極限的性質(zhì)和運算法則

1、第三節(jié) 極限的性質(zhì)和運算法則,復(fù)習(xí)：先進一步理解極限的概念,1、數(shù)列的極限,變量Y以A為極限：不管你事先指定的一個數(shù)多么小，（刻畫Y與A的接近程度）在Y的變化過程中，總能找到一個時刻，自這個時刻以后，Y與A的接近程度比你事先指定的那個數(shù)還要小,顯然，你指定的數(shù)越小，總能找到的N就越向后面去（越大,所有極限概念一律用下面一段話來理解,你事先指定的 越小，你找到的 也越大,0,X,Y,A,你事先指定的 越小，你找到的 也越小,二、收斂數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)1(極限的唯一性) 如果數(shù)列xn收斂 那么它的極限唯一,性質(zhì)2(收斂數(shù)列的有界性,如果數(shù)列xn收斂 那么數(shù)列xn一定有界,性質(zhì)3(收斂數(shù)列的保號性)

2、如果數(shù)列xn收斂于a, 且a0(或a0) 那么存在正整數(shù)N 當(dāng)nN時 有xn0(或xn0,推論 如果數(shù)列xn從某項起有xn0(或xn0) 且數(shù)列xn收斂于a 那么a0(或a0,性質(zhì)1(函數(shù)極限的唯一性,性質(zhì)2(函數(shù)極限的局部有界性,如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界,性質(zhì)3(函數(shù)極限的局部保號性,如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么在x0的某一去心鄰域內(nèi) 有f(x)0(或f(x)0,如果當(dāng)xx0時f(x)的極限存在, 那么這極限是唯一的,如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0,推論,函數(shù)極限

3、的性質(zhì),2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB,推論1 如果lim f(x)存在 而c為常數(shù) 則 limcf(x)=climf(x,推論2 如果limf(x)存在 而n是正整數(shù) 則 limf(x)n=limf(x)n,法則一 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么,極限的四則運算法則,1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB,數(shù)列極限的四則運算法則,推論4：如果j(x)y(x) 而limj(x)=a limy(x)=b 那么ab,不等式,求極限舉例,例1,解,例2,解,解,例3,解,例4,消去“零”因子,極限不存在,討論,提示

4、,當(dāng)Q(x0)P(x0)0時 約去分子分母的公因式(xx0),先用x3去除分子及分母 然后取極限,解,先用x3去除分子及分母 然后取極限,例5,解,例6,討論,提示,例7,解,定理6(復(fù)合函數(shù)的極限運算法則,說明,設(shè)函數(shù)yfg(x)是由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成 fg(x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)u0 則,把定理中g(shù)(x)u0(xx0)換成g(x)(xx0或x) 而把f(u)A(uu0)換成f(u)A(u)可類似結(jié)果,定理6(復(fù)合函數(shù)的極限運算法則,設(shè)函數(shù)yfg(x)是由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成 fg(x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0)