中考數(shù)學(xué)一元二次方程綜合題例析

1、中考一元二次方程綜合題例析中考一元二次方程綜合題例析 一元二次方程綜合題是中考熱點(diǎn)，常常結(jié)合其他方面知識實(shí)行考查，下面通過幾個(gè)例 子實(shí)行分類解析。 一、一元二次方程與一次函數(shù)綜合一、一元二次方程與一次函數(shù)綜合 例例 1.（2010 年綿陽市）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 = 2（1m）xm2 的兩實(shí)數(shù) 根為 x1，x2 （1）求 m 的取值范圍； （2）設(shè) y = x1 + x2，當(dāng) y 取得最小值時(shí)，求相對應(yīng) m 的值，并求出最小值 分析：分析：（1）若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式=b2-4ac0，建立關(guān)于 m 的不等式，可求出 m 的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出

2、x1+x2的表達(dá)式，進(jìn) 而可得出 y、m 的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及（1）題得出的自變量的取值范圍，即可 求出 y 的最小值及對應(yīng)的 m 值 解解：（1）將原方程整理為 x2 + 2（m1）x + m2 = 0 原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， = 2（m1）24m2 =8m + 40，得 m （2） x1，x2為 x2 + 2（m1）x + m2 = 0 的兩根， y = x1 + x2 =2m + 2，且 m 因而 y 隨 m 的增大而減小，故當(dāng) m =時(shí)，取得最小值 1 二、一元二次方程與反比例函數(shù)綜合二、一元二次方程與反比例函數(shù)綜合 例例 2（2010 年山東淄博改編）已知關(guān)于 x 的方程若以

3、方程 的兩個(gè)根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點(diǎn)恰在反比例函數(shù)的圖象上，求 滿足條件的 m 的最小值 分析分析：寫出兩根之積，兩根之積等于 m，進(jìn)而求出 m 的最小值 解：解： 設(shè)方程的兩個(gè)根為， 根據(jù)題意得又由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得， 那么，所以，當(dāng) k2 時(shí) m 取得最小值5 點(diǎn)評：點(diǎn)評：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，是一個(gè)綜合性的題目，也是一個(gè) 難度中等的題目 三、一元二次方程與二次函數(shù)綜合三、一元二次方程與二次函數(shù)綜合 例例 3 3（2008 年湖北荊州市）已知：如圖，RtAOB 的兩直角邊 OA、OB 分別在 x 軸的正 半軸和 y 軸的負(fù)半軸上，C 為 OA 上一點(diǎn)且 OCOB，

4、拋物線 y=(x2)(xm)(p-2)(p-m) （m、p 為常數(shù)且 m+22p0）經(jīng)過 A、C 兩點(diǎn) （1）用 m、p 分別表示 OA、OC 的長； （2）當(dāng) m、p 滿足什么關(guān)系時(shí)，AOB 的面積最大 分析分析：（1）因?yàn)?A、C 點(diǎn)都在 x 軸上，所以令 y=0 即可求出 p 的值（2）根據(jù)三角形 的面積公式列出AOB 的面積表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)最值得表達(dá)式求解即可 解解：（1）令 y=0 得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0， 整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0， x1=p，x2=m+2-p， m+220 m+2-pp0， OA=m+2-p，OC=P （2）OC=

5、OB，SAOB = OA?OB， SAOB= OA?OB= P?（m+2-p）， =-P2+ （m+2）?P， 當(dāng) p=（m+2）時(shí)，SAOB最大 點(diǎn)評點(diǎn)評：掌握二次函數(shù)的圖象，最大值，最小值，二次函數(shù)中求三角形面積的問題，通 常情況下都是涉及其最高點(diǎn)，最低點(diǎn)的問題 四、一元二次方程四、一元二次方程與不等式與不等式綜合綜合 例例 4 4（2008 年湖北荊州市）關(guān)于的方程兩實(shí)根之和為 m，且滿 足，關(guān)于 y 的不等于組有實(shí)數(shù)解，則 k 的取值范圍是 _. 分析：分析：因?yàn)榉匠逃袃蓪?shí)根，所以=2（k+1）2-4k200， 又因?yàn)殛P(guān)于 y 的不等式組 y-4ym 有實(shí)數(shù)解，所以 y 一定介于-4

6、與 m 之間，即 m 一定 大于-4，因此 m=-2（k+1）-4，然后解不等式即可求出 k 的取值范圍 解：解：方程 x2+2（k+1）x+k2=0 有兩實(shí)根， =2（k+1）2-4k20，解得 k- 12； 關(guān)于 y 的不等于組有實(shí)數(shù)解，m-4 又m=-2（k+1）， -2（k+1）-4，解得 k1 k 的取值范圍是得 1k-12故填空答案：1k-12 點(diǎn)評：點(diǎn)評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，在解不等式時(shí)一定要注意數(shù)值 的正負(fù)與不等號的變化關(guān)系 五、一元二次方程與概率綜合五、一元二次方程與概率綜合 例例 5（2010 年黃岡市）甲、乙兩同學(xué)投擲一枚骰子，用字母 p、q 分別表

7、示兩人各投擲 一次的點(diǎn)數(shù). （1）求滿足關(guān)于 x 的方程有實(shí)數(shù)解的概率. （2）求（1）中方程有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)解的概率. 分析分析：（1）方程 x2+px+q=0 有實(shí)數(shù)解，則 p2-4q0，把投擲骰子的 36 種 p、q 對應(yīng)值， 代入檢驗(yàn)，找出符合條件的個(gè)數(shù)；（2）方程 x2+px+q=0 有相同實(shí)數(shù)解，則 p2-4q=0，把投 擲骰子的 36 種 p、q 對應(yīng)值，代入檢驗(yàn)，找出符合條件的個(gè)數(shù) 解解：兩人投擲骰子共有 36 種等可能情況， （1）其中使方程有實(shí)數(shù)解共有 19 種情況： p=6 時(shí)，q=6、5、4、3、2、1； p=5 時(shí)，q=6、5、4、3、2、1； p=4 時(shí)，q=4、3、

8、2、1； p=3 時(shí)，q=2、1； p=2 時(shí)，q=1；故其概率為 （2）使方程有相等實(shí)數(shù)解共有 2 種情況： p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率為 點(diǎn)評點(diǎn)評：本題考查一元二次方程根的判別式和概率關(guān)系，同時(shí)考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能 力及推理能力用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；一元二次方程有實(shí) 數(shù)根，判別式為非負(fù)數(shù) 六、一元二次方程與幾何知識綜合六、一元二次方程與幾何知識綜合 例例 6（2009 年黃石市）三角形兩邊的長是 3 和 4，第三邊的長是方程 的根，則該三角形的周長為（ ） A14 B12 C12 或 14 D以上都不對 分析：分析：易得方程的兩根，那么根據(jù)三角形的

9、三邊關(guān)系，排除不合題意的邊，進(jìn)而求得 三角形周長即可 解解：解方程得：x=5 或 x=7 當(dāng) x=7 時(shí)，3+4=7，不能組成三角形； 當(dāng) x=5 時(shí)，3+45，三邊能夠組成三角形 該三角形的周長為 3+4+5=12，故選 B 點(diǎn)評點(diǎn)評：本題主要考查三角形三邊關(guān)系，注意在求周長時(shí)一定要先判斷是否能構(gòu)成三角 形 例例 7 （2009 年襄樊市）如圖，在中，于 且是一元二次方程的根，則的周長為 （ ） A B C D 分析分析：先解方程求得 a，再根據(jù)勾股定理求得 AB，從而計(jì)算出的周長即 可 解解：a 是一元二次方程 x2+2x-3=0， （x-1）（x+3）=0，即 x=1 或-3， AE=E

10、B=EC=a， a=1， 在 RtABD 中，AB= a=2 的周長=4a+2a =4+2故答案為：A 點(diǎn)評：點(diǎn)評：本題考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四邊形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知 識要熟練掌握 例例 8 8（2010 年蘭州市）已知兩圓的半徑 R、r 分別為方程的兩根，兩 圓的圓心距為 1，兩圓的位置關(guān)系是（ ） A外離 B內(nèi)切 C相交 D外切 分析分析:本題可先求出方程的根即兩圓的半徑 R、r，再根據(jù)由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置 關(guān)系的方法，確定兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心距為 P，兩圓半徑分別為 R 和 r，且 Rr，則有：外離：PR+r；外切：P=R+r；相交：R-rPR+r；內(nèi)切:P=R-r；內(nèi)含: PR-r 解：解