數(shù)值分析習(xí)題集及答案

1、數(shù)值分析習(xí)題集適合課程數(shù)值方法 A 和數(shù)值方法 B)長(zhǎng)沙理工大學(xué)第一章 緒 論1. 設(shè)x0, x的相對(duì)誤差為3 ,求的誤差.2. 設(shè) x 的相對(duì)誤差為 2, 求的相對(duì)誤差 .3. 下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù) , 即誤差限不超過最后一位的半個(gè)單位 , 試指 出它們是幾位有效數(shù)字 :4. 利用公式求下列各近似值的誤差限 :其中均為第 3 題所給的數(shù) .5. 計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差限為1%，問度量半徑R時(shí)允許的相對(duì)誤差限是多少？6. 設(shè)按遞推公式(n=1,2,)計(jì)算到若取 (五位有效數(shù)字)，試問計(jì)算將有多大誤差？7. 求方程的兩個(gè)根，使它至少具有四位有效數(shù)字(-.8. 當(dāng) N 充分大時(shí) ,

2、 怎樣求 ?9. 正方形的邊長(zhǎng)大約為100 cm ,應(yīng)怎樣測(cè)量才能使其面積誤差不超過1 cm ?10. 設(shè)假定 g 是準(zhǔn)確的 , 而對(duì) t 的測(cè)量有秒的誤差 , 證明當(dāng) t 增加時(shí) S 的絕對(duì)誤差增加 , 而 相對(duì)誤差卻減小 .11. 序列滿足遞推關(guān)系 (n=1,2, ), 若(三位有效數(shù)字 ), 計(jì)算到時(shí)誤差有多大?這個(gè)計(jì)算過程穩(wěn)定嗎 ?12. 計(jì)算 , 取, 利用下列等式計(jì)算 , 哪一個(gè)得到的結(jié)果最好 ?13. ,求 f(30) 的值. 若開平方用六位函數(shù)表 ,問求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大?若改用另一等價(jià)公式計(jì)算 , 求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大 ?14. 試用消元法解方程組假定只用三位數(shù)計(jì)算 , 問結(jié)果是

3、否可靠 ?15. 已知三角形面積其中 c 為弧度 , 且測(cè)量 a , b , c 的誤差分別為證明面積的誤差滿足第二章 插值法1. 根據(jù)定義的范德蒙行列式 , 令證明是n次多項(xiàng)式，它的根是，且2. 當(dāng)x= 1 , -1 , 2 時(shí)，f(x)= 0,-3,4 , 求f(x)的二次插值多項(xiàng)式3. 給出f(x)=In x的數(shù)值表用線性插值及二次插值計(jì)算In 的近似值.xln x4. 給出cos x,0 x w 90的函數(shù)表，步長(zhǎng)h =1 =(1/60) ,若函數(shù)表具有 5位有效數(shù)字,研究用線性插值求cos x近似值時(shí)的總誤差界5. 設(shè)，k=0,1,2,3,求.6. 設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)(j =0,1,n),

4、求證：i)ii)7. 設(shè)且,求證8. 在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值求的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過，問使用函數(shù)表的步長(zhǎng)應(yīng)取多少？9. 若,求及.10. 如果是次多項(xiàng)式，記,證明的階差分是次多項(xiàng)式，并且為正整數(shù)).11. 證明.12. 證明13. 證明14. 若有個(gè)不同實(shí)根，證明15. 證明階均差有下列性質(zhì)：i) 若，則；ii) 若，則.16.,求及.17. 證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限.18. 求一個(gè)次數(shù)不高于 4次的多項(xiàng)式，使它滿足并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限19. 試求出一個(gè)最高次數(shù)不高于4次的函數(shù)多項(xiàng)式，以便使它能夠滿足以下邊界條

5、件”.20. 設(shè),把分為等分，試構(gòu)造一個(gè)臺(tái)階形的零次分段插值函數(shù)并證明當(dāng)時(shí)，在上一致收斂到.21. 設(shè),在上取，按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù)，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的與的值，并估計(jì)誤差.22. 求在上的分段線性插值函數(shù)，并估計(jì)誤差.23. 求在上的分段埃爾米特插值,并估計(jì)誤差.24. 給定數(shù)據(jù)表如下：試求三次樣條插值并滿足條件i)ii)25. 若,是三次樣條函數(shù)，證明i) ;ii) 若,式中為插值節(jié)點(diǎn)，且,則.26. 編出計(jì)算三次樣條函數(shù)系數(shù)及其在插值節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)的值的程序框圖(可用式的表達(dá)式).第三章函數(shù)逼近與計(jì)算1. (a)利用區(qū)間變換推出區(qū)間為的伯恩斯坦多項(xiàng)式(b)對(duì)在上求1次和三次伯恩斯坦多項(xiàng)

6、式并畫出圖形，并與相應(yīng)的馬克勞林級(jí)數(shù)部分和誤差做比較2. 求證：（a）當(dāng)時(shí),.（b） 當(dāng)時(shí),.3. 在次數(shù)不超過6的多項(xiàng)式中，求在的最佳一致逼近多項(xiàng)式.4. 假設(shè)在上連續(xù)，求的零次最佳一致逼近多項(xiàng)式.5. 選取常數(shù)，使達(dá)到極小，又問這個(gè)解是否唯一 ？6. 求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式，并估計(jì)誤差.7. 求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式.8. 如何選取，使在上與零偏差最小？是否唯一 ？9. 設(shè)，在上求三次最佳逼近多項(xiàng)式.10. 令，求.11. 試證是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式.12. 在上利用插值極小化求1的三次近似最佳逼近多項(xiàng)式.13. 設(shè)在上的插值極小化近似最佳逼近多項(xiàng)式為，若有界，證明對(duì)任何，存在常數(shù)、

7、，使14. 設(shè)在上，試將降低到3次多項(xiàng)式并估計(jì)誤差.15. 在上利用幕級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)求的3次逼近多項(xiàng)式，使誤差不超過.16. 是上的連續(xù)奇（偶）函數(shù)，證明不管是奇數(shù)或偶數(shù)，的最佳逼近多項(xiàng)式也是奇（偶）函數(shù).17. 求、使為最小.并與1題及6題的一次逼近多項(xiàng)式誤差作比較.18. 、，定義問它們是否構(gòu)成內(nèi)積？19. 用許瓦茲不等式估計(jì)的上界，并用積分中值定理估計(jì)同一積分的上下界，并比較其結(jié)果20. 選擇，使下列積分取得最小值:.21. 設(shè)空間，分別在、上求出一個(gè)元素，使得其為的最佳平方逼近，并比較其結(jié)果.22. 在上，求在上的最佳平方逼近.23. 是第二類切比雪夫多項(xiàng)式，證明它有遞推關(guān)系24. 將在上按

8、勒讓德多項(xiàng)式及切比雪夫多項(xiàng)式展開，求三次最佳平方逼近多項(xiàng)式并畫出誤差圖形，再計(jì)算均方誤差.25. 把在上展成切比雪夫級(jí)數(shù).26. 用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合，并求均方誤差.192531384427.觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng)，得出以下數(shù)據(jù)時(shí)間（秒）0距離（米）010305080110求運(yùn)動(dòng)方程.28.在某化學(xué)反應(yīng)里，根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得分解物的濃度與時(shí)間關(guān)系如下時(shí)間0510152025303540455055濃度0用最小二乘擬合求.29. 編出用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合的程序框圖30. 編出改進(jìn)FFT算法的程序框圖.31. 現(xiàn)給出一張記錄，試用改進(jìn)FFT算法求出序列的離散頻譜第四章數(shù)

9、值積分與數(shù)值微分1. 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：；.2. 分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分：；(4).3. 直接驗(yàn)證柯特斯公式具有 5次代數(shù)精度.4. 用辛普森公式求積分并計(jì)算誤差 5. 推導(dǎo)下列三種矩形求積公式：(1)；.6. 證明梯形公式和辛普森公式當(dāng)時(shí)收斂到積分7. 用復(fù)化梯形公式求積分，問要將積分區(qū)間分成多少等分，才能保證誤差不超過(設(shè)不計(jì)舍入誤差)?8. 用龍貝格方法計(jì)算積分，要求誤差不超過.9. 衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓，橢圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式是，這里是橢圓的半長(zhǎng)軸，是地球中心與軌道 中心(橢圓中心)的距離，記為近地點(diǎn)距

10、離，為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離，公里為地球半徑，則.我國(guó)第一 顆人造衛(wèi)星近地點(diǎn)距離公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離公里，試求衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng).10. 證明等式試依據(jù)的值，用外推算法求的近似值.11. 用下列方法計(jì)算積分并比較結(jié)果.(1) 龍貝格方法；(2) 三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式；(3) 將積分區(qū)間分為四等分，用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式.12.用三點(diǎn)公式和五點(diǎn)公式分別求在，和處的導(dǎo)數(shù)值，并估計(jì)誤差.的值由下表給出第五章常微分方程數(shù)值解法1. 就初值問題分別導(dǎo)出尤拉方法和改進(jìn)的尤拉方法的近似解的表達(dá)式，并與準(zhǔn)確解相比較。2. 用改進(jìn)的尤拉方法解初值問題取步長(zhǎng)h=計(jì)算，并與準(zhǔn)確解相比較。3. 用改進(jìn)的尤拉方法解取步長(zhǎng)h=計(jì)算，并與準(zhǔn)確解相比

11、較。4. 用梯形方法解初值問題證明其近似解為并證明當(dāng)時(shí)，它原初值問題的準(zhǔn)確解。5. 利用尤拉方法計(jì)算積分在點(diǎn)的近似值。6. 取h=，用四階經(jīng)典的龍格一庫塔方法求解下列初值問題：1 )2 )7. 證明對(duì)任意參數(shù) t ，下列龍格庫塔公式是二階的：8. 證明下列兩種龍格庫塔方法是三階的：1）2）9. 分別用二階顯式亞當(dāng)姆斯方法和二階隱式亞當(dāng)姆斯方法解下列初值問題： 取計(jì)算并與準(zhǔn)確解相比較。10. 證明解的下列差分公式 是二階的，并求出截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。11. 導(dǎo)出具有下列形式的三階方法：12. 將下列方程化為一階方程組：1）2）3）13. 取h=,用差分方法解邊值問題14. 對(duì)方程可建立差分公式 試用

12、這一公式求解初值問題 驗(yàn)證計(jì)算解恒等于準(zhǔn)確解15. 取山=用差分方法解邊值問題第六章 方程求根1. 用二分法求方程的正根，要求誤差。2. 用比例求根法求在區(qū)間 0,1 內(nèi)的一個(gè)根，直到近似根滿足精度時(shí)終止計(jì)算。3. 為求方程在附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式。1 ），迭代公式；2），迭代公式；3），迭代公式。 試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根。4. 比較求的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量；1 ）在區(qū)間 0,1 內(nèi)用二分法；2）用迭代法，取初值。5. 給定函數(shù)，設(shè)對(duì)一切存在且，證明對(duì)于范圍內(nèi)的任意定數(shù)入，迭代過程均收斂于的根。6. 已

13、知在區(qū)間 a,b 內(nèi)只有一根，而當(dāng) axb 時(shí)，試問如何將化為適于迭代的形式？將化為適于迭代的形式，并求 x=（弧度）附近的根。7. 用下列方法求在附近的根。根的準(zhǔn)確值=1.，要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。1）用牛頓法；2）用弦截法，??；3）用拋物線法，取。8. 用二分法和牛頓法求的最小正根。9. 研究求的牛頓公式證明對(duì)一切且序列是遞減的。10. 對(duì)于的牛頓公式，證明收斂到，這里為的根。11. 試就下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和收斂速度：1)2)12. 應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。13. 應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式，并用此公式求的值。14. 應(yīng)用牛頓法于方

14、程和，分別導(dǎo)出求的迭代公式，并求15. 證明迭代公式是計(jì)算的三階方法。假定初值充分靠近根，求第七章 解線性方程組的直接方法1. 考慮方程組：(a) 用高斯消去法解此方程組(用四位小數(shù)計(jì)算) ，(b) 用列主元消去法解上述方程組并且與 (a) 比較結(jié)果。2. (a) 設(shè)A是對(duì)稱陣且，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為證明A2是對(duì)稱矩陣。(b) 用高斯消去法解對(duì)稱方程組：4. 設(shè)A為n階非奇異矩陣且有分解式 A=LU,其中L為單位下三角陣，U為上三角陣，求證 A的所有順序主子式均不為零。5. 由高斯消去法說明當(dāng)時(shí)，貝UA=LU,其中L為單位下三角陣，U為上三角陣。6設(shè)A為n階矩陣，如果稱 A為對(duì)角優(yōu)勢(shì)

15、陣。證明：若 A是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，經(jīng)過高斯消去法 一步后，A具有形式。7. 設(shè)A是對(duì)稱正定矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為其中證明(1) A的對(duì)角元素( 2) A2 是對(duì)稱正定矩陣；( 3)(4) A的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線上；( 5)( 6)從( 2)，( 3)，( 5)推出，如果，貝對(duì)所有 k8. 設(shè)為指標(biāo)為 k 的初等下三角陣，即(除第 k 列對(duì)角元下元素外，和單位陣 I 相同) 求證當(dāng)時(shí)，也是一個(gè)指標(biāo)為 k 的初等下三角陣，其中為初等排列陣。9. 試推導(dǎo)矩陣A的Crout分解A=LU的計(jì)算公式，其中 L為下三角陣，U為單位上三角陣。10. 設(shè)，其中 U 為三角矩陣。(a)就U為上及

16、下三角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，病寫出算法。(b) 計(jì)算解三角形方程組的乘除法次數(shù)。(c) 設(shè) U 為非奇異陣，試推導(dǎo)求的計(jì)算公式。11. 證明(a)如果A是對(duì)稱正定陣，則也是正定陣；(b)如果A是對(duì)稱正定陣，則 A可唯一寫成，其中L是具有正對(duì)角元的下三角陣。12. 用高斯約當(dāng)方法求 A 的逆陣：13. 用追趕法解三對(duì)角方程組，其中14. 用改進(jìn)的平方根法解方程組15. 下述矩陣能否分解為 LU (其中L為單位下三角陣，U為上三角陣)？若能分解，那么分解是否唯一？16. 試劃出部分選主元素三角分解法框圖，并且用此法解方程組17. 如果方陣A有，則稱A為帶寬2t+1的帶狀矩陣，設(shè) A滿足三角分解條

17、件，試推導(dǎo)的計(jì) 算公式，對(duì)1)；2).18. 設(shè)計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2-范數(shù)及F-范數(shù)。19. 求證(a) ，(b) 。20. 設(shè) 且非奇異，又設(shè)為上一向量范數(shù)，定義。 試證明是上的一種向量范數(shù)。21. 設(shè)為對(duì)稱正定陣，定義試證明為上向量的一種范數(shù)。22. 設(shè)，求證。23. 證明：當(dāng)且盡當(dāng)x和y線性相關(guān)且時(shí)，才有。24. 分別描述中(畫圖)。25. 令是(或)上的任意一種范數(shù)，而P是任意非奇異實(shí)(或復(fù))矩陣，定義范數(shù)，證明。26. 設(shè)為上任意兩種矩陣算子范數(shù)，證明存在常數(shù)，使對(duì)一切滿足27. 設(shè)，求證與特征值相等，即求證。28. 設(shè) A 為非奇異矩陣，求證。29. 設(shè) A 為非奇異矩陣，且

18、，求證存在且有估計(jì)30. 矩陣第一行乘以一數(shù)，成為證明當(dāng)時(shí)，有最小值。31. 設(shè)A為對(duì)稱正定矩陣，且其分解為，其中，求證(a)(b)32. 設(shè)計(jì)算 A 的條件數(shù)。33. 證明：如果 A 是正交陣，則。34. 設(shè)且為上矩陣的算子范數(shù)，證明第八章 解方程組的迭代法1. 設(shè)方程組(a) 考察用雅可比迭代法 ,高斯- 塞德爾迭代法解此方程組的收斂性 ;(b) 用雅可比迭代法 , 高斯- 塞德爾迭代法解此方程組 ,要求當(dāng)時(shí)迭代終止2. 設(shè), 證明 : 即使級(jí)數(shù)也收斂3. 證明對(duì)于任意選擇的 A, 序列收斂于零4 .設(shè)方程組迭代公式為求證 : 由上述迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件是5. 設(shè)方程組(a

19、) (b) 試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯- 塞德爾迭代法的收斂性。6. 求證的充要條件是對(duì)任何向量 x ，都有5(a) 方7. 設(shè)，其中 A 對(duì)稱正定，問解此方程組的雅可比迭代法是否一定收斂？試考察習(xí)題 程組。8. 設(shè)方程組(a) 求解此方程組的雅可比迭代法的迭代矩陣的譜半徑；(b) 求解此方程組的高斯塞德爾迭代法的迭代矩陣的譜半徑；(c) 考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯塞德爾迭代法的收斂性。9. 用SOF方法解方程組(分別取松弛因子)精確解要求當(dāng)時(shí)迭代終止，并且對(duì)每一個(gè)值確定迭代次數(shù)。10. 用SOR方法解方程組(取=)要求當(dāng)時(shí)迭代終止。11. 設(shè)有方程組，其中 A 為對(duì)稱正定陣

20、，迭代公式試證明當(dāng)時(shí)上述迭代法收斂(其中) 。12. 用高斯塞德爾方法解，用記的第 i 個(gè)分量，且。(a) 證明 ；(b) 如果，其中是方程組的精確解，求證：其中(c) 設(shè) A 是對(duì)稱的，二次型證明 。(d) 由此推出，如果 A是具有正對(duì)角元素的非奇異矩陣，且高斯一塞德爾方法對(duì)任意初始向 量是收斂的，則 A是正定陣。13. 設(shè)A與B為n階矩陣，A為非奇異，考慮解方程組其中。(a) 找出下列迭代方法收斂的充要條件(b) 找出下列迭代方法收斂的充要條件比較兩個(gè)方法的收斂速度。14. 證明矩陣對(duì)于是正定的，而雅可比迭代只對(duì)是收斂的。15. 設(shè)，試說明A為可約矩陣。16. 給定迭代過程，其中，試證明：

21、如果 C的特征值，則迭代過程最多迭代n次收斂于方程組的解。17. 畫出SOR迭代法的框圖。18. 設(shè)A為不可約弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣且，求證：解的SOR方法收斂。19. 設(shè)，其中A為非奇異陣。(a) 求證為對(duì)稱正定陣；(b) 求證。第九章 矩陣的特征值與特征向量計(jì)算1. 用冪法計(jì)算下列矩陣的主特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量：(a) , (b) ,當(dāng)特征值有 3 位小數(shù)穩(wěn)定時(shí)迭代終止。2. 方陣 T 分塊形式為J其中為方陣， T 稱為塊上三角陣，如果對(duì)角塊的階數(shù)至多不超過 2，則稱 T 為準(zhǔn)三角形形 式，用記矩陣 T 的特征值集合，證明3. 利用反冪法求矩陣的最接近于 6 的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。4. 求矩陣與

22、特征值 4對(duì)應(yīng)的特征向量。5. 用雅可比方法計(jì)算的全部特征值及特征向量，用此計(jì)算結(jié)果給出例3的關(guān)于p的最優(yōu)值。6. (a)設(shè)A是對(duì)稱矩陣，入和是A的一個(gè)特征值及相應(yīng)的特征向量，又設(shè)P為一個(gè)正交陣，使證明的第一行和第一列除了入外其余元素均為零。(b) 對(duì)于矩陣入=9是其特征值，是相應(yīng)于 9的特征向量，試求一初等反射陣P,使，并計(jì)算。7. 利用初等反射陣將正交相似約化為對(duì)稱三對(duì)角陣。8. 設(shè)，且不全為零，為使的平面旋轉(zhuǎn)陣，試推導(dǎo)計(jì)算第行，第 j 行元素公式及第 i 列，第 j 列元素的計(jì)算公式。9. 設(shè)是由豪斯荷爾德方法得到的矩陣，又設(shè) y 是的一個(gè)特征向量。(a) 證明矩陣 A 對(duì)應(yīng)的特征向量是

23、；(b) 對(duì)于給出的 y 應(yīng)如何計(jì)算 x ？10. 用帶位移的QF方法計(jì)算(a) , (b) 全部特征值。11. 試用初等反射陣 A分解為QR其中Q為正交陣，R為上三角陣，數(shù)值分析習(xí)題簡(jiǎn)答(適合課程數(shù)值方法A和數(shù)值方法B)長(zhǎng)沙理工大學(xué)第一章 緒論習(xí)題參考答案1.( lnx )。2 。3. 有 5 位有效數(shù)字 ，有 2 位有效數(shù)字，有 4 位有效數(shù)字，有 5 位有效數(shù)字，有 2 位有效數(shù)字 。4. 。5. 。6. 。7. ，。8.9. 。10. ,故t增加時(shí)S的絕對(duì)誤差增加，相對(duì)誤差減小。11 .，計(jì)算過程不穩(wěn)定 。12. ， 如果令 ， 則 ， 的結(jié)果最好 。13. ，開平方時(shí)用六位函數(shù)表計(jì)算

24、所得的誤差為 ， 分別代入等價(jià)公式中計(jì)算 可得，。14. 方程組的真解為 ，而無論用方程一還是方程二代入消元均解得 ， 結(jié)果十 分可靠。15.第二章 插值法習(xí)題參考答案1.2.3. 線性插值：取，則二次插值：取，則4. ，其中 . 所以總誤差界5.當(dāng) 時(shí)，取得最大值6. i) 對(duì)在處進(jìn)行 n 次拉格朗日插值，則有 由于，故有 .ii) 構(gòu)造函數(shù)在處進(jìn)行 n 次拉格朗日插值，有 插值余項(xiàng)為 ，由于 故有令即得 .7. 以 a, b 兩點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)作的一次插值多項(xiàng)式 據(jù)余項(xiàng)定理， 由于故8. 截?cái)嗾`差 其中 則時(shí)取得最大值 由題意，所以，9. 則可得， ，則可得10. 數(shù)學(xué)歸納法證 當(dāng)時(shí)，為 m1

25、 次多項(xiàng)式； 假設(shè) 是 m-k 次多項(xiàng)式，設(shè)為，則 為m-(k+1)次多項(xiàng)式，得證11. 右左12.13.12. 由于是的n個(gè)互異的零點(diǎn)，所以對(duì)求導(dǎo)得則，記則由以上兩式得13. i)ii) 證明同上。16.17.即均為的二重零點(diǎn)。因而有形式：作輔助函數(shù)則由羅爾定理，存在使得類似再用三次羅爾定理，存在使得又可得即14. 采用牛頓插值，作均差表：一階均差二階均差00111210-1/2又由得所以15. 記則 因?yàn)?，所以在上一致連續(xù)。當(dāng)時(shí)，此時(shí)有由定義知當(dāng)時(shí)，在上一致收斂于。16. 在每個(gè)小區(qū)間上表示為計(jì)算各值的 C 程序如下：#include#include float f(float x) re

26、turn(1/(1+x*x);float I(float x,float a,float b)return(x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b);void main() int i;float x11,xc,xx; x0=-5;printf(x0=%fn,x0); for(i=1;i=10;i+) xi=xi-1+1;printf(x%d=%fn,i,xi); for(i=0;i10;i+) xc=(xi+xi+1)/2;I(xc,xi,xi+1); printf(I%d=%fn,i+1,I(xc,xi,xi+1); for(i=0;i0, 0,則對(duì)任意,均有不等式

27、。27. 若，則就有，可推出即，同理可以推出，綜合這兩點(diǎn)即可得。28. 。29. ，貝故存在，。30. ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最小值7。31. (a) ，(b),。32. ,。33.33. 。第八章解線性方程組的迭代法習(xí)題參考答案1. (a) Jacobi迭代矩陣特征方程為特征根均小于1, Jacobi迭代法收斂。Gauss-Seidel迭代矩陣特征方程為特征根均小于1, Gauss-Seidel迭代法收斂。(b) Jacobi迭代格式為其中B如上， 迭代18次得Gauss-Seidel迭代格式為其中G如上， 迭代8次得。2. 證：，則故，因此， 即級(jí)數(shù)收斂。3. 證：設(shè)，一方面，另一方面，因

28、此，即序列收斂于零。4. 證：由已知迭代公式得迭代矩陣 則特征多項(xiàng)式為 解得 ， 向量序列收斂的充要條件是 ，即 。5. (a) 譜半徑， Jacobi 迭代法不收斂；矩陣 A 對(duì)稱正定，故 Gauss-Seidel 迭代法收斂 (b) 譜半徑， Jacobi 迭代法收斂；譜半徑， Gauss-Seidel 迭代法不收斂；6. 證：必要性 ，則 ， 對(duì)任意向量，有 因而有 ，即。充分性 因?qū)θ魏蜗蛄?，都有，令，則 即當(dāng)時(shí)，的任一列向量的極限為 A 的對(duì)應(yīng)的列向量，因而有。7. A對(duì)稱正定，Jacobi迭代法不一定收斂，如題 5(a)。8. (a) Jacobi 迭代矩陣的譜半徑；(b) Gauss-Seidel 迭代矩陣的譜半徑；(c) 兩種方法的譜半徑均小于 1，所以兩種方法均收斂。事實(shí)上，對(duì)于方程組，矩陣 A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)則Jacobi和Gauss-Seidel迭 代法均收斂