的一半.點評：其實只要四邊形的對角線互相垂直，其面積就等于對角線

2、乘積的一半.3.菱形的判定判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.判定：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.判定：四邊相等的四邊形是菱形.4 .三角形的中位線中位線：連結三角形兩邊的中點所得的線段叫做三角形的中位線.也可以過三角形一邊的中點作平行于三角形另外一邊交于第三邊所得的線段也是中位線.以上是中位線的兩種作法，第一種可以直接用中位線的性質，第二種需要說明理由為什么是中 位線，再用中位線的性質.定理：三角形的中位線平行第三邊且長度等于第三邊的一半.削1住 重、難點重點是菱形的性質和判定定理。菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先她是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是有一組鄰邊相等

3、”，因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊 形的判定方法。菱形的這些性質和判定定理即是平行四邊形性質與判定的延續(xù)，又是以后要學習的正方形 的基礎。難點是菱形性質的靈活應用。由于菱形是特殊的平行四邊形，所以它不但具有平行四邊形的性質， 同時還具有自己獨特的性質。如果得到一個平行四邊形是菱形，就可以得到許多關于邊、角、對角線的條 件，在實際解題中，應該應用哪些條件，怎樣應用這些條件，常常讓許多學生手足無措， 教師在教學過程 中 應給予足夠重視。目till住 例題精講板塊一、菱形的性質【例1】菱形的兩條對角線將菱形分成全等三角形的對數(shù)為在平面上，一個菱形繞它的中心旋轉，使它和原來的菱形重合，那么

4、旋轉的角度至少是16cm若墻上釘子間的距離AB =BC =16cm，則【例2】 如圖2, 活動菱形衣架中，菱形的邊長均為F分別是AB、 1度.如圖，在菱形 ABCD中，.A =60 , E、的邊長是C【例3】 如圖，E是菱形ABCD的邊AD的中點，EF _ AC于H，交CB的延長線于F ,交AB于P , 證明：AB與EF互相平分.FC【例4】 如圖1所示，菱形ABCD中，對角線AC、 長為24，則0H的長等于 .BD相交于點O, H為AD邊中點，菱形 ABCD的周D圖1【鞏固】 如圖，已知菱形 ABCD的對角線 AC =8cm , BD =4cm , DE _ BC于點E，則DE的長為【例引

5、菱形的周長為20cm，兩鄰角度數(shù)之比為 2:1，則菱形較短的對角線的長度為【鞏固】 如圖2，在菱形ABCD中,A. 5B. 10AC =6 , BD =8，則菱形的邊長為（【鞏固】EP _ CD于點P，則如圖3，在菱形 ABCD中，.A=110 , E、F分別是邊 AB和BC的中點,FPC 二()A. 35B. 45C. 50D. 55【例6】【鞏固】【鞏固】如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，為了得到一個銳角為60的菱形，剪口與折痕所成的角:-的度數(shù)應為（）A. 15 或 30 B . 30 或 45 C . 45 或 60 D . 30 或 60菱形ABCD中，E、F分別是B

6、C、CD的中點，且AE _ BC , AF _CD ,那么.EAF等于如圖，將一個長為10cm，寬為8cm的矩形紙片對折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點的連線（虛 線）剪下，再打開，得到的菱形的面積為（）2 2 2 2A. 10cmB . 20cmC. 40cmD. 80cmC【例7】【例8】已知菱形ABCD的兩條對角線 AC , BD的乘積等于菱形的一條邊長的平方，則菱形的一個鈍角的 大小是如圖，菱形花壇 ABCD的周長為20m , . ABC =60 , ?沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長和花壇的面積.C 圖2D【例9】 已知，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的

7、點，若AE=AF=EF=AB，求.C的度數(shù).板塊二、菱形的判定【例10】如圖，如果要使平行四邊形是.ABCD成為一個菱形，需要添加一個條件，那么你添加的條件A【例11】如圖，在 ABC中，BD平分ZABC , BD的中垂線交 AB于點E，交BC于點F，求證：四邊形BEDF是菱形【鞏固】已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線 AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于E求證：四邊形AFCE是菱形.【例12】如圖，在梯形紙片 ABCD中，AD/BC , AD CD，將紙片沿過點 D的直線折疊，使點 C落在 AD上的點C處，折痕DE交BC于點E，連結C E .求證：四邊形CDC E是菱形.A C【例1

8、3】如圖，E是菱形ABCD的邊AD的中點，EF _ AC于H，交CB的延長線于F ,交AB于P，證 明：AB與EF互相平分【鞏固】 已知：如圖，在平行四邊形 ABCD中，AE是BC邊上的高，將 ABE沿BC方向平移，使點E與 點C重合，得 GFC .若.B =60，當AB與BC滿足什么數(shù)量關系時，四邊形ABFG是菱形？證明你的結論.【例14】如圖，在UABC中，AB =AC , M是BC的中點.分別作MD _ AB于D , ME _ AC于E , DF _ AC 于F , EG丄AB于G . DF、EG相交于點P .求證：四邊形 DMEP是菱形.【例15】如圖，厶ABC中，.ACB =90 ,

9、 AD是.BAC的平分線，交BC于D , CH是AB邊上的高，交AD 于F , DE丄AB于E，求證：四邊形 CDEF是菱形.C【鞏固】 如圖，M是矩形ABCD內的任意一點，將.MAB沿AD方向平移，使 AB與DC重合，點M移動 到點M 的位置畫出平移后的三角形；連結MD , MC , MM ，試說明四邊形 MDM C的對角線互相垂直，且長度分別等于AB, AD的長；當M在矩形內的什么位置時，在上述變換下，四邊形MDM C是菱形？為什么？三、與菱形相關的幾何綜合題【例16】已知等腰 ABC中，AB二AC，AD平分.BAC交BC于D點，在線段AD上任取一點P（ A點 除外），過P點作EF II

10、AB，分別交AC、BC于E、F點，作PM / AC，交AB于M點，連 結ME .求證四邊形AEPM為菱形當P點在何處時，菱形 AEPM的面積為四邊形 EFBM面積的一半？B【例17】問題：如圖1在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A , B , E在同一條直線上， P是線段DF的中點，連結PG , PC 若ZABC ./BEF =60，探究PG與PC的位置關系及PG的值.PC小聰同學的思路是：延長 GP交DC于點H，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決.請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題： 寫出上面問題中線段 PG與PC的位置關系及 PG的值；PC將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉

11、，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊 AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）.你在中得到的兩個結論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.若圖1中.ABC BEF =20 ： : ：: 90 ,將菱形BEFG繞點B順時針旋轉任意角度，原問題中的其他條件不變，求PG的值（用含:的式子表示）PC四、中位線與平行四邊形【例18】順次連結面積為 20的矩形四邊中點得到一個四邊形，再順次連結新四邊形四邊中點得到一 個，其面積為.【鞏固】 如圖，在四邊形 ABCD中，AB =CD , E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點,要使四邊形EFGH是菱形，四邊形 ABCD還滿

12、足的一個條件是 ，并說明理由.【例19】在四邊形ABCD中，AB =CD , P , Q分別是AD、BC的中點，M , N分別是對角線 AC , BD 中點，證明：PQ與MN互相垂直.Q【鞏固】 四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點，E、F分別是AP、RP的中點，當點P在CD 上從C向D移動而點R不動時，那么下列結論成立的是（）A. 線段EF的長逐漸增大B. 線段EF的長逐漸減小C. 線段EF的長不變D. 線段EF的長與點P的位置有關【例20】如圖，ABC中，AD是EBAC的平分線， CE _ AD于E , M為BC的中點， AB=14cm ,AC =10cm，貝U ME的長為【鞏固

13、】 如圖，四邊形ABCD中，AB二CD , E , F分別是BC , AD的中點，連結EF并延長，分別交BA, CD的延長線于點 G, H，求證：.BGE =. CHEB【鞏固】如圖，四邊形ABCD中，E , F分別是邊AB , CD的中點，貝U AD , BC和EF的關系是（)A. AD BC 2EFB .AD BC 2EFC. AD BC ：2EFD.AD BC W 2EFE【例21】已知如圖所示，E、F、G、H分別是四邊形 ABCD的四邊的中點，求證：四邊形 EFGH是平 行四邊形.【鞏固】 如圖，在四邊形 ABCD中，E為AB上一點，.ADE和.BCE都是等邊三角形， AB、BC、CD

14、、DA的中點分別為P、Q、M、N，證明四邊形PQMN為平行四邊形且PQ=PN .【例22】如圖，四邊形 ABCD中，AB =CD, E , F ,G,H分別是 AD , BC , BD , AC的中點，求證：EF , GH 相互垂直平分【鞏固】求證:ABC的三條中線分別為 AD、BE、CF , H為BC邊外一點，且 BHCF為平行四邊形,AD II EH .CDH【例23】在平行四邊形ABCD的對角線BD上取一點E，使BE 1DE ,連接AE并延長與DC的延長線交3于 F，貝U CF =2AB .圖1【鞏固】 如圖，ABC中，E、F分別是AB、BC的中點，G、H是AC的三等分點，連結并延長 E

15、G、 FH交于點D .求證：四邊形 ABCD是平行四邊形.【例24】如圖，在四邊形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，BD =AC , BD和AC相交于點0 ,MN分別與 AC、BD相交于E、F，求證：OE =0F .【鞏固】 如圖，線段AB, CD相交于點0 ,且AB D，連結AD , BC , E , F分別是AD , BC的中點，EF分另交AB, CD于M , N，求證：OM =0NBCAED【例25】如圖，梯形ABCD中，AD / BC , AB二CD ,對角線 AC , BD相交于點 0 , AOD =60 , E, F , G 分別是OA, OB , CD的中點，求證：厶EF

16、G是等邊三角形【鞏固】如圖,求證：四邊形兩組對邊中點連線與兩對角線中點連結這三條線共點.FB【例26】如圖，O是平行四邊形 ABCD內任意一點，E, F , G, H分別是OA, OB, OC, OD的中點.若DE , CF 交于 P , DG , AF 交于 Q , AH , BG 交于 R, BE , CH 交于 S，求證：PQ=SR.i也課后練習1.菱形周長為52cm，一條對角線長為10cm，則其面積為 2. 如圖，在菱形 ABCD 中，AB =4a ,E 在 BC 上，BE =2a , BAD =120 ,P 點在 BD 上，則 PE PC的最小值為3.已知菱形的一個內角為60，一條對角線的長為 2 3，則另一條對角線的長為 4.已知，菱形 ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且 B =/EAF =60，. BAE =18 .求:CEF的度數(shù).5. 如圖，在ABC中，AB