兩個重要極限

1、第四講 兩個重要極限,兩個重要的極限,1-4,預(yù)備知識,1.有關(guān)三角函數(shù)的知識,2.有關(guān)對數(shù)函數(shù)的知識,以e為底的指數(shù)函數(shù)y=ex的反函數(shù) y = logex，叫做自然對數(shù)，在工程技術(shù)中經(jīng)常被運(yùn)用，常簡記為 y = ln x,數(shù) e 是一個無理數(shù)，它的前八位數(shù)是,e = 2.718 281 8,3.有關(guān)指數(shù)運(yùn)算的知識,4.無窮小量 定義 在某個變化過程中，以0為極限的變量稱為在這個變化過程中的無窮小量，常用字母,性質(zhì) 無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量,5.極限的運(yùn)算法則,x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9

2、999998,x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,第一個重要極限,o,x,b,a,c,d,證,解,這個結(jié)果可以作為公式使用,例 1求,例 2,注：在運(yùn)算熟練后可不必代換，直接計算,練習(xí)1. 求下列極限,例 3,解,例 4,解,思考題,練習(xí)3：下列等式正確的是（,練習(xí)4：下列等式不正確的是（,練習(xí)5. 下列極限計算正確的是（,練習(xí)6. 已知,當(dāng)（ ）時,為無窮小量,當(dāng) 時,為無窮小量,練習(xí)7. 已知,練習(xí)8,練習(xí)9,第二個重要極限,解因為,所以，有,例 1,例 2,解方法一令 u = -x， 因為

3、x 0 時 u 0,所以,方法二掌握熟練后可不設(shè)新變量,例3,解,練習(xí)1,解,練習(xí)2,解,練習(xí)3,解,兩個重要極限,小結(jié),練 習(xí) 題,思考題,解因為,所以令 u = x - 3 ，當(dāng) x 時 u,因此,第一章 作業(yè)2,作業(yè),附錄,兩個重要極限的證明,o,x,r,a,b,c,證 aob 面積 扇形aob 面積 aoc 面積, 即,例,兩個重要極限的證明,因為,所以再次運(yùn)用定理 6 即可得,重要極限1,其中的兩個等號只在x=0時成立,證,設(shè)圓心角 過點a作圓的切線與ob的延長線交于點c，又作,則sin x =bd，tan x=ac,這就證明了不等式(7,從而有,重要極限2,證,這是重要極限2常用的

4、另一種形式,分析：此是一個和式的極限，顯然第一項及第二項函數(shù)中分子、分母的極限均存在且分式函數(shù)中分母的極限不等于零，因此可以直接利用極限的運(yùn)算法則求解,極限綜合練習(xí)題(一,例3 求下列極限,解： 當(dāng)x從0的左側(cè)趨于0時,當(dāng)x從0的右側(cè)趨于0時,例5 求下列極限,分析：本例中均是求分式的極限問題，且在各自的極限過程中，分子、分母的 極限均為零，不能直接用極限商的運(yùn)算法則。求解此類極限的關(guān)鍵是找出分子、分母中共同的致零因式，把它們約去后再求解,尋找致零因式常用的方法為： 若是有理分式的極限，則需把分子分母、分別分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）； 若是無理分式的極限，則需

5、要把分子、分母有理化,解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限,求解。又當(dāng)x0時，ax0，bx0，于是有,分析：當(dāng)x0時，分子，分母的極限均為0，且分子是一個無理函數(shù)，分母是正弦函數(shù)，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以 ，然后看是否可利用第1個重要極限,解法2,分析：當(dāng) x0時，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用極限的運(yùn)算法則，但前面所介紹“分解因式”、“有理化”的方法在此又不適用。能否利用第1個重要極限呢？這就需要首先利用三角恒等式對函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?解：因當(dāng)x時，sinx的極限不存在，故不能用極限的運(yùn)算法則求解，考慮到,解,1. 求極限,極限綜合練習(xí)題(二,解:利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計算，即,2.求下列極限,解:對分子進(jìn)行有理化，然后消去零因子，再利用四則運(yùn)算法則和第一重要極限計算，即,3. 求下列極限,分析：此極限屬于時有理分式的極限問題，且m=n，可直接利用上述結(jié)論得出結(jié)果，也可用分子、分母同除以x15來計算。 解：分子分母同除以x15，有,2 2 + 1 = 5,解,5. 求,解,6. 求極限,解：容易算出分式分子的最高次項是 ，分式分母的最高次項是 ，所以,7. 求極限,8. 求極限,9. 設(shè)函數(shù),問：（1）當(dāng)a為何值時，f(x)在x=0右連續(xù)； （2）a ,b為何值時，f(x)在x=0處有極限存在； （3）當(dāng)