數(shù)學(xué)是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)的ppt課件

1、數(shù)學(xué)是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)的,撰文 馬里奧利維奧 (Mario Livio) 翻譯 郭凱聲,在絕大多數(shù)人看來，數(shù)學(xué)有用那是天經(jīng)地義，但很少有人思考，數(shù)學(xué)到底是人發(fā)明的，還是被人發(fā)現(xiàn)的? 對於這個讓眾多學(xué)者糾結(jié)數(shù)千年之久的問題，天體物理學(xué)界一位領(lǐng)軍人物給出答案：它既是發(fā)明的產(chǎn)物，也是發(fā)現(xiàn)的結(jié)果,科學(xué)家能夠推導(dǎo)出描述亞原子現(xiàn)象的公式，工程師可以計算出航天器的飛行軌跡，皆得益於數(shù)學(xué)的魅力。伽利略第一個站出來力挺“數(shù)學(xué)乃科學(xué)之語言”這一觀點，而我們也接受了他的看法，并期望用數(shù)學(xué)的語法來解釋實驗結(jié)果，乃至預(yù)測新的現(xiàn)象。不管怎麼說，數(shù)學(xué)的神通都令人瞠目。看看蘇格蘭物理學(xué)家麥克斯韋 (James Clerk Max

2、well)那個著名的方程組吧,麥克斯韋方程組的4個方程，不僅囊括了19世紀(jì)60年代時所有已知的電磁學(xué)知識，而且還預(yù)測了無線電波的存在，此後又過了差不多20年，德國物理學(xué)家赫茲 (Heinrich Hertz)才通過實驗探測到電磁波。能夠?qū)⑷绱撕Ａ康男畔⒁詷O其簡練、精準(zhǔn)的方式表述出來的語言，可謂鳳毛麟角。無怪乎愛因斯坦會發(fā)出這樣的感嘆：“數(shù)學(xué)本是人類思維的產(chǎn)物，與實際經(jīng)驗無關(guān)，緣何郤能與具有物理現(xiàn)實性的種種客體吻合得如此完美，令人叫絕呢,1960年，諾貝爾獎得主、物理學(xué)家尤金魏格納(Engene Wigner)以“有用得說不通”來闡述數(shù)學(xué)的偉大，而作為一位活躍的理論天體物理學(xué)家，我在工作中也感同

3、身受。無論我是要弄清名為 Ia 型超新星 (Ia Supernovae) 的恒星爆炸產(chǎn)生自哪種前身天體系統(tǒng)，還是推測當(dāng)太陽最終變成紅星時地球的命運(yùn)，我使用的工具以及所建立的模型都屬於數(shù)學(xué)範(fàn)疇。數(shù)學(xué)對自然界的詮釋是如此不可思議，令我在整個職業(yè)生涯中為之神魂顛倒，為此，我從大約10年前起下定決心要更加深入地探究這個問題,這道難題的核心，在於數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家及認(rèn)知科學(xué)家多少世紀(jì)以來一直爭論的一個話題：數(shù)學(xué)究竟是如愛因斯坦所堅信的那樣，是人們發(fā)明出來的一套工具，還是本來就已經(jīng)存在於抽象世界中，不過被人發(fā)現(xiàn)了而已? 愛因斯坦的觀點源自於所謂形式主義 (formalism)學(xué)派，許多偉大的數(shù)學(xué)家，

4、包括大衛(wèi)希爾伯特 (David Hillbert) 、格奧爾格康托爾 (Georg Cantor)，以及布爾巴基學(xué)派的數(shù)學(xué)家，都與愛因斯坦看法一致。但其他一些杰出精英，如戈弗雷哈羅德哈代 (Godfrey Harold Hardy) 、羅杰彭羅斯 (Roger Penrose) 以及庫爾特哥德爾 (Kurt Godel)，則持相反觀點，他們信奉柏拉圖主義 (Platonism,這場有關(guān)數(shù)學(xué)本性的辯論如今仍然火爆，似乎難以找到明確的答案。我認(rèn)為，如果只是單純地糾結(jié)於數(shù)學(xué)是被發(fā)明還是被發(fā)現(xiàn)的這個問題，或許會忽視另一個更為糾結(jié)復(fù)雜的案：兩者都起著關(guān)鍵作用。我推想，將這兩方面因素結(jié)合起來，應(yīng)該能解釋數(shù)

5、學(xué)的魅力。發(fā)明與發(fā)現(xiàn)并非勢不兩立；雖然消除它們之間的對立并不能完全解釋數(shù)學(xué)的神奇效能，但鑒於這個問題實在是太深奧，即使僅僅是朝著解決問題的方向邁出一小步，也算是有所進(jìn)展了,發(fā)明與發(fā)現(xiàn)并重 數(shù)學(xué)“不合理”的神奇功效通過兩種截然不同的方式體現(xiàn)出來，依我看其中一種可稱為主動方式，另一種可稱為被動方式。有時，科學(xué)家會針對現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象專門打造一些方法來進(jìn)行定量研究。例如，牛頓創(chuàng)立微積分學(xué)，就是為了了解運(yùn)動與變化的規(guī)律，其方法就是把運(yùn)動和變化的過程分解為一系列逐幀演化的無窮小片斷。這類主動的發(fā)明，自然非常有效率，因為它們都是針對需要定向打造的。不過，它們在某些情況下所達(dá)到的精度更讓人嘖嘖稱奇,以量子電

6、動力學(xué)(quantum electrodynamics) 這個專門描述光與物質(zhì)相互作用而建立起來的數(shù)學(xué)理論為例。當(dāng)科學(xué)家運(yùn)用此理論來計算電子的磁矩時，理論值與最新的實驗結(jié)果 (1.00115965218073, 2008年實測值)幾乎完全吻合，誤差僅有十億分之幾。 還有更令人驚訝的事實。有時，數(shù)學(xué)家在開創(chuàng)一個個完整的研究領(lǐng)域時，根本沒想過它們會起的作用。然而過了幾十年，甚至若干世紀(jì)後，物理學(xué)家才發(fā)現(xiàn)，正是這些數(shù)學(xué)分支能夠圓滿詮釋他們的觀測結(jié)果。這類能體現(xiàn)數(shù)學(xué)“被動效力”的實例不可勝數(shù),比如，法國數(shù)學(xué)家伽羅華 (Evariste Galois) 在19世紀(jì)初期建立群論時，只是想要弄清高次代數(shù)方程

7、可否用根式求解。廣義地說，群是一類由特定範(fàn)圍的若干元素 (例如整數(shù))組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)，它們能夠進(jìn)行特定的代數(shù)運(yùn)算 (例如加法)，并滿足若干具體的條件 (其中一個條件是存在單位元，拿整數(shù)加群來說，單位元就是0，它與任何整數(shù)相加，仍然得到這個整數(shù)本身,但在20世紀(jì)的物理學(xué)中，這個相當(dāng)抽象的理論竟然衍生出了最有成效的基本粒子分類方法 (基本粒子是物質(zhì)的最小結(jié)構(gòu)單元)。20世紀(jì)60年代，物理學(xué)家默里蓋爾曼(Murray Gell-Mann)和尤瓦爾尼曼 (Yuval Neeman)各自証明，一個名為 SU (3)的特殊的群反映了所謂強(qiáng)子這類亞原了粒子的某項特性，而正是群與基本粒子之間的這一聯(lián)系，最終為描

8、述原子核是如何結(jié)合的現(xiàn)代理論奠定了基礎(chǔ),對結(jié)的研究，是數(shù)學(xué)顯示被動效力的又一個精彩實例。數(shù)學(xué)上的結(jié)與日常生活中的結(jié)頗為相似，只是沒有鬆開的端頭。19世紀(jì)60年代，開爾文爵士希望用有結(jié)的以太管來描述原子。他的模型搞錯了方向，跟實際情況基本掛不上鉤，但數(shù)學(xué)家們?nèi)宰巫尾痪氲貙Y(jié)繼續(xù)進(jìn)行了數(shù)十年的分析，只不過是把它當(dāng)作一倨非常深奧的純數(shù)學(xué)問題來研究。令人驚訝的是，後來結(jié)理論竟然為我們提供了對弦論(String theory) 和圈量子引力 (loop quantum gravity)的若干重要見解，它們正是我們眼下為構(gòu)建一個能夠使量子力學(xué)和廣義相對論和諧統(tǒng)一的時空理論的最好嘗試,英國數(shù)學(xué)家哈代 (Ha

9、rdy)在數(shù)論領(lǐng)域的發(fā)現(xiàn)與此也有異曲同工之妙。哈代為推動密碼學(xué)研究立下了汗馬功勞，盡管他本人先前曾斷言，“任何人都還沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)論可以為打仗這回事派上什麼用場”。此外，1854年，黎曼(Bernhard Riemann)率先描述了非歐幾何 - 這種幾何具有某些奇妙特性，例如平行線可能相交。半個世紀(jì)後，愛因斯坦正是借助於非歐幾何創(chuàng)立了廣義相對論,一種模式浮現(xiàn)出來：人們對周圍世界的各種元素 包括圖形、線條、集合、群組等 進(jìn)行抽象概括後，發(fā)明出各種數(shù)學(xué)概念，有時出於某種具體目的，有時則純粹爲(wèi)了好玩。他們接下來會努力尋找這些概念之間的聯(lián)繫。這一發(fā)明與發(fā)現(xiàn)的過程是人爲(wèi)的，與柏拉圖主義標(biāo)榜的那種發(fā)現(xiàn)不同，因

10、此，我們創(chuàng)立的數(shù)目歸根結(jié)底取決於我們的知覺過程以及我們能夠構(gòu)想出的心理場景。例如，我們?nèi)祟惥哂兴^“感數(shù)”(Subitizing)的天賦，可以一眼識別出數(shù)量，毫無疑問，這種本能催生了數(shù)位的概念,我們非常擅長於感知各個物體的邊緣，並且善於區(qū)分直線與曲線，以及形狀不同的圖形，如圓和橢圓等?；蛟S，正是這些本能促進(jìn)了算術(shù)與幾何學(xué)的興趣和發(fā)展。同理，人類無數(shù)次反復(fù)經(jīng)歷的各種因果關(guān)係，對於邏輯的創(chuàng)立至少也起了部分作用，並産生以下認(rèn)識：根據(jù)某些陳述，我們可以推斷出其他一些陳述的正確性,選擇與進(jìn)化 邁克爾阿提亞（Michael Atiyah）是20世紀(jì)最傑出的數(shù)學(xué)家之一，他曾通過一項非常巧妙的假想實驗來揭示我

11、們掌握的數(shù)學(xué)概念是如何受知覺影響的 甚至連數(shù)位這類最基本的概念也不例外。德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）有一句名言：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其餘都是人做的工作?！钡覀兛梢韵胂?，如果世界上有智力的不是人類，而是一種生活在太平洋底與世隔絕的奇異水母，在它們周圍，從海水的流動到海水溫度與壓力，都是連綿不斷的,在這樣一個找不到什麼獨特個體，也就是不存在任何離散性元素的環(huán)境裏，數(shù)位的概念有機(jī)會破繭而出嗎？如果沒有什麼東西可以讓你去數(shù)，那還會有數(shù)位存在嗎？ 同水母一樣，我們也要採用能夠適合於自己所在環(huán)境的數(shù)學(xué)工具 毫無疑問，數(shù)學(xué)正是因此而顯得神通廣大?？茖W(xué)家並非隨心所欲地選擇分析工具，

12、而是根據(jù)它們是否能準(zhǔn)確預(yù)測實驗結(jié)果來作出選擇的。當(dāng)網(wǎng)球發(fā)球機(jī)吐球時，你可以用自然數(shù)1、2、3依次標(biāo)示向蹦出的球。不過，消房員噴水救火時，要想對水流作出有意義的描述，就得用體積或重量之類的概念了,同樣道理，各種亞原子粒子加速器中碰撞時，物理學(xué)家也是用能量及動量之類的指標(biāo)，而不是用最終到底有多少粒子來評估碰撞。最終粒子數(shù)只能給出有關(guān)原始粒子碰撞過程的部分資訊，因爲(wèi)在這一過程中可能還有其他粒子産生。 只有最出色的模型才能歷經(jīng)時間的考驗。而那些失意的模型，比如笛卡爾用宇宙物質(zhì)旋渦來描述行星運(yùn)動的嘗試，就夭折了，反觀成功的模型，則會隨著新資訊的出現(xiàn)而逐步改進(jìn),例如，當(dāng)人們對水星這顆行星的運(yùn)動獲得了極其精

13、確的測量結(jié)果後，就必須用愛因斯坦的廣義相對論來徹底改造牛頓的引力理論，才能對最新測量結(jié)果作出圓滿解釋。任何一種行之有效的數(shù)學(xué)概念，壽命都是很長的。比如，早在西元前250年左右，阿基米德就已經(jīng)證明了球體表面積的公式，而直到今天，這個公式也跟當(dāng)年一樣站得住腳。因此，任何時代的科學(xué)家都有一個極其龐大的數(shù)學(xué)公式寶庫供其搜索，從中找出最適合的方法來使用,科學(xué)家不僅在尋求答案，他們常常也挑選適合於用數(shù)學(xué)處理的問題。然而，有一大批現(xiàn)象不可能作出精確的數(shù)學(xué)預(yù)測，有時甚至原則上就是不可預(yù)測的。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，許多變數(shù) 比方說民衆(zhòng)心理素質(zhì)的詳細(xì)情況 不適宜作定量分析。任何理論的預(yù)測價值，均取決於各變數(shù)之間基礎(chǔ)關(guān)

14、係是否恒定。我們的分析也無法徹底解讀會産生混沌的系統(tǒng)（在這類系統(tǒng)中，只要初始條件有極其微小的變化，都可能導(dǎo)致最終結(jié)果完全不同，因而無法進(jìn)行長期預(yù)測）。數(shù)學(xué)家們創(chuàng)立了統(tǒng)計學(xué)和概率論來彌補(bǔ)上述缺陷，但衆(zhòng)所周知，奧地利邏輯學(xué)家?guī)鞝柼馗绲聽栐缫炎C明，數(shù)學(xué)本身是存在著固有局限性的,自然界的對稱性 數(shù)學(xué)能如此成功地詮釋自然法則，精心挑選問題與答案僅是原因之一。這樣的法則首先必須存在，數(shù)學(xué)才有用武之地。對數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家來說，幸運(yùn)的是我們這個宇宙看起來是被一些古不變的自然法則所支配的。決定宇宙最初結(jié)構(gòu)的引力，同樣也左右著今天的星系。爲(wèi)了解釋這種以不變應(yīng)萬變的現(xiàn)象，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家發(fā)明了對稱性的概念,物理學(xué)定

15、律似乎都蘊(yùn)含著相對於空間和時間的對稱性。無論在何時何地，從什麼角度來查看這些定律，它們都是不變的。此外，物理學(xué)定律對於所有觀察者都是一視同仁的，無論這些觀察者是處於靜止?fàn)顟B(tài)，還是在做勻速運(yùn)動或加速運(yùn)動。因此無論我們在哪里做實驗，中國也好，美國也好，乃至在仙女座大星雲(yún)也好，也無論我們是今天做這個實驗，還是10億年後由另外某個人來做實驗，都可以用同樣的物理學(xué)定律來解釋實驗結(jié)果,如果宇宙不具有這種對稱性，那我們想要破解大自然宏偉設(shè)計的努力 也就是根據(jù)我們的觀測結(jié)果建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 可就要無功而返了，因爲(wèi)那樣我們就得針對時空中的每個點，不斷反復(fù)實驗。 而在描述亞原子粒子的物理學(xué)定律中，則是另一類更複

16、雜的對稱性，即規(guī)範(fàn)對稱性佔據(jù)主導(dǎo)地位。由於量子世界的模糊性，某一給定粒子既可以是帶負(fù)電的電子，也可以是不帶電的中微子，還可以是二者的疊加態(tài)，除非我們測量了電荷，明確區(qū)分出它到底是電子還是中微子。其實，如果我們把電子換成中微子，或者換成兩者的任何一個疊加態(tài)，自然界的法則依舊保持同一形式,換成其他基本粒子，情況也仍然如此。沒有這種規(guī)範(fàn)對稱性，我們要建立一個有關(guān)宇宙基本運(yùn)作原理的理論是極其困難的。 同樣，沒有局域性，情況也會非常棘手（所謂局域性，是指我們這個宇宙中的任何事物僅受其近鄰環(huán)境的直接影響，而不受遠(yuǎn)處發(fā)生的事件的影響）。有了局域性，我們就可以首先設(shè)法解讀基本粒子之間最基礎(chǔ)的力，然後利用其他各

17、種知識元素，像拼七巧板一樣學(xué)試拼出宇宙的數(shù)學(xué)模型來,現(xiàn)今在爲(wèi)統(tǒng)一各種相互作用的學(xué)試中，最有希望成功的一種數(shù)學(xué)理論，需要依靠另一種對稱 超對稱性（supersymmetry）。在由超對稱性主導(dǎo)的宇宙裏，每種已知粒子都有一個尚待發(fā)現(xiàn)的夥伴粒子。如果這些夥伴粒子最終被發(fā)現(xiàn)（當(dāng)歐洲原子核研究中心（CERN）的大型強(qiáng)子對撞機(jī)（LHC）投入全能量運(yùn)行時，它們可能會被發(fā)現(xiàn)），那麼這將是具有神奇效力的數(shù)學(xué)的又一項勝利,在本文開頭，我提出了兩個互相關(guān)聯(lián)的基本問題：數(shù)學(xué)是人們發(fā)明的還是發(fā)現(xiàn)的？是什麼因素賦予了數(shù)學(xué)如此強(qiáng)大的解釋能力與預(yù)測本領(lǐng)？我相信第一個問題已經(jīng)有了答案：數(shù)學(xué)是發(fā)明與發(fā)現(xiàn)的精妙融合。一般說來概念是發(fā)明的産物