微專題橢圓中兩直線斜率積和為定值與定點(diǎn)問題

1、微專題,22,橢圓中兩直線斜率積,和,為,定值與定點(diǎn)問題,上一頁,下一頁,熱點(diǎn)追蹤,定點(diǎn)問題是圓錐曲線中十分重要的內(nèi)容,蘊(yùn)含著動,靜依存的辯證,關(guān)系,深刻體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力,在高考中常常涉及此類問題且位于中檔,題的位置本專題以橢圓中的斜率之積,和,為條件,從具體問題入手,通過對解決方法進(jìn)行總結(jié)辨析,使學(xué)生能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì),更合理,更簡捷的運(yùn)算途徑,并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類問題所具有的更一般,性規(guī)律,上一頁,下一頁,例題,過橢圓,C,x,2,4,y,2,1,的上頂點(diǎn),A,作互相垂直的直線分別交橢圓,于,M,N,兩點(diǎn)求證：直線,MN,過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo),答案,0,3,5,上一頁,下一頁,

2、解法,1,設(shè)直線,l,1,的方程為,y,kx,1,聯(lián)立橢圓方程,消去,y,得,4,k,2,1,x,2,8,kx,0,解得,x,M,8,k,4,k,2,1,y,M,1,4,k,2,4,k,2,1,同理可得,x,N,8,k,k,2,4,y,N,k,2,4,k,2,4,上一頁,下一頁,直線,MN,的斜率為,k,2,1,5,k,直線,MN,的方程為,y,1,4,k,2,1,4,k,2,k,2,1,5,k,x,8,k,1,4,k,2,即,y,k,2,1,5,k,x,3,5,直線,MN,過定點(diǎn),0,3,5,上一頁,下一頁,解法,2,同解法,1,求出直線方程,利用特值法求出定點(diǎn),解法,3,先由對稱思想可知,

3、直線,MN,過的定點(diǎn)位于,y,軸上,特值化易得,直線,MN,過的定點(diǎn)為,P,0,3,5,再證明如下,設(shè)直線,l,1,的方程為,y,kx,1,聯(lián)立橢圓方程,消去,y,得,4,k,2,1,x,2,8,kx,0,上一頁,下一頁,解得,x,M,8,k,4,k,2,1,y,M,1,4,k,2,4,k,2,1,同理可得,x,N,8,k,k,2,4,y,N,k,2,4,k,2,4,所以,k,MP,y,M,3,5,x,M,k,2,1,5,k,k,NP,y,N,3,5,x,N,k,2,1,5,k,所以,k,MP,k,NP,故直線,MN,過的定點(diǎn)為,P,0,3,5,上一頁,下一頁,解法,4,設(shè)直線,MN,的方程為

4、,l,y,kx,m,m,1,將,y,kx,m,代入,x,2,4,y,2,1,得,4,k,2,1,x,2,8,kmx,4,m,2,4,0,由題設(shè)可知,16(4,k,2,m,2,1,0,設(shè),M,x,1,y,1,N,x,2,y,2,則,x,1,x,2,8,km,4,k,2,1,x,1,x,2,4,m,2,4,4,k,2,1,而,y,1,y,2,k,x,1,x,2,2,m,2,m,4,k,2,1,y,1,y,2,kx,1,m,kx,2,m,k,2,x,1,x,2,km,x,1,x,2,m,2,m,2,4,k,2,4,k,2,1,上一頁,下一頁,由題設(shè),AM,AN,即,AM,AN,0,AM,AN,x,1

5、,y,1,1,x,2,y,2,1,x,1,x,2,y,1,1,y,2,1,x,1,x,2,y,1,1,y,2,1,x,1,x,2,y,1,y,2,y,1,y,2,1,4,m,2,4,4,k,2,1,m,2,4,k,2,4,k,2,1,2,m,4,k,2,1,1,0,化簡得,5,m,2,2,m,3,0,解得,m,1,舍,m,3,5,所以直線,MN,的方程,為,y,kx,3,5,過定點(diǎn),0,3,5,上一頁,下一頁,變式,1,若將上述試題中,橢圓,C,的上頂點(diǎn),改為橢圓上另一個(gè)定點(diǎn),如右,頂點(diǎn),直線,MN,是否仍然過定點(diǎn)？若對于更一般的橢圓呢,答案,6,5,0,上一頁,下一頁,解析,方法同上通過變式

6、,1,引導(dǎo)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)第一個(gè)結(jié)論,結(jié)論,1,過橢圓,C,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,上一點(diǎn),P,x,0,y,0,作互相垂直,的,直,線,分,別,交,橢,圓,于,M,N,兩,點(diǎn),則,直,線,MN,過,定,點(diǎn),a,2,b,2,a,2,b,2,x,0,a,2,b,2,a,2,b,2,y,0,上一頁,下一頁,變式,2,過橢圓,x,2,4,y,2,1,的上頂點(diǎn),A,作兩條直線分別交橢圓于,M,N,兩,點(diǎn)，且兩條直線的斜率之積為,求證：直線,MN,過定點(diǎn)，并求出,該定點(diǎn)坐標(biāo),答案,4,1,4,1,S,A,4,1,4,1,y,A,其中,x,A,y,A,分別為點(diǎn),A,的橫、縱坐標(biāo),上一頁,下

7、一頁,解析,本題可以參照例題的做法,也可以設(shè)直線,MN,的方程為,y,kx,n,由韋達(dá)定理找出,n,k,的關(guān)系比較兩種做法,尋找每一種方法的合,理性,上一頁,下一頁,通過變式,2,引導(dǎo)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)第二個(gè)結(jié)論與第三個(gè)結(jié)論,結(jié)論,2,過橢圓,C,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,上一點(diǎn),P,x,0,y,0,的兩條直線,分別交橢圓于,M,N,兩點(diǎn),當(dāng),k,PM,k,PN,則直線,MN,過定點(diǎn),a,2,b,2,a,2,b,2,x,0,a,2,b,2,a,2,b,2,y,0,發(fā)現(xiàn)并,強(qiáng)調(diào)注意,此時(shí),b,2,a,2,結(jié)論,3,當(dāng),b,2,a,2,且,x,0,y,0,0,時(shí),直線,MN,的斜率為

8、定值,y,0,x,0,上一頁,下一頁,串講,1,2010,江蘇卷,如圖,在平面直角坐標(biāo)系,xOy,中,已知橢圓,x,2,9,y,2,5,1,的左、右頂點(diǎn)為,A,B,右焦點(diǎn)為,F,設(shè)過點(diǎn),T,t,m,的直線,TA,TB,與此橢圓分別交于點(diǎn),M,x,1,y,1,N,x,2,y,2,其中,m,0,y,1,0,y,2,0,設(shè),t,9,求證：直線,MN,必過,x,軸上的一定點(diǎn),其坐標(biāo)與,m,無關(guān),上一頁,下一頁,答案,定點(diǎn),1,0,上一頁,下一頁,證法,1,設(shè),T,9,m,直線,TA,方程為,y,0,m,0,x,3,9,3,即,y,m,12,x,3,直線,TB,方程為,y,0,m,0,x,3,9,3,即

9、,y,m,6,x,3,分別與橢圓,x,2,9,y,2,5,1,聯(lián)立方程,同時(shí)考慮到,x,1,3,m,x,2,3,解得,M,3,80,m,2,80,m,2,40,m,80,m,2,N,3,m,2,20,20,m,2,20,m,20,m,2,上一頁,下一頁,當(dāng),x,1,x,2,時(shí),直線,MN,方程為,y,20,m,20,m,2,40,m,80,m,2,20,m,20,m,2,x,3,m,2,20,20,m,2,3,80,m,2,80,m,2,3,m,2,20,20,m,2,令,y,0,解得,x,1,此時(shí)必過點(diǎn),D,1,0,當(dāng),x,1,x,2,時(shí),直線,MN,方程為,x,1,與,x,軸交點(diǎn)為,D,1

10、,0,所以直線,MN,必過,x,軸上的一定點(diǎn),1,0,上一頁,下一頁,證法,2,前與證法,1,同,若,x,1,x,2,則由,240,3,m,2,80,m,2,3,m,2,60,20,m,2,及,m,0,得,m,2,10,此時(shí)直線,MN,的方程為,x,1,過點(diǎn),D,1,0,若,x,1,x,2,則,m,2,10,直線,MD,的斜率,k,MD,40,m,80,m,2,240,3,m,2,80,m,2,1,10,m,40,m,2,上一頁,下一頁,直線,ND,的斜率,k,ND,20,m,20,m,2,3,m,2,60,20,m,2,1,10,m,40,m,2,得,k,MD,k,ND,所以直線,MN,過,

11、D,點(diǎn)因此,直線,MN,必過,x,軸上的定點(diǎn),1,0,上一頁,下一頁,證法,3,注意到,k,AM,k,BN,b,2,a,2,5,9,k,BN,k,AM,k,TN,k,TM,m,9,3,m,9,3,2,則,k,BM,k,BN,10,9,即橢圓中過右頂點(diǎn),B,3,0,的直線,BM,BN,斜率之積為定值,10,9,因此,直線,MN,必過,x,軸上的定點(diǎn),1,0,x,ta,2,b,2,x,0,ta,2,b,2,10,9,9,5,3,10,9,9,5,1,y,b,2,ta,2,y,0,ta,2,b,2,0,上一頁,下一頁,串講,2,已知橢圓,C,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,四點(diǎn),P,

12、1,1,1,P,2,0,1,P,3,1,3,2,P,4,1,3,2,中恰有三點(diǎn)在橢圓,C,上,1,求,C,的方程,2,設(shè)直線,l,不經(jīng)過,P,2,點(diǎn)且與,C,相交于,A,B,兩點(diǎn)若直線,P,2,A,與,直線,P,2,B,的斜率的和為,1,證明,l,過定點(diǎn),上一頁,下一頁,答案,1,C,的方程為,x,2,4,y,2,1,2,定點(diǎn),2,1,上一頁,下一頁,解析,1,由于,P,3,P,4,兩點(diǎn)關(guān)于,y,軸對稱,故由題設(shè)知,C,經(jīng)過,P,3,P,4,兩點(diǎn),又由,1,a,2,1,b,2,1,a,2,3,4,b,2,知,C,不經(jīng)過點(diǎn),P,1,所以點(diǎn),P,2,在,C,上因此,1,b,2,1,1,a,2,3,

13、4,b,2,1,解得,a,2,4,b,2,1,故,C,的方程為,x,2,4,y,2,1,上一頁,下一頁,2,設(shè)直線,P,2,A,與直線,P,2,B,的斜率分別為,k,1,k,2,如果,l,與,x,軸垂直,設(shè),l,x,t,由題設(shè)知,t,0,且,t,2,可得,A,B,的坐標(biāo)分別為,t,4,t,2,2,t,4,t,2,2,則,k,1,k,2,1,得,t,2,不符合題意從而可設(shè),l,y,kx,m,m,1,將,y,kx,m,代入,x,2,4,y,2,1,得,4,k,2,1,x,2,8,kmx,4,m,2,4,0,由題設(shè)可知,16(4,k,2,m,2,1,0,設(shè),A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,上

14、一頁,下一頁,則,x,1,x,2,8,km,4,k,2,1,x,1,x,2,4,m,2,4,4,k,2,1,而,k,1,k,2,y,1,1,x,1,y,2,1,x,2,kx,1,m,1,x,1,kx,2,m,1,x,2,2,kx,1,x,2,m,1,x,1,x,2,x,1,x,2,由題設(shè),k,1,k,2,1,故,2,k,1,x,1,x,2,m,1,x,1,x,2,0,即,2,k,1,4,m,2,4,4,k,2,1,m,1,8,km,4,k,2,1,0,解得,k,m,1,2,當(dāng)且僅當(dāng),m,1,時(shí),0,欲使,l,y,m,1,2,x,m,即,y,1,m,1,2,x,2,所以,l,過定點(diǎn),2,1,上一

15、頁,下一頁,2018,九章密卷,如圖，橢圓,E,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,經(jīng)過點(diǎn),A,0,1,右準(zhǔn)線,l,x,2,設(shè),O,為坐標(biāo)原點(diǎn)，若不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢,圓,E,交于不同兩點(diǎn),P,Q,均異于點(diǎn),A,直線,AP,交,l,于,M,點(diǎn),M,在,x,軸,下方,上一頁,下一頁,1,求橢圓,E,的標(biāo)準(zhǔn)方程,2,過右焦點(diǎn),F,作,OM,的垂線與以,OM,為直徑的圓,H,交于,C,D,兩,點(diǎn)，若,CD,6,求圓,H,的方程,3,若直線,AP,與,AQ,的斜率之和為,2,證明：直線,PQ,過定點(diǎn)，并,求出該定點(diǎn),上一頁,下一頁,答案,1,x,2,2,y,2,1,2,x,1,2,y,

16、1,2,2,3,直線,PQ,過定點(diǎn),定點(diǎn)為,1,1,上一頁,下一頁,解析,1,由,b,1,a,2,c,2,a,2,b,2,c,2,解得,a,2,b,1,所以橢圓,E,的標(biāo)準(zhǔn)方程為,x,2,2,y,2,1,2,設(shè),M,2,m,由,CD,OM,得,k,CD,1,k,OM,2,m,則,CD,方程為,y,2,m,x,1,即,2,x,my,2,0,上一頁,下一頁,因?yàn)閳A心,H,1,m,2,則圓心,H,到直線,CD,的距離為,d,2,m,2,2,2,4,m,2,m,2,2,4,m,2,圓半徑為,r,OM,2,4,m,2,2,且,CD,2,6,2,由,d,2,CD,2,2,r,2,代入,得,m,2,因?yàn)辄c(diǎn),

17、M,在,x,軸下方,所以,m,2,此時(shí)圓,H,方程為,x,1,2,y,1,2,2,上一頁,下一頁,3,設(shè),PQ,方程為,y,kx,b,b,1,A,0,1,令,P,x,1,y,1,Q,x,2,y,2,由直線,AP,與,AQ,的斜率之和為,2,得,y,1,1,x,1,y,2,1,x,2,2,由,y,1,kx,1,b,y,2,kx,2,b,得,2,k,b,1,x,1,x,2,x,1,x,2,2,上一頁,下一頁,聯(lián)立方程,y,kx,b,x,2,2,y,2,1,得,1,2,k,2,x,2,4,kbx,2,b,2,2,0,所以,x,1,x,2,4,kb,1,2,k,2,x,1,x,2,2,b,2,2,1,

18、2,k,2,代入,得,b,1,b,k,1,0,由,b,1,得,b,k,1,0,即,b,1,k,所以,PQ,方程為,y,kx,1,k,k,x,1,1,所以直線,PQ,過定點(diǎn),定點(diǎn)為,1,1,上一頁,下一頁,如圖，已知橢圓,E,1,方程為,x,2,a,2,y,2,b,2,1,a,b,0,圓,E,2,方程為,x,2,y,2,a,2,過橢圓的左頂點(diǎn),A,作斜率為,k,1,的直線,l,1,與橢圓,E,1,和圓,E,2,分別相,交于,B,C,設(shè),D,為圓,E,2,上不同于,A,的一點(diǎn),直線,AD,的斜率為,k,2,當(dāng),k,1,k,2,b,2,a,2,時(shí)，試問直線,BD,是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過,定點(diǎn)，請說明理由,上一頁,下一頁,答案,直線,BD,過定點(diǎn),a,0,上一頁,下一頁,解析,由,y,k,1,x,a,x,2,a,2,y,2,b,2,1,