數(shù)值分析-第二章-學習小結(jié)

1、第2章 線性方程組的解法 -學習小結(jié)一、 本章學習體會本章主要學習的是線性方程組的解法。而我們則主要學習了高斯消去法、直接三角分解法以及迭代法三種方法。這三種方法的優(yōu)缺點以及適用范圍各有不同。高斯消去法中，我們又學習了順序高斯消去法以及列主元素高斯消去法。順序高斯消去法可以得到方程組的精確解，但要求系數(shù)矩陣的主對角線元素不為零，而且該方法的數(shù)值穩(wěn)定性沒有保證。但列主元素高斯消去法因為方程順序的調(diào)整，其有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。直接三角分解法中，我們主要學習了Doolitte分解法與Crout分解法。其思想主要是：令系數(shù)矩陣A=UL，其中L為下三角矩陣，U是上三角矩陣，為求AX=b 的解，則引進Ly=

2、b,Ux=y兩個方程，以求X得解向量。這種方法計算量較小，但是條件苛刻，且不具有數(shù)值穩(wěn)定性。迭代法（逐次逼近法）是從一個初始向量出發(fā)，按照一定的計算格式，構(gòu)造一個向量的無窮序列，其極限才是所求問題的精確解，只經(jīng)過有限次運算得不到精確解。該方法要求迭代收斂，而且只經(jīng)過有限次迭代，減少了運算次數(shù)，但是該方法無法得到方程組的精確解。二、本章知識梳理針對解線性方程組，求解線性方程組的方法可分為兩大類：直接法和迭代法 ，直接法（精確法）：指在沒有舍入誤差的情況下經(jīng)過有限次運算就能得到精確解。迭代法（逐次逼近法）：從一個初始向量出發(fā)，按照一定的計算格式，構(gòu)造一個向量的無窮序列，其極限才是所求問題的精確解，

3、只經(jīng)過有限次運算得不到精確解。我們以前用的是克萊姆法則，對于計算機來說，這種方法運算量比較大，因此我們學習了幾種減少運算次數(shù)的方法，有高斯消去法、直接三角分解法，同時針對病態(tài)方程組，也提出了幾種不同的解法。2.1 Gauss消去法Gauss消去法由消元和回代兩個過程組成，消元過程是指針對方程組的增廣矩陣，做有限次初等行變化，使它系數(shù)矩陣變?yōu)樯先蔷仃嚒?.1.1順序Gauss消去法消元過程：對于K=1,2,3,n-1執(zhí)行(1) 如果akk(k)=0,則算法失效，停止計算；否則轉(zhuǎn)（2）(2) 對于i=k+1,k+2,n計算mik=aij(k)akk(k)aij(k+1)=aij(k)-mikai

4、kk (j=k+1,k+2,n)bi(k+1)=bi(k)-mikbkk回代過程：xn=bn(n)ann(n)xk=bk(k)-j=k+1nakj(k)xjakk(k) (k=n-1,n-2,1)綜上：順序Gauss消去法的數(shù)值穩(wěn)定性是沒有保證的。2.1.2列主元Gauss消去法1.消元過程對于K=1,2,3,n-1執(zhí)行（1） 選行號ik，使得aik(k)=maxkinaik(k)（2） 交換akj(k)與aikk(j=k,k+1,n)以及bk(k)與bik(k)所含的數(shù)值。（3） 對于i=k+1,k+2,n計算mik=aij(k)akk(k)aij(k+1)=aij(k)-mikaikk (

5、j=k+1,k+2,n)bi(k+1)=bi(k)-mikbkk回代過程：xn=bn(n)ann(n)xk=bk(k)-j=k+1nakj(k)xjakk(k) (k=n-1,n-2,1)經(jīng)驗證，列主元Gauss消元法有很好的數(shù)值穩(wěn)定性。2.2直接三角分解法三角分解法的思想：系數(shù)矩陣A=UL，其中L為下三角矩陣，U是上三角矩陣，為求AX=b 的解，則引進Ly=b,Ux=y兩個方程，以求X得解向量。2.2.1Doolittle(杜利特爾)分解L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣定理：矩陣A=aijnn(n2)有唯一的能進行Doolittle(杜利特爾)分解的充分必要條件是：A的前n-1個順序主子式

6、不等于0（1）A的Doolitte分解的計算公式對于k=1,2,n計算ukj=akj-t=1k-1lktutj (j=k,k+1,n)lik=aik-t=1k-1litutkukk (i=k+1,k+2,n;kn)解的計算公式：y1=b1yi=bi-t=1i-1lityt (i=2,3,n)xn=ynunnxi=yi-t=i+1nuitxtuii (i=n-1,n-2,1)（2）選主元的Doolitte分解法：定理：若矩陣ARnn非奇異，則存在置換矩陣Q，使得QA可做Doolitte分解，QA=LU，其中L是單位下三角矩陣，U是上三角矩陣。只有矩陣A非奇異，則通過對A 做適當?shù)男凶儞Q就可以進行

7、Doolitte分解，而不必要求A的前n-1個順序主子式不為0.進行選主元的Doolitte分解法具體算法如下：1）做分解QA=LU對于K=1,2，n 執(zhí)行2）計算中間量si=aik-t=1k-1litutk i=k,k+1,n選行號ik,使得sik=maxkinsi,令Mk=il若ik=k,則轉(zhuǎn)下一步，否則交換lkt與likt(t=1,2,k-1)、akt與aikt(t=k,k+1,n)以及si與sik所含的數(shù)值，轉(zhuǎn)下一步計算ukk=skukj=akj-t=1k-1lktutj (j=k+1,n;kn)lik=aik-t=1k-1litutkukk (i=k+1,k+2,n;kn)3）求Qb

8、對于K=1,2，n-1 執(zhí)行t=Mk交換bk與bt所含的數(shù)值4）求解Ly=Qb和Ux=yy1=b1yi=bi-t=1i-1lityt (i=2,3,n)xn=ynunnxi=yi-t=i+1nuitxtuii (i=n-1,n-2,1)2.2.2Crout(克勞特)分解L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣推論：矩陣A=aijnn(n2)有唯一的能進行Crout(克勞特)分解分解的充分必要條件是：A的前n-1個順序主子式不等于0A的Crout(克勞特)分解的計算公式對于k=1,2,n計算lik=aik-t=1k-1litutk (i=k,k+1,n)ukj=akj-t=1k-1lktutjlkk

9、(j=k+1,k+2,n;kn)解的計算公式：y1=b1l11yi= bi-t=1i-1lityt lii(i=2,3,n)xn=ynxi=yi-t=i+1nuitxt (i=n-1,n-2,1)2.2.3三角分解法解帶狀線性方程組定理：（1）A=aijnn是上半帶寬為s，下半帶寬為r的帶狀矩陣（2）A的前n-1個順序主子式均不為零則A有唯一的Doolitte分解A=LU，其中L是下半帶寬為r的單位下三角矩陣，U是上半帶寬為s的上三角矩陣。（1）作分解A=LU對于k=1,2,n計算ukj=akj-t=max(1,k-r,j-s)k-1lktutj (j=k.k+1,min(k+s,n)uik=aik-t=max(1,i-r,k-s)k-1litutklkk (i=k+1,k+2,mink+r,n;k1, 逐次超松弛迭代法1, 逐次低松弛迭代法=1, GS迭代法 三、本章思考題Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、逐次超松弛迭代法三種迭代方法，各有其優(yōu)缺點以及適用范圍，能否將三種方法有機結(jié)合，從而得到一個新的算法，使其適用范圍和計算精度有所提升？思路：使用類似加權(quán)平均的方法將三種方法的計算公式結(jié)合，已達到預期目標。然而，該方