2017 2018高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 12 排列與組合 1221 新人教A選修2 3

1、第,1,課時,組合與組合數(shù)公式,主題,1,組合與組合數(shù)的定義,1,給出下列兩個問題,1,從,5,人中選取,2,人分別擔(dān)任正、副班長,2,從,5,人中選取,2,人組成班委會,列出上述兩個問題中的所有可能情況,提示,分別用,a,b,c,d,e,表示這,5,個人,1,中所有可能,為,ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,ba,ca,da,ea,cb,db,eb,dc,ec,ed,共,20,種,2,中所有可能,ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共,10,種,2,針對問題,1,中的,2,你能否總結(jié)其特征,提示,從,5,個不同元素中任取,2,個元素組成一組,

2、不考慮,這兩個元素的順序,結(jié)論,1,組合,一般地,從,_,合成一,組,叫做從,_,的一個組合,n,個不同元素中取出m(mn)個元素,n,個不同元素中取出,m,個元素,2,組合數(shù),從,n,個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合,的,_,叫做從,n,個不同元素中取出,m,個元素的,_,用符號,_,表示,m,n,C,個數(shù),組合數(shù),微思考,1,從,a,b,c,d,中選取,2,個,ab,與,ba,是同一個組合嗎,提示,是,組合與順序無關(guān),2,組合與排列的異同點分別是什么,提示,共同點,都是“從,n,個不同元素中取出,m(m,n,個,元素,不同點,組合“合成一組,而排列是要“按照,一定順序排成一列

3、,主題,2,組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì),從,1,3,5,7,中任取兩個相除,1,可以得到多少個不同的商,提示,4,3=12,個不同的商,2,4,A,2,如何用分步乘法計數(shù)原理求商的個數(shù),提示,第,1,步,從這四個數(shù)中任取兩個數(shù),有,種方法,第,2,步,將每個組合中的兩個數(shù)排列,有,種排法,由分,步乘法計數(shù)原理,可得商的個數(shù)為,12,2,4,C,2,2,A,2,2,4,2,C,A,3,你能借助排列數(shù)計算,嗎,提示,能,因為,所以,2,4,C,2,2,2,4,4,2,A,CA,2,2,4,4,2,2,A,C,6,A,結(jié)論,組合數(shù)公式及性質(zhì),組合數(shù),公式,乘積,形式,階乘,形式,性質(zhì),備注,n,mN,m

4、n,規(guī)定,_,_,m,n,C,m,n,m,m,n,n1,n2,nm,1,A,A,m,m,n,C,n,m,n,m,m,n,C,n,m,n,C,m,n,1,C,m,m,1,n,n,C,C,0,n,C,n,n,C,1,1,微思考,能否用語言描述,的含義,提示,從,n,個不同元素中取出,m,個元素后,必然剩下,n-m,個,元素,因此從,n,個不同元素中取出,m,個元素的組合,與剩,下的,n-m,個元素的組合一一對應(yīng),即從,n,個不同元素中取,出,m,個元素的組合數(shù),等于從,n,個不同元素中取出,n-m,個,元素的組合數(shù),因此,m,n,m,n,n,C,C,m,n,m,n,n,C,C,預(yù)習(xí)自測,1,如果,

5、28,則,n,的值為,A.9,B.8,C.7,D.6,解析,選,B. =28,所以,n=8,或,n=-7,舍,2,n,C,2,n,n,n,1,C,2,8,2,得,2,給出下面幾個問題,其中是組合問題的是,某班選,10,名同學(xué)參加計算機漢字錄入比賽,從,1,2,3,4,中選出,2,個數(shù),構(gòu)成平面向量,a,的坐標(biāo),從,1,2,3,4,中選出,2,個數(shù)分別作為實軸長和虛軸長,構(gòu),成焦點在,x,軸上的雙曲線的方程,從正方體的,8,個頂點中任取兩點構(gòu)成線段,A,B,C,D,解析,選,B,中所取元素不考慮順序,故是組合問,題,中考慮元素順序,是排列問題,3,某乒乓球隊有,9,名隊員,其中,2,名是種子選手

6、,現(xiàn)在挑,選,5,名隊員參加比賽,種子選手都必須在內(nèi),那么不同的,選法共有,_,種,解析,只需在除種子選手外的,7,人中再選,3,人,共有,35,種,答案,35,3,7,C,4,計算,_,解析,答案,24,3,3,4,3,C,A,33,3,43,4,C,A,A,4,3,2,2,4,5,一個口袋里裝有,7,個白球和,1,個紅球,從口袋中任取,5,個球,1,共有多少種不同的取法,2,其中恰有一個紅球,共有多少種不同的取法,3,其中不含紅球,共有多少種不同的取法,仿照教材,P23,例,6,的解析過程,解析,1,從口袋里的,8,個球中任取,5,個球,不同取法,的種數(shù)是,2,從口袋里的,8,個球中任取,

7、5,個球,其中恰有一個紅球,可以分兩步完成,第一步,從,7,個白球中任取,4,個白球,有,種取法,第二步,把,1,個紅球取出,有,種取法,5,3,8,8,8,7,6,C,C,5,6,3,2,1,4,7,C,1,1,C,故不同取法的種數(shù)是,3,從口袋里任取,5,個球,其中不含紅球,只需從,7,個白球,中任取,5,個白球即可,不同取法的種數(shù)是,4,1,4,3,7,1,7,7,C,CCC3,5,5,2,7,7,7,6,C,C,2,1,2,1,類型一,組合及組合數(shù)的概念,典例,1,判斷下列問題是排列問題,還是組合問題,并,求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù),1,從1,2,3,9九個數(shù)字中任取,3,個,組成一個三

8、位數(shù),這樣的三位數(shù)共有多少個,2,從1,2,3,9九個數(shù)字中任取,3,個,然后把這三個數(shù),字相加得到一個和,這樣的和共有多少個,3,從,a,b,c,d,四名學(xué)生中選,2,名去完成同一份工作,有,多少種不同的選法,4)5,個人規(guī)定相互通話一次,共通了多少次電話,5,若已知集合,1,2,3,4,5,6,7,則集合的子集中有,3,個元素的有多少,解題指南,明確組合、排列的定義是解題的關(guān)鍵,若,問題是否與順序有關(guān)不明顯,則可以嘗試寫出其中的一,個結(jié)果進(jìn)行判斷,解析,1,當(dāng)取出,3,個數(shù)字后,如果改變,3,個數(shù)字的順,序,會得到不同的三位數(shù),此問題不但與取出元素有關(guān),而且與元素的安排順序有關(guān),是排列問題

9、,排列數(shù)為,504,3,9,A,2,取出,3,個數(shù)字之后,無論怎樣改變這,3,個數(shù)字的順序,其和均不變,此問題只與取出元素有關(guān),而與元素的安,排順序無關(guān),是組合問題,組合數(shù)為,84,3)2,名學(xué)生完成的是同一份工作,沒有順序,是組合問,題,組合數(shù)為,6,3,9,C,2,4,C,4,甲與乙通一次電話,也就是乙與甲通一次電話,無順,序區(qū)別,為組合問題,組合數(shù)為,10,5,已知集合的元素具有無序性,因此含,3,個元素的子集,個數(shù)與元素的順序無關(guān),是組合問題,組合數(shù)為,35,2,5,C,3,7,C,延伸探究,1,本例,5,中將條件改為若從已知集合中選取,3,個不同,的元素,作為一元二次方程,ax,2,

10、bx+c=0,的系數(shù),可以得到,多少個不同的一元二次方程,解析,是排列問題,選取的,3,個元素順序不同時,得到,不同的一元二次方程,共有,204,個不同的一元,二次方程,3,3,7,3,C,1,A,2,典例,4,中將條件改為從,10,人中選出,3,人參加義務(wù)勞,動,有多少種選法,解析,選出,3,人參加義務(wù)勞動,3,人間不存在順序,因,此是組合問題,組合數(shù)為,120,3,1,0,C,規(guī)律總結(jié),判斷組合與排列的主要依據(jù),補償訓(xùn)練,1,從甲、乙、丙,3,名同學(xué)中選出,2,名去參,加一項活動,列舉出所有的選法,_,2,從甲、乙、丙,3,名同學(xué)中選出,2,名去兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)參加社,會調(diào)查,列舉出所有的選法,_

11、,3,以上兩個問題有何區(qū)別與聯(lián)系,區(qū)別,_,聯(lián)系,_,解析,1,甲、乙,甲、丙,乙、丙,2,甲,乙,甲,丙,乙,丙,乙,甲,丙,乙,丙,甲,3,區(qū)別,前者沒有順序是組合問題,后者是有序問題,聯(lián)系,后者是先選后排,前者是后者的一個步驟,類型二,組合數(shù)公式及性質(zhì)的應(yīng)用,典例,2,1,計算,3,4,5,6,7,7,8,9,C,C,C,C,n,n,n,1,n,2,m,2,m,mm,2,C,C,2,C,C,求,證,解題指南,1,根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)先化簡,再求解,2,將,變?yōu)?從兩邊化簡,使之與左邊,式子相同即可,n,1,m,2C,n,1,n,1,m,m,C,C,4,5,6,5,6,6,4,8,8,9,9,

12、9,1,0,1,0,1C,C,C,C,C,C,C,2,1,0,解,析,原,式,2,右邊,左邊,所以,原式成立,n,n,1,n,1,n,2,n,n,1n,m,m,m,m,m,1,m,1m,2,C,C,C,C,C,C,C,規(guī)律總結(jié),組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用技巧,1,性質(zhì),常用于,m,時組合數(shù)的計算,如,100,可以簡化運算,m,n,m,n,n,C,C,n,2,9,9,1,1,0,0,1,0,0,C,C,2,性質(zhì),常用于恒等式變形和證明等式,順用可將一個組合數(shù)拆分為兩個的和,為某些項的相互,抵消提供方便,逆用則是“合二為一,減少組合數(shù)的,個數(shù),m,m,m,1,n,1,n,n,C,C,C,鞏固訓(xùn)練,1,若,則

13、,n,的解集為,_,2,計算,3,已知,求,n,3,4,5,n,n,n,1,1,2,C,C,C,9,8,1,9,9,1,0,0,20,0,C,C,3,n,6,4,n,2,1,8,1,8,C,C,解析,1,可得,n,2,11n-120,解得,1n12,又nN,且n5,所以n5,6,7,8,9,10,11,答案,5,6,7,8,9,10,11,6,2,4,n,n,1,n,2,n,n,1,n,2,n,3,由,2,4,0,nn,1,n,2,n,3,n,4,2,3,由,及組合數(shù)性質(zhì)可知,3n+6=4n-2,或,3n+6=18-(4n-2,解得,n=8,或,n=2,9,8,1,9,9,2,1,1,0,0,

14、2,0,0,1,0,0,2,0,0,1,0,0,9,9,C,C,C,C,2,0,0,4,9,5,0,2,0,0,5,1,5,0,2,3,n,6,4,n,2,1,8,1,8,C,C,而3n+618且,4n,218,即n4且nN,所以,n=8,不符合題意,舍去,故,n=2,補償訓(xùn)練,1,解方程,1,2,x,1,2,x,3,1,3,1,3,C,C,x,2,x,3,3,x,2,x,2,x,3,1,C,C,A,1,0,解析,1,由原方程得,x+1=2x-3,或,x+1+2x-3=13,所以,x=4,或,x=5,又由,所以原方程的解為,x=4,或,x=5,1,x,1,13,1,2x,3,13,2,x,8,

15、x,N,得,2,原方程可化為,所以,所以,所以,x,2,x-12=0,解得,x=4,或,x=-3,經(jīng)檢驗,x=4,是原方程的解,x,2,3,5,3,x,3,x,3,x,3,x,3,1,1,C,A,C,A,1,0,1,0,即,x,3,x,3,5,x,2,1,0 x,1,1,1,2,0,x,2,1,0,x,x1,x,2,2,解不等式,解析,因為,所以由組合數(shù)性質(zhì)知,因為x+13,x2,所以,x+1)x0,兩邊同除以,x+1)x,得,所以,x=2,3,4,5,x,2,x1,x1,x1,2,C,3,C,x,2,x1,x1,x1,2,C,3,C,3,2,x,1,x,1,x,1,x,x,1,x,1,x,2

16、,C,3,C,2,3,1,2,3,1,2,9,1,1,x,1,x,2,2,類型三,組合的簡單應(yīng)用,典例,3,某人決定投資,8,種股票和,4,種債券,經(jīng)紀(jì)人向,他推薦了,12,種股票和,7,種債券,問,此人有多少種不同的,投資方式,解題指南,分兩步,第一步,從,12,種股票中選,第,2,步,從,7,種債券中選,解析,可分為兩步,第一步,從,12,種股票中選,8,種股,票有,種選法,第二步,從,7,種債券中選,4,種債券,有,種選法,故共有,495,35=17325,種投資方式,8,1,2,C,4,7,C,8,4,12,7,C,C,方法總結(jié),基本組合問題的解法,1,判斷是否為組合問題,2,是否分類

17、或分步,3,根據(jù)組合相關(guān)知識進(jìn)行求解,鞏固訓(xùn)練,1.(2017全國卷)安排,3,名志愿者完成,4,項工作,每人至少完成,1,項,每項工作由,1,人完成,則不,同的安排方式共有,A.12,種,B.18,種,C.24,種,D.36,種,解析,選,D,由題意,4,項工作分配給,3,名志愿者,分配方,式只能為,2,1,1,所以安排方式有,36,種,2,3,4,3,C,A,誤區(qū)警示,本題易對排列與組合誤判,從而導(dǎo)致計算,錯誤,2,現(xiàn)有,10,名教師,其中男教師,6,名,女教師,4,名,1,現(xiàn)要從中選,2,名去參加會議,有多少種不同的選法,2,選出,2,名男教師或,2,名女教師參加會議,有多少種不,同的選

18、法,3,現(xiàn)要從中選出男、女教師各,2,名去參加會議,有多少,種不同的選法,解析,1,從,10,名教師中選,2,名去參加會議的選法種,數(shù),就是從,10,個不同元素中取出,2,個元素的組合數(shù),即,2,1,0,1,0,9,C,4,5,2,1,2,可把問題分兩類情況,第,1,類,選出的,2,名是男教師有,種方法,第,2,類,選出的,2,名是女教師有,種方法,根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有,15+6=21,種,不同選法,2,6,C,2,4,C,2,2,6,4,C,C,3,從,6,名男教師中選,2,名的選法有,種,從,4,名女教師,中選,2,名的選法有,種,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有,不同的選法,2,6,C,2,4,C,2,2,6,4,6,54,3,CC,9,