復(fù)合函數(shù)的定義域問題

1、復(fù)合函數(shù)的定義域問題一、復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成設(shè)是到的函數(shù)，是到上的函數(shù)，且，當(dāng)取遍中的元素時(shí)，取遍，那么就是到上的函數(shù)。此函數(shù)稱為由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。 說明：復(fù)合函數(shù)的定義域，就是復(fù)合函數(shù)中的取值范圍。稱為直接變量，稱為中間變量，的取值范圍即為的值域。與表示不同的復(fù)合函數(shù)。例1設(shè)函數(shù)，求若的定義域?yàn)椋瑒t復(fù)合函數(shù)中，注意：的值域例2：若函數(shù)的定義域是0，1，求的定義域；若的定義域是-1，1，求函數(shù)的定義域；已知定義域是，求定義域要點(diǎn)1：解決復(fù)合函數(shù)問題，一般先將復(fù)合函數(shù)分解，即它是哪個(gè)內(nèi)函數(shù)和哪個(gè)外函數(shù)復(fù)合而成的 解答：函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)函數(shù)的定義域是

2、0，1，B=0,1，即函數(shù)的值域?yàn)?，1，即，函數(shù)的定義域0，函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域是-1，1，A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1，的定義域是-3，1要點(diǎn)2：若已知的定義域?yàn)?，則的定義域就是不等式的的集合；若已知的定義域?yàn)?，則的定義域就是函數(shù) 的值域。函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域是-4，5),A=-4,5)即，即的值域B=-1，8）又是由到上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，而,從而的值域的定義域是1，）例3：已知函數(shù)定義域是（a,b），求的定義域解：由題，當(dāng)，即時(shí)，不表示函數(shù)；當(dāng)，即時(shí)，表示函數(shù)，其定義域?yàn)檎f明

3、： 已知的定義域?yàn)?a,b)，求的定義域的方法：已知的定義域?yàn)?，求的定義域。實(shí)際上是已知中間變量的的取值范圍，即，。通過解不等式求得的范圍，即為的定義域。已知的定義域?yàn)?a,b)，求的定義域的方法：若已知的定義域?yàn)?，求的定義域。實(shí)際上是已知復(fù)合函數(shù)直接變量的取值范圍，即。先利用求得的范圍，則的范圍即是的定義域,即使函數(shù)的解析式形式所要求定義域真包含的值域，也應(yīng)以的值域做為所求的定義域，因?yàn)橐_保所求外含數(shù)與已知條件下所要求的外含數(shù)是同一函數(shù)，否則所求外含數(shù)將失去解決問題的有效性。換元法其實(shí)質(zhì)就是求復(fù)合函數(shù)的外函數(shù)，如果外函數(shù)的定義域不等于內(nèi)函數(shù)的值域，那么就確定不了的最值或值域。例4：已知函數(shù)

4、,求的值域。分析：令，； 則有，復(fù)合函數(shù)是由與復(fù)合而成，而，的值域即的值域，但的本身定義域?yàn)?其值域則不等于復(fù)合函數(shù)的值域了。例5：已知函數(shù)，求函數(shù)的解析式，定義域及奇偶性。 分析：因?yàn)槎x域?yàn)榛?令，；則，且 所以 ，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故是非奇非偶函數(shù)。 然而只就解析式而言，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，且，所以是奇函數(shù)。就本題而言就是外函數(shù)其定義域決定于內(nèi)函數(shù)，的值域，而不是外函數(shù)其解析式本身決定的定義域了。2求有關(guān)復(fù)合函數(shù)的解析式，例6已知 求；已知 ，求例7已知 ，求； 已知，求要點(diǎn)3：已知求復(fù)合函數(shù)的解析式，直接把中的換成即可。已知求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在中把關(guān)于變

5、量的表達(dá)式先湊成整體的表達(dá)式，再直接把換成而得。換元法就是先設(shè)，從中解出（即用表示），再把（關(guān)于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得，這種代換遵循了同一函數(shù)的原則。例8已知是一次函數(shù)，滿足，求；已知，求要點(diǎn)4： 當(dāng)已知函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式時(shí)，一般用待定系數(shù)法。 若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組、消參的思想方法 求函數(shù)的解析式。已知滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如、等，必須根據(jù)已知等式再構(gòu)造出其他等式組成方程組，通過解方程組求出。二、練習(xí)：已知，求和解：令，設(shè)，令，設(shè)，已知，求分析：是用替換中的而得到的，問題是用中的替換呢，還是用替換呢？所以要按、

6、分類；注：是用替換中的而得到的，問題是用替換中的呢，還是替換呢？所以要看還是，故按、分類。Key:；注：。三、總結(jié)：復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成；設(shè)函數(shù)，則我們稱是由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。其中被稱為直接變量，被稱為中間變量。復(fù)合函數(shù)中直接變量的取值范圍叫做復(fù)合函數(shù)的定義域，中間變量的取值范圍，即是的值域，是外函數(shù)的定義域。有關(guān)復(fù)合函數(shù)的定義域求法及解析式求法：定義域求法：求復(fù)合函數(shù)的定義域只要解中間變量的不等式（由解）；求外函數(shù)的定義域只要求中間變量的值域范圍（由求的值域）。已知一個(gè)復(fù)合函數(shù)求另一個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域，必須先求出外函數(shù)的定義域。特別強(qiáng)調(diào)，此時(shí)求出的外函數(shù)的定義域一定是前一個(gè)復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)的值域，例2（3）反映明顯。解析式求法：待定系數(shù)法、配湊法、換元法、解方程組消元法四：外函數(shù)解析式其本身決定定義域的主要依據(jù)有： 當(dāng)為整式或奇次根式時(shí)，R； 當(dāng)為偶次根式時(shí)，被開方數(shù)不小于0（即0）； 當(dāng)為分式時(shí)，分母不為0；當(dāng)分母是偶次根式時(shí)，被開方數(shù)大于0； 當(dāng)為指數(shù)式時(shí)，對零指數(shù)冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，底不為0（如，中）。 當(dāng)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，它的定義域應(yīng)是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。 分段函數(shù)的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。 由實(shí)際問題建立的函數(shù)，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮