相似三角形的判定課件

1、27.2 相似三角形的判定,相似三角形的定義,對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù),知識回顧,注：三角形相似與三角形全等不同，全等 三角形一定相似，但相似三角形不一定全等,相似的表示方法,符號： 讀作：相似于,最簡單的相似多邊形是什么圖形呢,相似比,判定兩個(gè)三角形相似的方法,1)兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似; (2)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似; (3)三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似,如何證明,若從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似，需要考慮6個(gè)元素，比較麻煩,判定兩個(gè)三角形相似的簡單方法,如右下圖：在ABC中，D、E分別是AB、A

2、C邊上的點(diǎn)，且DEBC，則在ABC中有,下面對以上判定方法進(jìn)行嚴(yán)格的證明（定義法,如果D、E交在BA、CA的延長線上，且DEBC，結(jié)論是否仍然成立呢,注：寫相似時(shí)，要把表示對應(yīng)角頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上,EAD=CAB ADE=ABC AED=ACB,作EF/DB交CB延長線于F,對于上圖的情形，同樣可以證明ADEABC，這是判定兩個(gè)三角形相似的定理，即是預(yù)備定理,平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似,相似三角形判定的預(yù)備定理,A字型,8字型,定理所對應(yīng)的圖形如下,從預(yù)備定理出發(fā)，觀察下圖，你能得出什么新結(jié)論？在圖形變化過程中，始終滿足DEBC

3、,在圖形運(yùn)動中，由于DEBC，因此在D、E的變化過程中，ADE的邊長在變，而角的大小始終不變。這說明什么問題呢,說明只要兩個(gè)三角形的三個(gè)對應(yīng)角相等，那么兩個(gè)三角形就相似，而只要兩個(gè)角相等，第三個(gè)必相等，所以就有：判定定理1,思路：在運(yùn)動變化中找不變性,三角形相似判定定理1,簡述:兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似,已知,如圖,在ABC和ABC中,A=A,B=B, 求證:ABCABC,證明,在ABC的邊AB(或AB的延長線)上,截取AD=AB,過點(diǎn)D作DE/BC,交AC于點(diǎn)E.由預(yù)備定理得: ADEABC ADE=B,B=B ADE=B A=A, AD=AB ADEABC ABCABC,例1如圖,在AB

4、C, AB=AC, D是AC邊上一點(diǎn),BD=BC. 求證: BC2=ACCD,分析: 要證明BC2=ACCD，即證明 ，只要證明AC、BC和BC、CD為相似三角形的兩組對應(yīng)邊即可,證明,ABC是等腰三角形 A=180-2C BCD是等腰三角形 DBC=180-2C DBC=A 又C為公共角 ABCBDC,即 BC2=ACCD,如圖,圓內(nèi)接ABC角平分線CD延長后交圓于一點(diǎn)E,分析: 要證 ，應(yīng)考慮EB、BD 和EC、CB所在的三角形相似，即是EBDECB,練一練,證明：由已知條件，可得ACE= BCE,ACE與ABE是同弧上的圓周角,ACE= ABE,BCE= ABE,又 BED= CEB,E

5、BDECB,結(jié)合下圖，依照得出判定定理1的思路，即“在運(yùn)動中找不變性”我們還可以發(fā)現(xiàn)A=A， 此時(shí)兩個(gè)三角形也相似,三角形相似判定定理2,ABCA1B1C1,即： 如果,B =B1,那么,簡述:兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似,ADEABC,DE/BC,證明: 作 DE/BC,交AC于E,AE=AE,因此E與點(diǎn)E重合即DE與DE重合, 所以 DE/BC,采用了“同一法”的間接證明,引理 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延 長線)所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行 于三角形的第三邊,當(dāng)一個(gè)命題的條件和結(jié)論所指的概念唯一存在時(shí)，若直接證明有困難，就不妨改為去證它的逆否命題，然后根據(jù)唯

6、一性的原理斷言命題為真，這種解題方法叫做同一法,用同一法解題一般有三個(gè)步驟 先作出一個(gè)符合結(jié)論的圖形，然后推證出所作的圖形符合已知條件； 根據(jù)唯一性，證明所作出的圖形與已知的圖形是全等的或重合的； 從而說明已知圖形符合結(jié)論,例 如圖,在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D,連接AD和BD. 點(diǎn)E在ABC外,EBC=ABD,ECB=DAB.求證: DBEABC,研究兩個(gè)三角形相似的判定問題，除了上述方法外，還可以通過與三角形全等的判定進(jìn)行類比，得出有關(guān)猜想。例如，類比“三邊對應(yīng)相等，兩三角形全等”。可以得出猜想：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。即判定定理3,三角形相似判定定理3,簡述:三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似,

7、已知:如圖,在ABC和ABC中,求證: ABCABC,證明: 在ABC的邊AB(或延長線)上截取AD=AB,過點(diǎn)D作DE/BC,交AC于點(diǎn)E,ADEABC,AD=AB,ADEABC,ABCABC,例如圖,已知D、E、F分別是ABC三邊BC、CA、AB的中點(diǎn).求證：DEFABC,證明:線段EF、FD、DE都是ABC的中位線,DEFABC,直角三角形相似的判定,定理,此外，與直角三角形全等的判定定理類比，可以引出直角三角形相似的另一個(gè)判定定理,1)如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對應(yīng)相等,那么它們相似; (2)如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例,那么它們相似,如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊

8、與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例， 那么這兩個(gè)直角三角形相似,判定直角三角形相似的定理,ABCA1B1C1,即： 如果,那么,RtABC 和 RtA1B1C1,例如圖，已知AD、BE分別是ABC中BC邊和AC邊上的高，H是AD、BE的交點(diǎn),求證：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHE,分析: (1)只要證明RtADCRtBEC (2)只要證明RtAHERtBHD,小結(jié),相似三角形的概念,預(yù)備定理,判定定理3,判定定理2,判定定理1,直角三角形判定定理,如果兩個(gè)三角形有一個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形一定相似嗎,一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定相似,1）所有的等腰三角形都相似。 （2）所有的等腰直角三角形都相似。 （3）所有的等邊三角形都相似。 （4）所有的直角三角形都相似。 （5）有一個(gè)角是100 的兩個(gè)等腰三角形都相似。 （6）有一個(gè)角是70 的兩個(gè)等腰三角形都相似。 （7）若兩個(gè)三角形相似比為1，則它們必全等。 （8）相似的兩個(gè)三角形一定大小不等,1. 判斷下列說法是否正確？并說明理由,隨堂練習(xí),ACD CBD ABC,小練習(xí),找出圖中所有的相似三角形,雙垂直”三角形,有三對相似三角形： ACD CBD CBD ABC A