數(shù)理方程期末試題-07-08-2-B-答案

1、北京交通大學(xué)2007-2008學(xué)年第二學(xué)期數(shù)理方程與特殊函數(shù)期末考試試卷（B）（參考答案）學(xué)院 專業(yè)班級學(xué)號姓名 _題號-一-二二三四五六七八總分得分閱卷人一、 計(jì)算題（共80分，每題16 分）1. 求下列定解問題（15分）-2 -2u 2 _ u2 =a 2 A， 0 x l,t 0, txu |x= M 1 , U|x4=M2,cuu|t=0,二；0.Ict2. 用積分變換法及性質(zhì)，求解半無界弦的自由振動問題：（15分）2Utt =a Uxx,0x0,u（x,0） =0, Ut（x,0） =0,匚（0力=忙），星山川）=03. 設(shè)弦的兩端固定于 x = 0及x =丨，弦的出示位移如下圖所示

2、。初速度為零，又沒有外力作用。求弦做橫向振動時(shí)的位移u（x,t）。解問題的定解條件是0u(x,t)=， (Cncos罕t Dnsin 罕t)sin 干 xn=1由初始條件可得Dn = 0, n 二 1,2,.Cnith xsin 千 xdx 亠 i 注(x - I )sin 牛 xdx 0c2hl222c(l q)n 二sin罟n = 1,2,.4. 證明在變換=x-at,=x at下，波動方程utt = a uxx具有形式解u n = 0出波動方程的通解。5. 用分離變量法解下列定解問題,并由此求*-2= a2sin 勺二 xs in 牛 t,0：x：l,；xu |x= 0,u |x丄=0;

3、u；:t|孑0提示：1)可以直接給出問題的固有函數(shù)，不必推導(dǎo)；2)利用參數(shù)變易法。解對應(yīng)齊次方程的定解問題的固有函數(shù)是sin片二x，其解可以表示成QOu(x,t)八 Vn(t)sin 平xn =1把原問題中非齊次項(xiàng) f(x,t) =sin 2i: xsin弩按照固有函數(shù)展開成級數(shù)f (x,t) =s in 罕 xs in 葺“0八 fn(t)sin 千 xn d因此有fn(t) = si門晉比n = 2;Q n = 1,3,4,.利用參數(shù)變易法，有tv2(x,t)二-2. 0Sin翠.sin 罕(t - . )d .=4 (小sin罕：t 7cos罕:t)Vn(x,t)二 O n = 1,3,

4、4,5,于是u(x,t) = 4(2sin 罕“ -tcos罕二 t)sin 挙 x6. 用Bessel函數(shù)法求解下面定解問題廠2_2C u 2工 u 72 =a 72 acr*u|r = 0,u lyCPu|yi豪,弓応=0ct解用分離變量法求解。令 u( J,t)二R( J)T(t)，則可得(I)T (t) +a202T(t) =0T(0) = 0以及P2R(P) +PR(P) +P2P2R(P) =0R(P) 乞 R(P0) =0設(shè)-n二-?o為Bessel函數(shù)J（X）的正零點(diǎn)，則問題（II）的特征值和特征函數(shù)分別為Rn(?)問題（I）的解為Tn(t)二a /Cn COS -寸 t于是原

5、問題的解是u(,t)7 RnC?)Tn(t) =Cn0(-；，)COS 葺 t由初始條件u(幾0) =1 - 瓷得到8nJ1( n)n - 茁（、）0（1 弋八0（2 ）d _2.2fg |4J2（人）裁Jf （扎）尤 2 （ n丿兀jf （扎）由于-n是J（x）的零點(diǎn)，也即 Join） =0,而且又有Jo(X) J 2( X)= X Ji(X)J2(，n)Jl( -n)于是最后得到原問題的解是u(,t)八 Rn(J)Tn(t) 二 C n J 0 (: ) COS -：-? t=Jo(2 門 COS葺t證明題(共2分，每題10 分) 7.證明平面上的 Green公式Du -u2v)d；- (v-n -u)dsC “其中C是區(qū)域D的邊界曲線，ds是弧長微分。其方向余弦證明設(shè)p(x, y), Q(x, y)在D+C上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為C的外法線方向, 為 cos , COS :，則有11 - 斗)d；= (Qcos： - Pcos : )dsD 、C再設(shè)u,v在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在D+C上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，令,P = u 浚得到小vd二(一衆(zhòng)匚異沉二DD “=Ju(-纟 cos。+-cosP)ds= Ju 嚕 dsC “-C -交換u,v，得到JJvVud。+川鶉+另育心DD二 v(Wcos： 專cos : )ds 二 *dsCC上面第二式減去第一式，得到仃