數(shù)列知識點總結(jié)及題型歸納

1、(1)n =1,n1,n2k 1(k Z);2k一、數(shù)列的概念(1) 數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作an，在數(shù)列第一個位置的項叫第1項(或首項)，在第二個位置的叫第 2項，序號為 n的項叫 第n項(也叫通項)記作 an ；數(shù)列的一般形式：a1,a2,a3,an,，簡記作an。例：判斷下列各組元素能否構(gòu)成數(shù)列(1) a, -3,-1, 1, b, 5, 7, 9;(2) 2010年各省參加高考的考生人數(shù)。(2) 通項公式的定義：如果數(shù)列 an的第n項與n之間的關(guān)系可 以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。例如：1 , 2 , 3 ,

2、 4, 5 ,：1丄丄-丄2 3 4 5數(shù)列的通項公式是 an = n ( n 7, n N ),1數(shù)列的通項公式是 an= - ( n N)。n說明：an表示數(shù)列，an表示數(shù)列中的第 n項，an = f n表示數(shù)列的通項公式； 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如，an =不是每個數(shù)列都有通項公式。例如， 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,(3) 數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號：123456項：456789上面每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集N (或它的有限子集)的函數(shù)f(n)當(dāng)自變量n從1開始

3、依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值f(1),f(2), f(3),f(n),通常用an來代替f n，其圖象是一 群孤立點。例：畫出數(shù)列an2n 1的圖像.(4) 數(shù)列分類：按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a,(5 )數(shù)列 an 的前n項和Sn與通項an的關(guān)系：S (n 1)anSnSm(n 2)例：

4、已知數(shù)列an的前n項和sn2n2 3 ,求數(shù)列 an的通項公式二、等差數(shù)列題型一、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等 差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。用遞推公式表示為 an an 1 d(n 2)或 an 1 an d(n 1)。例：等差數(shù)列an2n 1 , an an 1 題型二、等差數(shù)列的通項公式：an a1 (n 1)d ；說明：等差數(shù)列(通?？煞Q為 A P數(shù)列)的單調(diào)性：d0為遞增數(shù)列，d 0為常數(shù)列，d 0為遞減數(shù)列。例：1.已知等差數(shù)列 an中，a7 a9 16, a4 1,則 牝 等于(

5、)A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首項ai 1，公差d 3的等差數(shù)列，如果 務(wù) 2005，則序號n等于（A）667（B）668(C) 669( D)6703.等差數(shù)列an 2n 1,bn2n 1，則an為bn為（填“遞增數(shù)列”或“遞減數(shù)列”）題型三、等差中項的概念：定義：如果a，A，b成等差數(shù)列,那么 A叫做a與b的等差中項。其中abA -2a，A，b成等差數(shù)列A ab剛即：2an 1 anan 22(2anan man m )例：1. （06全國I ）設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 ai a2 as 15 ,48,則它的首項是（）A. 1B.2C.4D.8題

6、型四、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列an中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（2）在等差數(shù)列an中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列；（3 ）在等差數(shù)列an中，對任意 m , n N ,務(wù) am(n m)d ,anam zd(mn mn)；（4）在等差數(shù)列an中，若 m , n , p , q N 且 mnp q，則aman a p aq;題型五、等差數(shù)列的前n和的求和公式：San） na n（n 1）d 1 n2 （a d）nSinq d n（a1 -）n2 2 2 2（SnAn2 Ba1a2a3A，B為常數(shù)）a.是等差數(shù)列）A. 120B.105C.90D. 752.設(shè)數(shù)列a

7、n是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項的和為12,前三項的積為則(a1遞推公式：sn (a1 ann a12an)n(aman(m 1) ) na22例：1 如果等差數(shù)列an 中, a3a4a512 ,那么 a a2.a7例：1.如果等差數(shù)列(A) 14(B)21(C)28(D)35)2. （ 2009湖南卷文）設(shè)Sn是等差數(shù)列 an的前n項和，已知a2 3，a611，則S7等于（）A. 13B.35C.49D.633. （2009全國卷I理） 設(shè)等差數(shù)列 an的前n項和為Sn ,若 S972,則a2a4a =（2）在等差數(shù)列a,4. （2010重慶文）n 中，a1a910，則a5的值為（)(A) 5

8、(B) 6(C) 8(D) 105.若一個等差數(shù)列前3項的和為34 ,最后3項的和為146,且所有項的和為390,則這個數(shù)列有（)A.13 項B.12 項C.11項D.10 項6.已知等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn ,若S1221,則 a2 a5a8an7. （2009全國卷n理）設(shè)等差數(shù)列 an的前n項和為&，若a5 5a3則S58. （98全國）已知數(shù)列 bn是等差數(shù)列，bi=1, b計b2+bio=1OO.（I）求數(shù)列 bn的通項bn；9. 已知an數(shù)列是等差數(shù)列，aio10，其前10項的和Sio 70,則其公差d等于（）211DA.-B.C.33310. （2009陜西卷文）設(shè)等差數(shù)

9、列an的前n項和為Sn,若a6 S3 12則an11 . （00全國）設(shè) 為等差數(shù)列，S為數(shù)列 an的前n項和，已Sn知S7= 7, S5= 75, Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn。n12.等差數(shù)列an的前n項和記為Sn ,已知a1030, a?。50求通項an ；若Sn=242，求n13.在等差數(shù)列an中，（1）已知S8 48,2 168,求a1和d ； （2）已 知 a6 10, S5 5,求a8和 S8 ; （3）已知 a3 a15 40,求S17 題型六.對于一個等差數(shù)列：（1）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2n嘰則S偶 S奇 nd； 魚 旦 ；S偶an 1（2） 若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有2n 1嘰則

10、 S奇 S偶 an a中 ； S奇n。S偶n 1題型七.對與一個等差數(shù)列，Sn , S2nSn , Ssn S?n仍成等差數(shù)列。例：1.等差數(shù)列an的前m項和為30,前2m項和為100，則它的前3m項和 為（ ）A.130B.170C.210D.2602. 一個等差數(shù)列前n項的和為48,前2 n項的和為60,則前3n項的和為。3已知等差數(shù)列 an的前10項和為100,前100項和為10,則前110項和為4.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S4 14, S10 S7 30,則S9 =5. （06全國II ）設(shè)S是等差數(shù)列an的前n項和,若S3 = 1，則S 3S6S12A.D.10A.等差數(shù)列B

11、.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3.已知一個數(shù)列an的前n項和Sn2n24，則數(shù)列an為（A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷4.已知一個數(shù)列a*的前n項和Sn22n，則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷5.已知一個數(shù)列an滿足 an 22an 1 an 0 ,則數(shù)列an為(A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷6.數(shù)列an滿足a1=8, a4 2,且an 2 2an 1 an 0 (n)N)5，則數(shù)列an為（）D.無法判斷2.已知數(shù)列an的通項為an 2n題型八

12、.判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法:求數(shù)列 an的通項公式;an 1 an d (常數(shù))(n N )an是等差數(shù)列中項法：2an 1anan 2( nN )a是等差數(shù)萬【a n 是等差數(shù)列通項公式法：qan kn b (k, b為常數(shù))an是等差數(shù)列定義法:7. （01天津理,A.等比數(shù)列, 等比數(shù)列C.等差數(shù)列, 等差數(shù)列 題型九數(shù)列最值（1） a10 , d2）設(shè)S是數(shù)列an的前n項和，且S=n2,則an是（ 但不是等差數(shù)列而且也是等比數(shù)列0時，Sn有最大值；a1B.等差數(shù)列，但不是D.既非等比數(shù)列又非0 , d 0 時,Sn有最小值;前n項和公式法：Sn An2 Bn （A, B為常數(shù)

13、） an是等差數(shù)列例：1.已知數(shù)列an滿足an an 1 2，則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列（2） Sn最值的求法：若已知Sn , Sn的最值可求二次函數(shù)2Sn an bn 的最值;可用二次函數(shù)最值的求法（nN ）；或者求出an中的正、負分界項，即:Sio 0 ,求數(shù)列an前n項和的最大值.an0若已知an，則Sn最值時n的值(n N )可如下確定或an 10an 0。an 10例：1.等差數(shù)列 an中，ai 0，S9 S12，則前項的和最大。2 設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知求出公差d的范圍,指出S1, S2, S12中哪一個值最大，并說明

14、理由。3. (02上海)設(shè) an (n N)是等差數(shù)列, V Sb, S6= Sz Se,則下列結(jié)論錯誤 的是($是其前n項的和，且S5)A. d V 0B. a7= 0C.S9 S5D.S6與S7均為Sn的最大值n V 984.已知數(shù)列an的通項nn (99N ),則數(shù)列an的前30項中最大項和最小項分別是5.已知an是等差數(shù)列，其中a1公差d(1)數(shù)列an從哪一項開始小于0?(2)求數(shù)列an前n項和的最大值，并求出對應(yīng)n的值.6.已知an是各項不為零的等差數(shù)列，其中a10，公差d 0，若7.在等差數(shù)列an中，a1 25 , S17 S9，求Sn的最大值.S1(n 1)題型十.利用an1求通

15、項.Sn Sn1 (n 2)21.數(shù)列an的前n項和Sn n 1 .( 1)試寫出數(shù)列的前5項；(2)數(shù)列an是等差數(shù)列嗎？( 3)你能寫出數(shù)列an的通項公式嗎？2已知數(shù)列 an的前n項和Sn n2 4n 1,則23. 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn=2n，求數(shù)列an的通項公式；14. 已知數(shù)列 an 中，a1 3,前 n和 Sn(n 1)(an 1) 12求證：數(shù)列 an是等差數(shù)列求數(shù)列an的通項公式25. (2010安徽文)設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn n，則as的值為()(A) 15(B) 16(C) 49(D) 64等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起.，每一項與它的前一項的比等

16、于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公5.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列a*中，首項ai 3,前三項和為 21,則比通常用字母q表示(q 0)，即：an1： an q(q 0)。一、遞推關(guān)系與通項公式1. 在等比數(shù)列 an中，ai 4,q 2，則an 2. 在等比數(shù)列 an中，a7 12,q 返，則a19 .3. (07重慶文)在等比數(shù)列an中，a2= 8, ai= 64,則公比q為()(A) 2(B) 3(C) 4( D) 84. 在等比數(shù)列an中，a22 , a5 54，則a8 =a3 a4 a5()A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中項：若三個數(shù)

17、 a,b,c成等比數(shù)列，則稱b為a與c的等比中項，且為b. ac,注：b2ac是成等比數(shù)列的必要而不充分條件例：1. 2.3和2.3的等比中項為()2. (2009重慶卷文)設(shè)an是公差不為 0的等差數(shù)列，a1 2且a1, a3, a6成等比數(shù)列，則an的前n項和Sn=( )a n2 7n2 n5n2小n 3n2A.B.C. 一D. n n443324、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，1. (1)若 m n pq,則 amana paq (其中 m, n,p,q N )n m an2(2) q, an an m an m (n N )am(3) an為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項成等比數(shù)列.(4)

18、an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列an是各項不為零的常數(shù)列.例：1.在等比數(shù)列an中，a1和ai0是方程2x2 5x 1 0的兩個根，則 a4 a7()2.在等比數(shù)列an，已知a1 5 , a9a10 100，則a18 =3.在等比數(shù)列 an 中，a1 a633, a3a432, anan 1，求an若 Tn lg a1 lg a2lgan,求Tn4.等比數(shù)列an的各項為正數(shù)，且a5 a6a4a718,則 log3a1log3a2lOg3a10 ()A.12B.10 C . 8D.2+lOg355.(2009廣東卷理)已知等比數(shù)列an滿足an0，n1,2川,且a5a2n 522n(n 3)，則當(dāng)n

19、1 時，lo3 2 a1log 2 a3IIIlog2 a2n1()2A. n(2n 1)b. (n 1)c. n2D.( n U2四、等比數(shù)列的前 n項和，例：1.已知等比數(shù)列a“的首相印 5 ,公比q 2，則其前n項和Sn12. 已知等比數(shù)列an的首相a!5，公比q ,當(dāng)項數(shù)n趨近與無2窮大時，其前n項和Sn 3. 設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,已a26, 6a,a3 30，求an和Sn4. ( 2006 年北京卷)設(shè)f(n)2 2427210川 23n 10(nN),則f (n)等于()A. 2(8n 1)B. 2(8n1 1)C. 2(8n3 1)777D. 2(8n 41)75.

20、(1996全國文，21)設(shè)等比數(shù)列 an的前n項和為S,若$+ S =2$,求數(shù)列的公比q；6設(shè)等比數(shù)列a*的公比為q,前n項和為S1,若Sn+1,Sn, Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 .五.等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)若數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項的和，k N*，那么Sk ,滋 Sk , S3k S2k成等比數(shù)列.例: 1.(2009遼寧卷理)設(shè)等比數(shù)列 an的前n項和為Sn,若S6S3 =3 ,S9S則6=78A. 2B.3 C.3D.32. 一個等比數(shù)列前n項的和為48,前2 n項的和為60,則前3n項的和為()A 83 B . 108 C . 75 D . 633.已知數(shù)列an是等

21、比數(shù)列，且 Sm 10, S2m 30,則Ssm4.等比數(shù)列的判定法(1)(2)(3)(4)定義法：an 1an中項法：an通項公式法:前n項和法:q (常數(shù))an為等比數(shù)列;anSnSnan an 2(an 0) an為等比數(shù)列;k qn (k,q為常數(shù))an為等比數(shù)列;k(1kqnqn) (k,q為常數(shù))an為等比數(shù)列。(k,q為常數(shù))an為等比數(shù)列。例: 1.已知數(shù)列an的通項為an2n，則數(shù)列an為()A.等差數(shù)列B. 等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷2.已知數(shù)列an滿足an 1anan 2(an 0),則數(shù)列an為24.等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且 2a1 3a

22、2 1 , a3()A.等差數(shù)列D.無法判斷3.已知一個數(shù)列A.等差數(shù)列D.無法判斷B.等比數(shù)列C.an的前n項和SnB.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列n 12 2 ，則數(shù)列an為() 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列9a2a6，求5.利用anSl(n 1)求通項.nSn Sni (n 2)例：1. (2005北京卷)數(shù)列an的前n項和為S,且ai=1, an 1 -Sn,3n=1, 2, 3,，求a2, a3, a4的值及數(shù)列an的通項公式.2. (2005山東卷)已知數(shù)列an的首項a1 5,前n項和為Sn，且Sn 1 Sn n 5(n N*)，證明數(shù)列 a. 1是等比數(shù)列.四、求數(shù)列

23、通項公式方法(1).公式法(定義法)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項例：1已知等差數(shù)列an滿足：a3 7,a5 a7 26,求an ；2.已知數(shù)列an滿足a1 2,an an 1 1(n 1)，求數(shù)列an的通項公式；3. 數(shù)列 an 滿足 a1 =8, a4 2,且 an 2 2a“ 1 a“ 0 ( n N ),數(shù)列an的通項公式5. 已知數(shù)列an滿足a1 2, an 3an心 1),求數(shù)列an的通項公 式；26. 已知數(shù)列a*滿足a1嗎2,a24且an2anan1( n N ),求數(shù)列an的通項公式；7. 已知數(shù)列an滿足a1 2,且an 1 5n 1 2(務(wù) 5n) ( n N )，求

24、 數(shù)列an的通項公式；8. 已知數(shù)列an滿足 a12,且 an 1 5 2n 1 2 3 5 2n 2)(n N )，求數(shù)列 an的通項公式；112.數(shù)列已知數(shù)列an滿足a1,an 4an 1 1(n 1).則數(shù)列 an的2通項公式=(2)累加法1、累加法適用于：an 1 an f(n)求數(shù)列an的通項公式;a2a1若an 1 an f(n) (n 2)，則a3IIIana2anf(1) f(2) III f(n)兩邊分別相乘得,an 1aa1例：1.已知數(shù)列an滿足anf(k)2( n1)5n an，a13，求數(shù)列an的通項n兩邊分別相加得 an 1 aik 11例：1已知數(shù)列a*滿足a1,

25、2通項公式。2. 已知數(shù)列an滿足an 1 a式。3. 已知數(shù)列an滿足an 1 a項公式。4. 設(shè)數(shù)列an滿足a12，項公式(3)累乘法適用于：an 1 f(n )an公式。f(n)an 12n1,2已知數(shù)列an滿足a13nan 1anana11,若也 f(n),則魚f(1),ana11一2一，求數(shù)列an的4n 11，求數(shù)列an的通項公a1 3，求數(shù)列an的通22n 1，求數(shù)列an的通，f(n) an3已知a1(4)待定系數(shù)法an 133n 1annan，求 an。n 1，求適用于an 1 qan解題基本步驟:1、確定f(n)2、設(shè)等比數(shù)列3、列出關(guān)系式4、比較系數(shù)求anf(n)5、解得數(shù)列

26、 an3n 2an1f (n)，公比為(n1)，求 an。1 f (n 1)2【an1f (n)的通項公式2f( n)6、解得數(shù)列 an的通項公式4. 已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且前n項和Sn滿足例：1.已知數(shù)列an中，印1,an 2an 1 1(n 2)，求數(shù)列 an的通項 公式。2. (2006，重慶，文,14)在數(shù)列 an 中，若 ai 1耳1 2a.3(n1)，則該數(shù)列的通項an 3. ( 2006.福建.理22.本小題滿分14分)已知數(shù)列 an滿足a1 1,an 12an 1(n N ).求數(shù)列an的通項公式;(5 )遞推公式中既有 Sn分析：把已知關(guān)系通過 anjnQ2Sn Sn

27、 1, n 2轉(zhuǎn)化為數(shù)列an或Sn的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。1. ( 2005北京卷)數(shù)列an的前n項和為S,且日=1,1an 1gSn, n=1,2, 3,，求a2, a3, a4的值及數(shù)列an的通項公式.2. ( 2005山東卷)已知數(shù)列an的首項a15,前n項和為Sn，且Sn 1 Sn n 5(n N)，證明數(shù)列an 1是等比數(shù)列.1Sn -(an 1)(an 2)，且a2,a4,a9成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式。6五、數(shù)列求和1直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。g (q 1)Snn(ai2 an) na1Sna1(1 qn)(q 巧公比含1 q字母時一定要討論(理)無窮遞縮等比數(shù)列時，sa11 q例：1.已知等差數(shù)列an滿足a1 1, a23，求前n項和S