2018-2019學(xué)年江蘇省揚州市邗江中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(解析版

1、2018-2019學(xué)年江蘇省揚州市邗江中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1在ABC中，下列等式正確的是( )Aa:b=A:BBa:b=sinA:sinBCa:b=sinB:sinADasinA=bsinB【答案】B【解析】根據(jù)正弦定理變形得到結(jié)果.【詳解】由正弦定理asinA=bsinB可得：a:b=sinA:sinB，可知B正確本題正確選項：B【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2若直線l的斜率k1,3，則直線傾斜角的范圍是（ ）A4,3B0,334,)C3,34D3,2)(2,34【答案】B【解析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，利用正切值所處范圍得到傾斜角的范圍.【詳解】k=tan

2、1,3，且0,當(dāng)tan1,0時，34,；當(dāng)tan0,3時，0,30,334,本題正確選項：B【點睛】本題考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系，利用斜率的取值范圍可求得傾斜角范圍，需注意的是直線傾斜角范圍為：0,.3下列說法正確的是（ ）A通過圓臺側(cè)面一點，有無數(shù)條母線B棱柱的底面一定是平行四邊形C用一個平面去截棱錐，原棱錐底面和截面之間的部分是棱臺D圓錐的所有過中心軸的截面都是等腰三角形【答案】D【解析】根據(jù)空間幾何體的定義依次判斷各個選項即可.【詳解】根據(jù)母線定義可知，通過圓臺側(cè)面一點，有且僅有一條母線，可知A錯誤；棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面是四邊形即可，可知B錯誤；

3、由棱臺的定義可知，需用平行于底面的平面截棱錐可得棱臺，不是任意平面都可以，可知C錯誤；圓錐的軸截面為等腰三角形，可知D正確.本題正確選項：D【點睛】本題考查空間幾何體基本概念的判定，屬于基礎(chǔ)題.4在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且sinA:sinB:sinC=3:5:7,則最大角為（ ）A56B6C23D3【答案】C【解析】根據(jù)正弦定理可得三邊的比例關(guān)系；由大邊對大角可知C最大，利用余弦定理求得余弦值，從而求得角的大小.【詳解】sinA:sinB:sinC=3:5:7 由正弦定理可得：a:b:c=3:5:7設(shè)a=3k，b=5k，c=7kc最大 C為最大角cosC=a2+b2c

4、22ab=9k2+25k249k223k5k=15k230k2=12C0, C=23本題正確選項：C【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，涉及到三角形中大邊對大角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5已知不重合的直線a，b和平面，下面命題中正確的是() 若a，b，則ab； 若ca，bc，則ab； 若ab，b，則a； 若ab，a，則b或bABCD【答案】D【解析】在正方體中分別尋找反例，可說明錯誤，根據(jù)平行的位置關(guān)系可知正確.【詳解】在如下圖所示的正方體中：A1B1/平面ABCD，BC平面ABCD，此時A1B1與BC異面，可知錯誤；ABAD，AA1AD，此時AA1AB，可知錯誤；AB/CD，CD平面ABCD

5、，此時AB平面ABCD，可知錯誤；兩條平行直線中的一條直線平行于一個平面，則另一條必平行于該平面或?qū)儆谠撈矫?，可知正確本題正確選項：D【點睛】本題考查空間中直線與直線、直線與平面之間的位置關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題.6在正方體ABCDA1B1C1D1各個表面的對角線中，與AD1所成角為60的有( )A4條B6條C8條D10條【答案】C【解析】首先確定與AD1共面的面對角線中成60角的共有4條，再通過平行關(guān)系確定異面的面對角線中也有4條，共8條.【詳解】以AD1為一邊的面對角線構(gòu)成的等邊三角形如上圖為：AB1D1和AD1C可知與AD1夾角為60的面對角線有：B1D1,AB1,CD1,AC根據(jù)平行關(guān)系

6、可知BD,C1D,A1B,A1C1也與AD1成60角可知滿足題意的面對角線共有8條本題正確選項：C【點睛】本題考查兩條直線夾角的問題，關(guān)鍵是在考慮共面的直線的同時，也需要考慮異面直線的情況.7如果滿足ABC=60，AB=8，AC=k的三角形ABC有兩個，那么實數(shù)k的取值范圍是（ ）A23,43B(43,8)C(4,8)D43,6)【答案】B【解析】根據(jù)三角形解得個數(shù)的確定方法，確定當(dāng)ABC有兩個時，需滿足csinBbc，由此得到k的范圍.【詳解】如圖所示，AD=ABsinB=43當(dāng)ADACAB時，以A為圓心，AC為半徑的弧與BC交于兩點C1、C2即此時ABC有兩個可得：43k8本題正確選項：B

7、【點睛】本題考查解三角形中三角形解的個數(shù)的確定方法，通常我們采用畫圓的方式，確定圓弧與邊交點的個數(shù)，根據(jù)交點個數(shù)得到三角形個數(shù).8兩點(2,3),(4,5)到直線l的距離都等于5，則直線l有（ ）條A1條B2條C3條D4條【答案】C【解析】根據(jù)兩點間距離可確定直線可在兩點連線之間，也可以平行于兩點連線所在直線；當(dāng)平行時，求出斜率，假設(shè)直線方程，利用點到直線距離構(gòu)造方程，求出直線有2條；當(dāng)在兩點連線之間時，可確定斜率一定存在，利用點到直線距離構(gòu)造方程，求出直線有1條；所以滿足題意的直線共有3條.【詳解】2,3與4,5之間距離d=242+352=10兩點2,3、4,5到直線l距離都等于5l可在兩點

8、連線之間，也可以平行于兩點連線所在的直線平行于兩點連線所在的直線，則k=5+34+2=43設(shè)直線l方程為：y=43x+b，即4x3y+3b=0可得：8+9+3b5=5，解得：b=8或b=263在兩點連線之間，則直線l必過中點1,1當(dāng)l斜率不存在，即為x=1時，不滿足題意則l斜率存在，設(shè)l:y1=kx1，即kxyk+1=0可得：2k+3k+1k2+1=5，解得k=34綜上所述，直線l共有3條本題正確選項：C【點睛】本題考查點到直線距離公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是要通過兩點間距離判斷滿足題意的直線的位置有可能在連線之間，也可以平行于兩點連線，由此分別求解得到結(jié)果.9在ABC中，若tanAtanC+tanBt

9、anC=tanAtanB，且a2+b2=mc2，則實數(shù)m的值為( )A3B2C2D3【答案】A【解析】將正切化弦后進行整理，得到sin2CsinAsinB=cosC，根據(jù)正余弦定理將角化為邊，可得到a2+b2=3c2，從而可求出m.【詳解】tanAtanC+tanBtanC=sinAsinCcosAcosC+sinBsinCcosBcosC=sinAcosBsinC+cosAsinBsinCcosAcosBcosC=sinCsinAcosB+cosAsinBcosAcosBcosC=sinCsinA+BcosAcosBcosC=sin2CcosAcosBcosCtanAtanB=sinAsin

10、BcosAcosBsin2CcosAcosBcosC=sinAsinBcosAcosB，即sin2CsinAsinB=cosC由正弦定理、余弦定理得：c2ab=a2+b2c22ab，即a2+b2=3c2又a2+b2=mc2 m=3本題正確選項：A【點睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理對邊角關(guān)系式進行化簡，解決此類問題時如遇到正切、余切，通常采用切化弦的方式，將問題轉(zhuǎn)化到正余弦的問題上再來求解.10點P為直線y=34x上任意一點，F(xiàn)1(5,0),F2(5,0)，則|PF1|PF2|的取值范圍是 （ ）A0,8)B2,10C3,6D0,+）【答案】A【解析】兩點關(guān)于原點對稱，且直線過原點，可知最小

11、值在P為坐標(biāo)原點時取得；利用點關(guān)于直線對稱點的求解方法求出F1的對稱點F1，由斜率關(guān)系可知直線F1F2平行于y=34x，則PF1PF2F1F2，從而可得到所求范圍.【詳解】當(dāng)P為坐標(biāo)原點時，PF1=PF2，此時PF1PF2=0，為最小值設(shè)F1關(guān)于y=34x對稱的點為F1x,y則：y0x+534=1y+02=34x52，解得：F175,245，此時PF1=PF1又kF1F2=0+2455+75=34，得：直線F1F2平行于y=34x可知P,F1,F2必構(gòu)成三角形PF1PF2=PF1PF2F1F2=5+752+0+2452=8即PF1PF20 r2本題正確結(jié)果：2,+【點睛】本題考查圓的一般方程的

12、應(yīng)用，涉及到二次函數(shù)最值問題的求解，屬于常規(guī)題型.12已知正方體ABCDA1B1C1D1，P為棱AA1上任意一點，則四棱錐PBB1D1D的體積與正方體ABCDA1B1C1D1的體積之比為_【答案】13【解析】利用線面平行關(guān)系將所求四棱錐的高變?yōu)锳到面BB1D1D的距離，根據(jù)正方體特點可知為12AC；根據(jù)體積公式分別求解正方體和四棱錐體積，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意可知：AA1/平面BDD1B1P到平面BDD1B1的距離即為A到平面BDD1B1的距離又ACBD，ACBB1 AC平面BDD1B1設(shè)正方體棱長為a則正方體體積V=a3四棱錐PBB1D1D的體積V=13SBB1DD12AC=162a2

13、2a=13a3 V:V=13本題正確結(jié)果：13【點睛】本題考查空間幾何體體積的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過平行關(guān)系確定幾何體的高，從而使問題得以解決.13設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，若(3bc)cosA=acosC，則cosA的值為_【答案】33【解析】利用正弦定理將邊角關(guān)系式中的邊都化成角，再結(jié)合兩角和差公式進行整理，從而得到cosA.【詳解】3bccosA=acosC由正弦定理可得：3sinBsinCcosA=3sinBcosAsinCcosA=sinAcosC即：3sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sinA+C=sinBB0, sinB0 cosA=

14、33本題正確結(jié)果：33【點睛】本題考查李用正弦定理進行邊角關(guān)系式的化簡問題，屬于常規(guī)題.14已知直線l過點(2,3)，且在x軸上的截距是在y軸上截距的兩倍，則直線l的方程為_【答案】3x2y=0或x+2y8=0【解析】討論截距為零和不為零兩種情況，為零時根據(jù)斜率直接得到直線；不為零時，假設(shè)直線的截距式方程，代入點求得結(jié)果.【詳解】若l在坐標(biāo)軸的截距均為0，即l過原點，滿足題意此時l方程為：y=32x，即3x2y=0當(dāng)l在坐標(biāo)軸截距不為0時，設(shè)其在y軸截距為b則l方程為：x2b+yb=1，代入2,3，解得：b=4 l方程為：x+2y8=0綜上，直線l方程為：3x2y=0或x+2y8=0本題正確結(jié)

15、果：3x2y=0或x+2y8=0【點睛】本題考查直線方程的求解問題，主要考察直線截距式方程的應(yīng)用，易錯點是忽略了截距為零的情況.15如圖,為測得河對岸塔AB的高,先在河岸上選一點C,使C在塔底B的正東方向上,測得點A的仰角為60,再由點C沿北偏東15方向走10 m到位置D,測得BDC45,則塔AB的高是_.【答案】10【解析】設(shè)塔高AB為x米，根據(jù)題意可知，在ABC 中，ABC=90，ACB=60，AB=x， 從而有BC=33x，AC=233x ；在BCD中，CD=20，BCD=105，BDC=30，CBD=45 ，由正弦定理可得BC=20sin30sin45=15233x=102.x=106

16、 故塔高AB為106m.16等腰三角形一腰的中線長為2，則該三角形面積的最大值為_【答案】83【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)出各點坐標(biāo)，得到向量BD，利用BD2=4得到m,n滿足的關(guān)系；利用m,n表示出三角形面積后，配湊出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出最大值.【詳解】由題意，建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系：設(shè)Bm,0，Cm,0，A0,nD為AC中點 Dm2,n2 BD=3m2,n2BD2=3m22+n22=4SABC=122mn=mn=433m2n2433m22+n222=83當(dāng)且僅當(dāng)3m2=n2，即n=3m時取等號本題正確結(jié)果：83【點睛】本題考查利用基本不等式解決幾何中的最值問

17、題，關(guān)鍵是能夠通過長度關(guān)系得到m,n滿足的關(guān)系式，從而利用基本不等式求解積的最大值的方法得到所求最值.三、解答題17（1）求過點(2,1)且和直線2x+4y7=0平行的直線方程；（2）求過點(2,3),(2,5)且圓心在直線x2y3=0上的圓的方程?！敬鸢浮?1)x+2y4=0(2)(x+1)2+(y+2)2=10【解析】（1）假設(shè)平行直線方程，代入點求得方程；（2）假設(shè)圓心坐標(biāo)，利用圓心到兩點距離相等構(gòu)造方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，從而得到圓的方程.【詳解】（1）設(shè)所求直線為：2x+4y+m=0代入2,1得：4+4+m=0 m=8所求直線方程為：x+2y4=0（2）圓心在直線x2y3=0上可設(shè)

18、圓心為2t+3,t則r=2t+322+t+32=2t+3+22+t+52解得：t=2，r=10，則圓心為1,2圓的方程為：x+12+y+22=10【點睛】本題考查利用直線平行關(guān)系求解直線方程、已知圓上兩點和圓心所在直線求解圓的方程問題，屬于基礎(chǔ)題.18已知在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且b2=a2+c23ac，c=3b（1）求角A； （2）若ABC的外接圓半徑為2，求ABC的面積【答案】（1）當(dāng)C=60時A=90，當(dāng)C=120時A=30，（2）當(dāng)A=90時，SABC=23，當(dāng)A=30時，SABC=3【解析】試題分析：（1）ABC中，b2=a2+c23ac，cosB=a2+c

19、2b22ac=32，B=303分csinC=bsinB，sinCsinB=cb，又c=3b，即sinCsin30=3 sinC=32C=60或1206分A+B+C=180當(dāng)C=60時A=90，當(dāng)C=120時A=30， 8分（2）bsinB=csinC=2R，b=2RsinB,c=2RsinC10分當(dāng)A=90時，SABC=12ABACsinA=2R2sinAsinBsinC=2312分當(dāng)A=30時，SABC=12ABACsinA=2R2sinAsinBsinC=3綜上所述：當(dāng)A=90時，SABC=23，當(dāng)A=30時，SABC=314分【考點】本題考查了正余弦定理的綜合運用點評：正、余弦定理是解斜

20、三解形強有力的工具，在求解三角形的時候，問題涉及三角形的若干幾何量，解題時要注意邊與角的互化.一般地，已知三角形的三個獨立條件（不含已知三個角的情況），應(yīng)用兩定理，可以解三角形19如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=AC，D，F(xiàn)分別是棱BC，B1C1的中點，E是棱CC1上的一點求證：（1）直線A1F平面ADE；（2）直線A1F直線DE【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）通過證明四邊形AA1FD為平行四邊形可證得A1F/AD，再根據(jù)線面平行判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一和線面垂直性質(zhì)可證得ADBC，A1FBC，從而根據(jù)線面垂直判定定理得到A1F平面BCC1

21、B1；再根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理得到結(jié)論.【詳解】（1）連接FDF,D分別為B1C1,BC中點 FD/BB1/AA1且FD=BB1=AA1四邊形AA1FD為平行四邊形 A1F/AD又A1F平面ADE，AD平面ADEA1F/平面ADE（2）AB=AC，D為BC中點 ADBC又A1F/AD A1FBC由直三棱柱可知：CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1CC1A1F，又CC1BC=C，CC1,BC平面BCC1B1 A1F平面BCC1B1DE平面BCC1B1 A1FDE【點睛】本題考查線面平行、線線垂直的證明問題，涉及到線面平行判定定理、線面垂直判定定理、線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用.在立體幾何中，

22、如果最終需證明線線垂直，則往往通過線面垂直的性質(zhì)定理證得結(jié)論.20如圖，等邊ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，BDAE，BD2AE，AEAB，M為AB的中點(1)證明：CMDE；(2)在邊AC上找一點N，使CD平面BEN.【答案】（1）見解析；（2）N為AC邊上靠近A的三等分點；證明見解析.【解析】（1）根據(jù)等邊三角形證得CMAB，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直，利用線面垂直的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）取面ADC，當(dāng)BE與AC上一點連線構(gòu)成平面時，根據(jù)線面平行性質(zhì)定理可知：所得平面與面ADC的交線必平行于CD；兩面已有一個交點P，則只需過P作CD的平行線，與AC交點即為N，根據(jù)長度關(guān)系可知

23、：N為AC邊上靠近A的三等分點；通過找BD中點F得EF/AB，易證得G為AD和EF中點；根據(jù)平行線分線段成比例和長度關(guān)系可證得PGAP=NHAN=12，從而證得PN/GH，再利用三角形中位線得GH/CD，從而有PN/CD，根據(jù)線面平行判定定理，可證得結(jié)論成立.【詳解】（1） ABC為等邊三角形，且M為AB中點 CMAB又平面ABC平面ABDE，平面ABC平面ABDE=AB，CM平面ABCCM平面ABDE又DE平面ABDE CMDE（2）N為AC邊上靠近A的三等分點，證明如下：取BD中點F，連接EF交AD于G取AC中點H，連接GH；連接BE交AD于PBD=2AE，F(xiàn)為BD中點，BD/AE EF/

24、AB G為AD中點FG=EG=12ABEG/AB EGAB=PGAP=12N為AC邊上靠近A的三等分點即ANAC=13 ANAH=23 ANAHAN=ANNH=2即NHAN=12 PN/GH又G,H分別為AD,AC中點 GH/CDPN/CD又PN面BEN，CD面BEN CD/面BEN【點睛】本題考查線線垂直的證明、補全線面平行的條件的存在性問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)圖形，逆用線面平行性質(zhì)定理首先確定特殊點的位置，再利用相關(guān)定理進行證明.21已知ABC的面積為32，且ABAC=1且ABAC（1）求角A的大小；（2）設(shè)M為BC的中點，且AM=32，BAC的平分線交BC于N，求線段MN的長度。【答案】（1

25、）A=23（2）MN=76【解析】（1）利用向量數(shù)量積和三角形面積公式可構(gòu)造出tanA的值，從而得到A；（2）利用AM為中線得到向量關(guān)系：2AM=AB+AC；通過平方運算轉(zhuǎn)化為模長的計算可得b2+c2=5；再根據(jù)（1）中bc=2可求出b,c，從而余弦定理可得a；根據(jù)等高三角形面積之比等于底邊之比可求得CN，進而可求得所求結(jié)果.【詳解】（1）ABAC=-1 ABACcosA=bccosA=-1又SABC=12bcsinA=32，即bcsinA=3bcsinAbccosA=sinAcosA=tanA=-3又A0, A=23（2）如下圖所示：在ABC中，AM為中線 2AM=AB+AC4AM2=AB+AC2=AB2+2ABAC+AC2=c2+b2-2=3b2+c2=5由（1）知：bcsinA=3 bc=2又cb c=2，b=1由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=5+2=7 a=7SANC=12ANbsinCAN=12ANsinCANSBAN=12ANcsinBAN=ANsinBAN又CAN=BANSANCSBAN=CNBN=12，又CN+BN=a=7 CN=73MN=CM-CN=12a-CN=72-73=76【點睛】本題考查向量與解三角形綜合應(yīng)用問題，涉及到向量數(shù)量積運算、余弦定理的應(yīng)用、三角形面積公式的應(yīng)用等，關(guān)鍵在于能夠通過向量關(guān)系構(gòu)造方程，