幾何應(yīng)用課件

1、幾何應(yīng)用,四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充,三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積,第二節(jié),一、 平面圖形的面積,二、 平面曲線的弧長(zhǎng),定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,第六章,幾何應(yīng)用,一、平面圖形的面積,1. 直角坐標(biāo)情形,設(shè)曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,邊梯形面積為 A,右下圖所示圖形面積為,幾何應(yīng)用,例1. 計(jì)算兩條拋物線,在第一象限所圍,圖形的面積,解: 由,得交點(diǎn),幾何應(yīng)用,例2. 計(jì)算拋物線,與直線,的面積,解: 由,得交點(diǎn),所圍圖形,為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有,幾何應(yīng)用,例3. 求橢圓,解: 利用對(duì)稱性,所圍圖形的面積,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當(dāng) a =

2、 b 時(shí)得圓面積公式,幾何應(yīng)用,一般地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程,給出時(shí),按順時(shí)針方向規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值,則曲邊梯形面積,幾何應(yīng)用,例4. 求由擺線,的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積,解,幾何應(yīng)用,2. 極坐標(biāo)情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,幾何應(yīng)用,對(duì)應(yīng) 從 0 變,例5. 計(jì)算阿基米德螺線,解,到 2 所圍圖形面積,幾何應(yīng)用,心形線,例6. 計(jì)算心形線,所圍圖形的,面積,解,利用對(duì)稱性,心形線,幾何應(yīng)用,心形線(外擺線的一種,即,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn) 動(dòng)畫開始或暫停,尖點(diǎn),面積,弧長(zhǎng),參數(shù)的

3、幾何意義,幾何應(yīng)用,例7. 計(jì)算心形線,與圓,所圍圖形的面積,解: 利用對(duì)稱性,所求面積,幾何應(yīng)用,例8. 求雙紐線,所圍圖形面積,解: 利用對(duì)稱性,則所求面積為,思考: 用定積分表示該雙紐線與圓,所圍公共部分的面積,答案,幾何應(yīng)用,二、平面曲線的弧長(zhǎng),當(dāng)折線段的最大,邊長(zhǎng) 0 時(shí),折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限,即,并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的,定理: 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的,證明略,則稱,幾何應(yīng)用,1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出,弧長(zhǎng)元素(弧微分),因此所求弧長(zhǎng),幾何應(yīng)用,2) 曲線弧由參數(shù)方程給出,弧長(zhǎng)元素(弧微分),因此所求弧長(zhǎng),幾何應(yīng)用,3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出,因此所求弧長(zhǎng),則得

4、,弧長(zhǎng)元素(弧微分),自己驗(yàn)證,幾何應(yīng)用,例9. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,成懸鏈線,求這一段弧長(zhǎng),解,下垂,懸鏈線方程為,幾何應(yīng)用,例10. 求連續(xù)曲線段,解,的弧長(zhǎng),幾何應(yīng)用,例11. 計(jì)算擺線,一拱,的弧長(zhǎng),解,幾何應(yīng)用,例12. 求阿基米德螺線,相應(yīng)于 02,一段的弧長(zhǎng),解,幾何應(yīng)用,三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x,則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,上連續(xù),幾何應(yīng)用,特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有,幾何應(yīng)用,例13. 計(jì)算由

5、橢圓,所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而,轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積,解: 方法1 利用直角坐標(biāo)方程,則,利用對(duì)稱性,幾何應(yīng)用,方法2 利用橢圓參數(shù)方程,則,特別當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積,幾何應(yīng)用,例14. 計(jì)算擺線,的一拱與 y0,所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積,解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,利用對(duì)稱性,幾何應(yīng)用,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,注意上下限,注,注,幾何應(yīng)用,注,分部積分,利用“偶倍奇零”,幾何應(yīng)用,柱殼體積,說明,柱面面積,幾何應(yīng)用,偶函數(shù),奇函數(shù),幾何應(yīng)用,例15. 設(shè),在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且,形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體

6、體積,證明,證,利用柱殼法,則,故,幾何應(yīng)用,例16. 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心,并,與底面交成 角,解: 如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為,垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為,利用對(duì)稱性,計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積,幾何應(yīng)用,思考: 可否選擇 y 作積分變量 ,此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ,如何用定積分表示體積 ,提示,幾何應(yīng)用,解: 垂直 x 軸的截面是橢圓,例17. 計(jì)算由曲面,所圍立體(橢球體,它的面積為,因此橢球體體積為,特別當(dāng) a = b = c 時(shí)就是球體體積,的體積,幾何應(yīng)用,例18. 求曲線,與 x 軸圍成的封閉圖形,繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積,1

7、994 考研,解: 利用對(duì)稱性,故旋轉(zhuǎn)體體積為,在第一象限,幾何應(yīng)用,四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充,設(shè)平面光滑曲線,求,積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積,取側(cè)面積元素,幾何應(yīng)用,側(cè)面積元素,若光滑曲線由參數(shù)方程,給出,則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的,注意,側(cè)面積為,的線性主部,不是薄片側(cè)面積S,幾何應(yīng)用,例19. 計(jì)算圓,x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積 S,解: 對(duì)曲線弧,應(yīng)用公式得,當(dāng)球臺(tái)高 h 2 R 時(shí), 得球的表面積公式,幾何應(yīng)用,例20. 求由星形線,一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S,解: 利用對(duì)稱性,繞 x 軸旋轉(zhuǎn),星形線,星形線,幾何應(yīng)用,星形

8、線,星形線是內(nèi)擺線的一種,點(diǎn)擊圖片任意處 播放開始或暫停,大圓半徑 Ra,小圓半徑,參數(shù)的幾何意義,當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng),時(shí), 小圓上的定點(diǎn)的軌跡為內(nèi)擺線,幾何應(yīng)用,內(nèi)容小結(jié),1. 平面圖形的面積,邊界方程,參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,2. 平面曲線的弧長(zhǎng),曲線方程,參數(shù)方程方程,極坐標(biāo)方程,弧微分,直角坐標(biāo)方程,上下限按順時(shí)針方向確定,直角坐標(biāo)方程,注意: 求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小,幾何應(yīng)用,3. 已知平行截面面積函數(shù) A(x) 的立體體積,旋轉(zhuǎn)體的體積,繞 x 軸,4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,側(cè)面積元素為,注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式,繞 y 軸,柱殼法,幾何應(yīng)用,思考與練習(xí),1.用定積

9、分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長(zhǎng) s,提示: 交點(diǎn)為,弧線段部分,直線段部分,以 x 為積分變量 , 則要分,兩段積分,故以 y 為積分變量,幾何應(yīng)用,2. 試用定積分求圓,繞 x 軸,上,半圓為,下,求體積,提示,方法1 利用對(duì)稱性,旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S,幾何應(yīng)用,方法2 用柱殼法,說明: 上式可變形為,此式反映了環(huán)體元素的另一種取法(如圖所示,幾何應(yīng)用,求側(cè)面積,利用對(duì)稱性,上式也可寫成,它也反映了環(huán)面元素的另一種取法,幾何應(yīng)用,作業(yè),P284 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30,面積及弧長(zhǎng)部分,體積及表面積部分,P286 13; 14 ; 15 (1), (4) ; 17; 18,補(bǔ)充題: 設(shè)有曲線,過原點(diǎn)作其切線 , 求,由此曲線、切線及 x 軸圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一,周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積,第三節(jié),幾何應(yīng)用,備用題,解,1. 求曲線,所圍圖形的面積,顯然,面積為,同理其他,又,故在區(qū)域,幾何應(yīng)用,分析曲線特點(diǎn),2,解,與 x 軸所圍面積,由圖形的對(duì)稱性,也合于