備戰(zhàn)2021年九年級(jí)中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)高分沖刺訓(xùn)練——幾何綜合：《四邊形綜合》（五）

1、備戰(zhàn)2021年九年級(jí)中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)高分沖刺訓(xùn)練幾何綜合：四邊形綜合（五）1如圖，在abc中，acb90，a30，bc6cm，cd是中線點(diǎn)p從點(diǎn)c出發(fā)以4cm/s速度沿折線cddb勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)b停止運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)p作pqac，垂足為點(diǎn)q，以pq為一邊作矩形pqmn，且mqpq點(diǎn)m，c始終位于pq的異側(cè)，矩形pqmn與acd的重疊部分面積為s（cm2），點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（1）當(dāng)點(diǎn)n在邊ab上時(shí)，t s（2）求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式（3）當(dāng)矩形pqmn與acd的重疊部分為軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，直接寫(xiě)出t的取值范圍2如圖，在rtabc中，acbc4，acb90，正方形bdef的邊長(zhǎng)為2，將正方形bdef繞點(diǎn)

2、b旋轉(zhuǎn)一周，連接ae、be、cd（1）請(qǐng)判斷線段ae和cd的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)a、e、f三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求cd的長(zhǎng)；（3）設(shè)ae的中點(diǎn)為m，連接fm，試求線段fm長(zhǎng)的最大值3如圖所示，已知正方形abcd和正方形aefg，g、a、b在同一直線上，點(diǎn)e在ad上，連接dg，be（1）證明：bedg；（2）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正方形aefg繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)，如圖所示，判斷be與dg的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）探究：如圖所示，若四邊形abcd與四邊形aefg都為矩形，且ad2ab，ag2ae時(shí)，判斷be與dg的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否與（2）的結(jié)論相同，并說(shuō)明理由4如圖1，abcd為正方形，將正

3、方形的邊cb繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ce，記bce，連接be，de，過(guò)點(diǎn)c作cfde于f，交直線be于h（1）當(dāng)60時(shí)，如圖1，則bhc ；（2）當(dāng)4590，如圖2，線段bh、eh、ch之間存在一種特定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你通過(guò)探究，寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式： （不需證明）；（3）當(dāng)90180，其它條件不變（如圖3），（2）中的關(guān)系式是否還成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，寫(xiě)出你認(rèn)為成立的結(jié)論，并簡(jiǎn)要證明5四邊形abcd中，點(diǎn)e是ab的中點(diǎn)，f是ad邊上的動(dòng)點(diǎn)連結(jié)de、cf（1）若四邊形abcd是矩形，ad12，cd10，如圖（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出ae的長(zhǎng)度；當(dāng)decf時(shí)，試求出cf長(zhǎng)度（2）如圖（2），若四邊形abcd

4、是平行四邊形，de與cf相交于點(diǎn)p探究：當(dāng)b與epc滿足什么關(guān)系時(shí)，成立？并證明你的結(jié)論6我們把對(duì)稱(chēng)中心重合，四邊分別平行的兩個(gè)正方形之間的部分叫“方形環(huán)”，易知方形環(huán)四周的寬度相等一條直線l與方形環(huán)的邊線有四個(gè)交點(diǎn)m、m、n、n小明在探究線段mm與nn 的數(shù)量關(guān)系時(shí)，從點(diǎn)m、n向?qū)呑鞔咕€段me、nf，利用三角形全等、相似及銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)解決了問(wèn)題請(qǐng)你參考小明的思路解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)直線l與方形環(huán)的對(duì)邊相交時(shí)，如圖1，直線l分別交ad、ad、bc、bc于m、m、n、n，小明發(fā)現(xiàn)mm與nn相等，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；（2）當(dāng)直線l與方形環(huán)的鄰邊相交時(shí)，如圖2，l分別交ad、ad、dc、

5、dc于m、m、n、n，l與dc的夾角為，你認(rèn)為mm與nn還相等嗎？若相等，說(shuō)明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函數(shù)表示）7定義：我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做神奇四邊形順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形（1）判斷：在平行四邊形、矩形、菱形中，一定是神奇四邊形的是 ；命題：如圖1，在四邊形abcd中，abad，cbcd，則四邊形abcd是神奇四邊形此命題是 （填“真”或“假”）命題；神奇四邊形的中點(diǎn)四邊形是 ；（2）如圖2，分別以rtacb的直角邊ac和斜邊ab為邊向外作正方形acfg和正方形abde，連接be，cg，ge求證：四邊形bcge是神奇四邊形；若ac2，ab，求g

6、e的長(zhǎng)；（3）如圖3，四邊形abcd是神奇四邊形，若ab6，cd，ad、bc分別是方程x2（k+4）x+4k0的兩根，求k的值8如圖，平面直角坐標(biāo)系中，菱形abcd的邊長(zhǎng)為4，abc60，對(duì)角線ac與bd的交點(diǎn)e恰好在y軸上，點(diǎn)g是bc中點(diǎn)，直線ag交bd于f（1）點(diǎn)f的坐標(biāo)為 ；（2）如圖1，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)h，連接fh，請(qǐng)求出fh+dh的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)h的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)n是直線ac上的一點(diǎn)，那么在直線ag上是否存在一點(diǎn)m，使得以b、f、m、n為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)m的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由9如圖，正方形abcd中，對(duì)角線ac，bd交于點(diǎn)o，點(diǎn)e，點(diǎn)f分

7、別在線段ob，線段ab上，且afoe，連接ae交of于g，連接dg交ao于h（1）如圖1，若點(diǎn)e為線段bo中點(diǎn)，ae，求bf的長(zhǎng)；（2）如圖2，若ae平分bac，求證：fghg；（3）如圖3，點(diǎn)e在線段bo（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，連接he，當(dāng)線段he長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，直接寫(xiě)出coshdo的值10已知矩形abcd中，點(diǎn)e為ad上一點(diǎn)（1）連接be、ce，bce的平分線與ad交于點(diǎn)h，hg垂直平分be如圖1，若ae8，be10，求ehc的面積；如圖2，若ecd30，求證：bc+cehc；（2）如圖3，若abcd6，adbc8，連接ce，將cde沿ce翻折，使點(diǎn)d恰好落在對(duì)角線ac上的點(diǎn)f處，將afe繞點(diǎn)

8、a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，再沿ab方向向下平移至afb處（點(diǎn)e與點(diǎn)b重合），將afb繞著點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角（0180），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)直線af分別交直線ac、bc于點(diǎn)p、q，是否存在這樣的p、q兩點(diǎn)，使得cpq為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出cq的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 參考答案1解：（1）如圖1中，在rtabc中，bc6cm，acb90，a30，ab2bc12cm，acbc6cm，addb，cdab6cm，pnac，解得t，故答案為（2）如圖21，當(dāng)0t時(shí)，重疊部分是矩形pqmn，cdad，aacd30pqpc4t2t，mqpq，ss矩形pqmnt2t2t2如圖22，當(dāng)t時(shí)，重疊部分是五邊形

9、pqmef，cqpccos302t，acbctan606amacmqcq6t2t63t，meam tan30（63t）63t，enmnme2t（63t）5t6，nfen tan60（5t6），ss矩形pqmnsenf2t2（5t6）（5t6）t2+30t18如圖3，當(dāng)t3時(shí)，重疊部分是五邊形qmedfapad+dpcd+dp4t，pqapsin302tnpmqpqt，ennptan30t，dpapad4t6，ss矩形pqmnsenpsdfp2t2tt（4t6）2t2+12t9（3）觀察圖象可知當(dāng)0t時(shí)，滿足條件，如圖23中，當(dāng)dedf時(shí)，也滿足條件，可得62t4t6解得t2，綜上所述，滿足條件

10、的t的值為0t或t22解：（1）結(jié)論：aecd理由：在rtabc中，acbc4，acb90，abcebd45，abecbd，四邊形bdef是正方形，abc是等腰直角三角形，abecbd，aecd；（2acbc4，acb90，abbc4，當(dāng)a、e、f三點(diǎn)在一直線上時(shí)，afb90，af2，如圖1，當(dāng)ae在ab左上方時(shí)，aeafef22，aecd，cdae，如圖2，當(dāng)ae在ab右下方時(shí)，同理，aeaf+ef2+2，cd+，綜上所述，當(dāng)a、e、f三點(diǎn)在一直線上時(shí)，cd的長(zhǎng)為或+；（3）如圖3，延長(zhǎng)ef到g使fgef，連接ag，bg，則bfg是等腰直角三角形，bgbf2，設(shè)m為ae的中點(diǎn)，連接mf，mf

11、是age的中位線，ag2fm，在abg中，abbgagab+bg，2ag6，fm3，fm的最大值為33解：（1）證明：四邊形abcd和四邊形aefg是正方形，aeag，abad，badeag90，abedag（sas），bedg；（2）bedg，bedg如圖1中，四邊形abcd和四邊形aefg是正方形，aeag，abad，badeag90，baedag，在abe和dag中，abedag（sas），bedg；abeadg，延長(zhǎng)be交ad于t，交dg于hatb+abe90，atb+adg90，atbdth，dth+adg90，dhb90，bedg（3）數(shù)量關(guān)系不成立，dg2be，位置關(guān)系成立如圖2

12、中，延長(zhǎng)be交ad于t，交dg于h四邊形abcd與四邊形aefg都為矩形，baddag，baedag，ad2ab，ag2ae，abeadg，abeadg，dg2be，atb+abe90，atb+adg90，atbdth，dth+adg90，dhb90，bedg4解：（1）作cgbh于g，如圖1所示：四邊形abcd是正方形，cbcd，bcd90，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：cecb，bce60，cdce，bcgecgbce30，cfde，ecfdcfdce，gch（bce+dce）9045；故答案為：45；（2）bh+ehch；理由如下：作cgbe于g，如圖2所示：dcec，dcfecfhcb+bcg+ec

13、g，bcec，bcgecg，dcfhcb+2bcg，dcf+hcb2hcb+2bcg90，hcb+bcg45，hhcg45，cgh是等腰直角三角形，ch 2gh，bh+ehbh+bh+bg+eg2ghch，即：bh+ehch（3）當(dāng)90180，其它條件不變，（2）中的關(guān)系式不成立，bhehch；理由如下：作cgbh于g，如圖3所示：同（1）得：bhc45，cgh是等腰直角三角形，chgh，bgegbe，bhehbg+ghehbg+egeheh2ghch5解：（1）四邊形abcd是矩形，adbc，abcd，aadc90ad12，cd10，bc12，ab10點(diǎn)e是ab的中點(diǎn)，aeab5decf，d

14、pcdpf90，dfc+dcf90，dfc+fdp90，dcffdpaadc，cfddea，在rtaed中，由勾股定理，得ed13，cf答：cf的長(zhǎng)度為；（2）當(dāng)b+epc180時(shí)，成立證明：四邊形abcd是平行四邊形，badc，adbc，b+a180，b+epc180，aepcfpd，fdpeda，dfpdea，badc，b+epc180，epc+dpc180，cpdcdf，pcddcf，cpdcdf，即當(dāng)b+epc180時(shí)，成立6解（1）在方形環(huán)中，mead，nfbc，adbc，在mme與nnf中，mmennf（aas）mmnn；（2）法一nfnmem90，fnnemm，nfnmem，me

15、nf，tan（或）當(dāng)45時(shí)，tan 1，則mmnn；當(dāng)45時(shí)，mmnn，則tan（或）法二在方形環(huán)中，d90mead，nfcd，medc，nfmemmennf在rtnnf與rtmme中，sin，cos，即tan（或）當(dāng)45時(shí)，mmnn；當(dāng)45時(shí)，mmnn，則tan（或）7解：（1）菱形的對(duì)角線互相垂直，菱形是神奇四邊形；abad，cbcd，ac是bd的垂直平分線，四邊形abcd是神奇四邊形；如圖，已知：四邊形abcd是神奇四邊形，點(diǎn)e，點(diǎn)f，點(diǎn)g，點(diǎn)h分別是ad，dc，bc，ab的中點(diǎn)，點(diǎn)e，點(diǎn)f，點(diǎn)g，點(diǎn)h分別是ad，dc，bc，ab的中點(diǎn)，efachg，bdehfg，四邊形efgh是平行四

16、邊形，四邊形abcd是神奇四邊形，acbd，又efachg，bdehfg，efeh，四邊形efgh是矩形，故答案為矩形（2）如圖2，連接ce，bg交于點(diǎn)n，ce交ab于m，四邊形acfg是正方形，四邊形abde是正方形，abae，acag，cagbae90，gabcae，gabcae（sas），aecabg，aem+ame90，abg+bmn90，bnm90，cebg，四邊形bcge是神奇四邊形；ac2，ab，bc1，四邊形acfg是正方形，四邊形abde是正方形，ac2，ab，cgac2，beab，gc2cn2+gn2，be2bn2+ne2，bc2cn2+bn2，ge2gn2+ne2，cg2

17、+be2bc2+ge2，ge；（3）四邊形abcd是神奇四邊形，同（2）中的證明方法，可得ad2+bc2ab2+cd2，ab6，cd，ad2+bc241，ad、bc分別是方程x2（k+4）x+4k0的兩根，ad+bck+4，adbc4k，ad2+bc241（ad+bc）22adbc，（k+4）28k41，k15，k25（不合題意舍去），k58解：（1）如圖1中，四邊形abcd是菱形，abc60，abbccdad4，abcadc60，cabd，edceda30，ced90，eccd2，ecd60，eoc90，ceo30，ocec1，oeoc，c（1，0），e（0，），d（3，0），aeec，be

18、de，a（1，2），b（3，2），直線bc的解析式為yx，直線bd的解析式為yx+，agbc，直線ag的解析式為yx+，由，解得，f（1，）故答案為（1，）（2）如圖11中，過(guò)點(diǎn)d作射線dm，使得odm30，點(diǎn)點(diǎn)h作hkom于k，過(guò)點(diǎn)f作fjdm于jd（3，0），odk30，f（1，），直線dm的解析式為yx，fjdm，直線fj的解析式為yx+，由，解得，j（，），fj3，在rtdhk中，kdh30，khdh，fh+dhfh+hkfj，fh+dh3，fh+dh的最小值為3，此時(shí)點(diǎn)h的坐標(biāo)為（，0）（3）如圖2中，過(guò)點(diǎn)c作cmbf交ag于m，連接bm，cfabc是等邊三角形，agbc，bgcg，

19、bfgcmg，bgfcgm，bgfcgm（aas），bfcm，bfcm，四邊形bfcnm是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)n與c重合時(shí)，四邊形bfnm是平行四邊形，此時(shí)n（1，0），m（3，）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)點(diǎn)n與n關(guān)于點(diǎn)a對(duì)稱(chēng)時(shí)，四邊形bfmn是平行四邊形，此時(shí)n（3，4），m（5，），如圖3中，當(dāng)bf是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，bmac，直線bm的解析式為yx+5，直線ag的解析式為yx+，由，解得，m（5，0），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)m的坐標(biāo)為（3，）或（5，）或（5，0）9解：（1）四邊形abcd是正方形，oaob，aboa，點(diǎn)e為線段bo中點(diǎn)，oebeoboa，oe2+oa2ae2，且ae，oe2+4

20、oe25，oe1，afoe1，oboa2，ab2，bfabaf21；（2）如圖，延長(zhǎng)hg交ab于m，四邊形abcd是正方形，oabobaoadoda45，acbd，aodobo，ae平分bac，baeeao22.5，dea67.5dae，addeab，abafdeoe，bfdobo，bfobof67.5，aeobof67.5，aofeao22.5，eggo，aggo，agge，又adde，dmae，adgedg22.5，amd67.5bfo，fggm，baeeao，agag，aghagm90，agmagh（asa），gmgh，gfgh；（3）如圖，連接bh，點(diǎn)e在ob上運(yùn)動(dòng)，boh90，bheh，當(dāng)點(diǎn)e與點(diǎn)b重合時(shí)，he的長(zhǎng)度有