實數(shù)經(jīng)典例題及習(xí)題

1、經(jīng)典例題類型一相關(guān)概念的識別 1下面幾個數(shù)：0.23 ，1.010010001，3，其中，無理數(shù)的個數(shù)有（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 解析：本題主要考察對無理數(shù)概念的理解和應(yīng)用，其中，1.010010001，3，是無理數(shù) 故選C 舉一反三： 【變式1】下列說法中準(zhǔn)確的是（ ） A、的平方根是3 B、1的立方根是1 C、=1 D、是5的平方根的相反數(shù) 【答案】本題主要考察平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念， =9，9的平方根是3，A準(zhǔn)確 1的立方根是1，=1，是5的平方根，B、C、D都不準(zhǔn)確 【變式2】如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個正方形，以數(shù)軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧

2、，交數(shù)軸正半軸于點A，則點A表示的數(shù)是（ ）A、1 B、1.4 C、 D、【答案】本題考察了數(shù)軸上的點與全體實數(shù)的一一對應(yīng)的關(guān)系正方形的邊長為1，對角線為，由圓的定義知|AO|=，A表示數(shù)為，故選C【變式3】 【答案】= 3.1415，9310因此3-90，3-100 類型二計算類型題2設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. B. C. D. 解析：（估算）因為，所以選B舉一反三：【變式1】1）1.25的算術(shù)平方根是_；平方根是_.2） -27立方根是_. 3）_， _，_. 【答案】1）；.2）-3. 3）， ， 【變式2】求下列各式中的（1） （2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（

3、3）x=-4類型三數(shù)形結(jié)合 3. 點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則A，B兩點的距離為_解析：在數(shù)軸上找到A、B兩點，舉一反三：【變式1】如圖，數(shù)軸上表示1，的對應(yīng)點分別為A，B，點B關(guān)于點A的對稱點為C，則點C表示的數(shù)是（ ）A1 B1 C2 D2【答案】選C變式2 已知實數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示： 化簡 【答案】：類型四實數(shù)絕對值的應(yīng)用4化簡下列各式：(1) |-1.4|(2) |-3.142|(3) |-| (4) |x-|x-3| (x3)(5) |x2+6x+10|分析：要正確去掉絕對值符號，就要弄清絕對值符號內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，然后根據(jù)絕對值的定義正確去掉絕

4、對值。解：(1) =1.4141.4 |-1.4|=1.4-(2) =3.141593.142 |-3.142|=3.142-(3) , |-|=-(4) x3, x-30, |x-|x-3|=|x-(3-x)| =|2x-3| = 說明：這里對|2x-3|的結(jié)果采取了分類討論的方法，我們對這個絕對值的基本概念要有清楚的認(rèn)識，并能靈活運用。(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|(x+3)20, (x+3)2+10|x2+6x+10|= x2+6x+10舉一反三：【變式1】化簡：【答案】=+-=類型五實數(shù)非負(fù)性的應(yīng)用5已知：=0，求實數(shù)a, b的值。分析：已知

5、等式左邊分母不能為0，只能有0，則要求a+70，分子+|a2-49|=0，由非負(fù)數(shù)的和的性質(zhì)知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式組 從而求出a, b的值。解：由題意得 由(2)得 a2=49 a=7由(3)得 a-7，a=-7不合題意舍去。只取a=7把a=7代入(1)得b=3a=21a=7, b=21為所求。舉一反三：【變式1】已知(x-6)2+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。解：(x-6)2+|y+2z|=0且(x-6)20, 0, |y+2z|0,幾個非負(fù)數(shù)的和等于零，則必有每個加數(shù)都為0。 解這個方程組得 (x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

6、【變式2】已知那么a+b-c的值為_【答案】初中階段的三個非負(fù)數(shù)： ，a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2類型六實數(shù)應(yīng)用題6有一個邊長為11cm的正方形和一個長為13cm，寬為8cm的矩形，要作一個面積為這兩個圖形的面積之和的正方形，問邊長應(yīng)為多少cm。解：設(shè)新正方形邊長為xcm，根據(jù)題意得 x2=112+138x2=225x=15邊長為正，x=-15不合題意舍去，只取x=15(cm)答：新的正方形邊長應(yīng)取15cm。舉一反三：【變式1】拼一拼，畫一畫： 請你用4個長為a，寬為b的矩形拼成一個大正方形，并且正中間留下的空白區(qū)域恰好是一個小正方形。（4個長方形拼圖時不重疊） （1）計算中

7、間的小正方形的面積，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么？ （2）當(dāng)拼成的這個大正方形邊長比中間小正方形邊長多3cm時，大正方形的面積就比小正方形的面積 多24cm2，求中間小正方形的邊長.解析：（1）如圖，中間小正方形的邊長是： ，所以面積為= 大正方形的面積=， 一個長方形的面積=。 所以， 答：中間的小正方形的面積，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：（或） (2) 大正方形的邊長：，小正方形的邊長： ，即 ， 又 大正方形的面積比小正方形的面積多24 cm2 所以有， 化簡得： 將代入，得： cm 答：中間小正方形的邊長2.5 cm。類型七易錯題7判斷下列說法是否正確（1）的算術(shù)平方根是-3；（2）的平方根是15.（3）當(dāng)x

8、=0或2時，（4）是分?jǐn)?shù)解析：（1）錯在對算術(shù)平方根的理解有誤，算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).故 （2）表示225的算術(shù)平方根，即=15.實際上，本題是求15的平方根， 故的平方根是.（3）注意到，當(dāng)x=0時， =，顯然此式無意義， 發(fā)生錯誤的原因是忽視了“負(fù)數(shù)沒有平方根”，故x0，所以當(dāng)x=2時，x=0.（4）錯在對實數(shù)的概念理解不清. 形如分?jǐn)?shù)，但不是分?jǐn)?shù)，它是無理數(shù).類型八引申提高8（1）已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求a2-b2的值.（2）把下列無限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：（1）分析：確定算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分，首先判斷這個算術(shù)平方根在哪兩個整數(shù)之間，那么較小的整數(shù)即為算術(shù)平方根的整數(shù)部分

9、，算術(shù)平方根減去整數(shù)部分的差即為小數(shù)部分解：由 得的整數(shù)部分a=5, 的小數(shù)部分， （2）解：(1) 設(shè)x= 則 -得 9x=6 . (2) 設(shè) 則 -，得 99x=23 . (3) 設(shè) 則 -，得 999x=107， .學(xué)習(xí)成果測評：A組（基礎(chǔ)）一、細心選一選1下列各式中正確的是（ ）A B. C. D. 2. 的平方根是( )A4 B. C. 2 D. 3. 下列說法中 無限小數(shù)都是無理數(shù) 無理數(shù)都是無限小數(shù) -2是4的平方根 帶根號的數(shù)都是 無理數(shù)。其中正確的說法有（ ）A3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個4和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的是（ ）A整數(shù) B.有理數(shù) C. 無理數(shù) D. 實數(shù)

10、5對于來說（ ）A有平方根 B只有算術(shù)平方根 C. 沒有平方根 D. 不能確定6在（兩個“1”之間依次多1個“0”）中，無理數(shù) 的個數(shù)有（ ）A3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個7面積為11的正方形邊長為x，則x的范圍是（ ）A B. C. D. 8下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（ ）A-2與 B.-與 C. 與 D. 與9-8的立方根與4的平方根之和是（ ）A0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或410已知一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是a ，則該自然數(shù)的下一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是（ ）A B. C. D. 二、耐心填一填11的相反數(shù)是_，絕對值等于的數(shù)是_，=_。12的算術(shù)平方根是_，=_。

11、13_的平方根等于它本身，_的立方根等于它本身，_的算術(shù)平方根等于它本身。14已知x的算術(shù)平方根是8，那么x的立方根是_。15填入兩個和為6的無理數(shù)，使等式成立： _+_=6。16大于，小于的整數(shù)有_個。17若2a-5與互為相反數(shù)，則a=_，b=_。18若a=6，=3，且ab0，則a-b=_。19數(shù)軸上點A，點B分別表示實數(shù)則A、B兩點間的距離為_。20一個正數(shù)x的兩個平方根分別是a+2和a-4，則a=_，x=_。三、認(rèn)真解一解21計算 + + 4 9 + 2（） （結(jié)果保留3個有效數(shù)字）22在數(shù)軸上表示下列各數(shù)和它們的相反數(shù)，并把這些數(shù)和它們 的相反數(shù)按從小到大的順序排列，用“”號連接：參考

12、答案：一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D二：11、，-3 12、3， 13、0；0，；0，114、 15、答案不唯一 如： 16、517、 18、-15 19、2 20、1，9三：21、 -17 -9 2 -36 37.922、 B組（提高）一、選擇題： 1的算術(shù)平方根是 （ ）A0.14 B0.014 C D2的平方根是 （ ）A6 B36 C6 D3下列計算或判斷：3都是27的立方根；的立方根是2；， 其中正確的個數(shù)有 （ ）A1個 B2個 C3個 D4個4在下列各式中，正確的是 （ ）A; B; C; D5下列說法正確的是 （ ）A有理

13、數(shù)只是有限小數(shù) B無理數(shù)是無限小數(shù) C無限小數(shù)是無理數(shù) D是分?jǐn)?shù)6下列說法錯誤的是 （ ）A B C2的平方根是 D7若，且，則的值為 （ ）A B C D8下列結(jié)論中正確的是 （ ）A數(shù)軸上任一點都表示唯一的有理數(shù); B數(shù)軸上任一點都表示唯一的無理數(shù);C. 兩個無理數(shù)之和一定是無理數(shù); D. 數(shù)軸上任意兩點之間還有無數(shù)個點9-27 的立方根與的平方根之和是 （ ）A0 B6 C0或-6 D-12或6 10下列計算結(jié)果正確的是 （ ）A B C D二填空題: 11下列各數(shù)：3.141、0.33333、0.3030003000003（相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次增加2）、0中,其中是有理數(shù)的有_；無理數(shù)的有_.（填序號）12的平方根是_；0.216的立方根是_.13算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是_；立方根等于它本身的數(shù)是_.14. 的相反數(shù)是_；絕對值等于的數(shù)是_15一個正方體的體積變?yōu)樵瓉淼?7倍，則它的棱長變?yōu)樵瓉淼腳倍.三、解答題： 16計算或化簡：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 17已知 ，且x是正數(shù)，求代數(shù)式的值。18觀察右圖，每個小正方形的邊長均為1，圖中陰影部分的面積是多