拋物線的定義與標準方程

1、拋物線及其標準方程一設置情景，導入新課（借助多媒體）先給出一張姚明的圖片。（此時學生的興趣來啦?。煟阂γ魇俏覀冎袊说尿湴?，我們要向他學習！大家都知道姚明的投籃非常精準！為什么呢？生：天賦、身高！生：勤奮練習?。ㄔ俳o出兩張姚明的圖片）生：與投籃時的弧線有關！生：這弧線是拋物線！師：對！姚明有許多優(yōu)越的先天條件，同時好的技術也是一個關鍵的因素，今天我們就著手研究這個內容。二引導探究，獲得新知師：在初中我們已經從函數(shù)角度學過拋物線，那么，這一節(jié)課我們將沖破初中的界限從曲線和方程的角度來學習拋物線。師：前面，我們學習了橢圓和雙曲線的相關知識，那么它們的聯(lián)系和差異是什么？生：定義不一樣！生：方程！橢

2、圓是 x2y21，雙曲線是 x2y 21 。a2b2a2b2師：還有嗎？生：橢圓是封閉的，雙曲線是開放的。師：這只是圖象不同，為什么會這樣呢？生：第二定義！就是它們到定點的距離與到定直線的距離的比等于一個常數(shù)！生：這個常數(shù)是離心率e ！師：對??！這是定性上的，定量上有不同嗎？生：離心率 e 不同，橢圓離心率 e 的范圍是 0 e 1 ，雙曲線離心率 e 的范圍是 e 1 。師：對了， e 可看成是它們的相同點，又是不同點！（打開幾何畫板）師：現(xiàn)在我慢慢拖動，大家認真觀察圖象。生： 0e1是橢圓， e1 是雙曲線。師：但你們有沒觀察到e1時的圖象？生：拋物線！師：這拋物線是怎么畫出來的啊！ （課

3、堂頓時一片寂靜）師：那這條拋物線與什么有關？眾生： e1！師： e1 是什么意思？生：到定點的距離等于到定直線的距離！師：回答得很好！那你們能據此設計一種方案，畫出這樣的點嗎？（一段時間后，讓學生匯報自己的設計方案，并用實物投影儀展示學生所畫的圖形，師生共同就方案的可行性進行論證。 ）PPABPFFFLLL（在直線 PF 上找特殊點）（在第一象限找特殊點）（在第一象限找所有點）【活動設計】 前后學生組成四人小組，探討畫圖方案?！窘處熁顒印?教師以平等的身份介入學生的討論中，并且關注：1. 學生在知識認知與情感發(fā)展方面的疑惑，及時引導鼓勵；2. 關注每個人的活動情況，做到全員參與，從同學們的探究

4、中，了解學生對知識理解的不同程度，思考的不同方向，對有代表性的方案注意收集；3. 了解學生探究的進展，把握課堂節(jié)奏。 ：同學 的 我 看到了 條曲 上的一個點，那么怎么畫 足 e 1 的 象呢？（ 堂又一片寂靜）（出示 先準 的 曲 教具） ： 在我介 個教具的用法，將直尺與定直 重合， 直固定在黑板上，再將磁 固定在定點上，拉 白 ，就可以畫出來了。 上來 ？（兩位學生 極上臺板演） ： 兩位同學表 非常好！ 就是我 的 物 ！【活 】 兩位學生上臺演示教具畫拋物 的 程。 ：接下來我也來演示下拋物 的形成 程。（打開幾何畫板 件） ： 真 察 P 點的運 程，你 有什么 ？（利用幾何畫板

5、件同步 演示）生： AP PC 和 AP PF 等于 AC ，所以點 P 在運 ， CP 始 等于 PF 。 ： 位同學 察很敏 ，直接抓住關 地方！ ：那 畫出來的 象也是？眾生：拋物 ！ ：很好！【活 】 利用幾何畫板 件演示拋物 的形成 程。 ：以前我 是用描點法畫出拋物 ，那今天我 怎么畫？眾生：教具， ： 在 教具的位置，那么畫出的 象 是拋物 ？眾生：是。 ： 明了什么？生：畫拋物 與位置無關。 ：所以今天我 就巧妙地利用幾何知 和 算機等方式畫出了整個 象。 ： 在你 就可以 一下拋物 的定 了！生：到點 F 的距離和到直 L 的距離相等的點的 跡叫做 物 。 ： 完整 ？生:

6、，平面內到一個定點F 和到一條定直 L 的距離相等的點的 跡叫做 物 。生：還要注意定點不能在定直線上。師：為什么??？師：如果這樣，就只能找到一個點。師：說得很好！這里F 叫做拋物線的焦點，定直線L 叫做拋物線的準線。三深入探索，推導方程師：接下來你們試試推導拋物線的方程？（簡單回顧求曲線方程的方法）。一段時間后，實物投影儀展示學生探討的結果。（分組討論，集中探索）1.以 K 為原點，定直線所在的直線為y 軸建立平面直角坐標系，此時得方程為：y22 pxp2p02. 以 F 為 原 點 ， 過 F 且 垂 直 于 定 直 線 F 的 直 線 為 x 軸 建 立 平 面 直 角 坐 標 系 ，

7、此 時 得 方 程 ：y22 pxp2 p03. 以 垂 線 段 KF 的 中 點 為 原 點 ， KF 所 在 的 直 線 為 x 軸 建 立 平 面 直 角 坐 標 系 ， 此 時 得 方 程 ：y22 px p0師：哪個好呢？yyyKFxKFx圖 2KFx圖1圖3LLL生：方案 3 所得的方程更簡潔！師：我們就把它叫做拋物線的標準方程，注意這里標準的規(guī)范是頂點在原點，圖象關于x 軸對稱?！净顒釉O計】 以原來的四人小組為單位，討論建立直角坐標系的方案，一段時間后，各組交流，對可行的方案進行驗證。師：現(xiàn)在請同學們增大點 F 到直尺 L 的距離，重復剛才的實驗，比較一下，拋物線有什么變化？再縮

8、小這個距離試一試。生：點 F 到直尺 L 的距離發(fā)生變化，拋物線開口也發(fā)生變化。師：觀察很準確！這說明了什么？生：焦點到準線的距離是拋物線的一個重要的幾何特征。師：說得非常好！師：接下來看課本的一條拋物線，試將你們的課本逆時針旋轉90 再觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？生： x 軸和 y 軸對調了。生：還有開口向上了！師：同學觀察得很仔細！那么你們能推出它的方程嗎？生：將 y22 px 中的 x 和 y 對調就行了，就是x22 py ！師：大家在等式兩邊同除2 p 看看！生： y1 x2 ，哦，是二次函數(shù)形式！2p師：對了！這就是我們熟悉的二次函數(shù)了！師：那再逆時針旋轉90 ，怎么求？生：和 y22 px

9、 圖象關于 y 軸對稱，將x 替換 x 就行，就是 y22 px ！師：再逆時針旋轉 90 呢？眾生：和 x22py 圖象關于 x 軸對稱，將y 替換 y 就行，就是 x22 py ?。ù蜷_計算機里的表格，學生迅速完成表格內容?。藴史匠虉D形焦點坐標準線方程y22 pxppp0,0x22y22 pxppp0,0x22x22 pypypp0,022x22 pyppp0,2y02師：你們完成的過程有沒什么發(fā)現(xiàn)？生：從y22 px p0 的形式上，方程的一次項決定焦點的位置。生：還有一次項系數(shù)符號決定開口方向，而且可以迅速算出焦點坐標為p ,0和準線方程為2x p 。2師：還有嗎？生：拋物線標準方程

10、和橢圓、雙曲線的標準方程不同的是：確定拋物線只要一個自由量p ，而確定橢圓和雙曲線則需要兩個自由量。師：觀察很敏銳，分析很透徹，很好！四 .指導應用，鼓勵創(chuàng)新師：接下來我們運用上述所學到的知識來解決一些問題，如：已知拋物線的標準方程是y212 x ，現(xiàn)在請你們說出它的焦點坐標和準線方程。生：方程是關于 x 的一次項，系數(shù)是負的，所以焦點在 x 軸上，開口向左，所以焦點坐標是（ 3,0 ），準線方程是 x 3 。再看一道：已知拋物線方程是y12x2 ，請說出它的焦點坐標和準線方程。生：焦點坐標是0,3 。師：是這樣嗎？生：二次項系數(shù)不為1，所以要先化成標準方程！應該先變成x21y 再求。12師：

11、太好了！所以解題時不要張冠李戴！結果算出來了嗎？眾生：焦點坐標是0, 1 ，準線是 y1 。4848師：現(xiàn)在我們回到姚明的這副圖，有一次姚明投籃時，測得投籃的軌跡是拋物線，請看右邊畫的圖形，拋物線最高點離底面距離為4m ，籃框高為 3m ，籃框中心離最高點的水平距離為2m ，怎么求投中時拋物線的方程？（生思考）師：這是一道實際生活問題！我們如何將這個問題轉化成數(shù)學問題呢？生：建立直角坐標系！師：那怎么建立?。可哼@里應該以點 O 為坐標原點， OA 所在直線為 y 軸建立坐標系，這樣拋物線就在x 軸下方，直接設 x22 py p0 ，又 B 2, 1 ，則 p2 ，方程就是 x24y ！師：很好！接著我們還可以算出？生：只要知道姚明的身高，我們還可以算出投籃地方離籃框的水平距離。師：非常好！五小結概括，深化認識師：今天我們學習了什么內容？生：可以巧妙地利用幾何知識畫出拋物線。生：知道了拋物線的標準方程，它的頂點在原點，焦點落在對稱軸上，有四種形式。師：這是知識方面的。我們還學到了哪些數(shù)學思想方法？生：轉化思想，求解拋物線方程問題時要特別注意先化成標準方程。師：還有嗎？生：從橢圓