初中最基本的尺規(guī)作圖總結(jié),推薦文檔

1、一、理解“尺規(guī)作圖”的含義尺規(guī)作圖1. 在幾何中，我們把只限定用直尺（無刻度）和圓規(guī)來畫圖的方法，稱為尺規(guī)作圖其中直尺只能用來作直線、線段、射線或延長線段；圓規(guī)用來作圓和圓弧由此可知， 尺規(guī)作圖與一般的畫圖不同，一般畫圖可以動用一切畫圖工具，包括三角尺、量角器等， 在操作過程中可以度量，但尺規(guī)作圖在操作過程中是不允許度量成分的2. 基本作圖：（1）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段；（2）用尺規(guī)作一個角等于已知角. 利用這兩個基本作圖，可以作兩條線段或兩個角的和或差.二、熟練掌握尺規(guī)作圖題的規(guī)范語言1. 用直尺作圖的幾何語言：過點、點作直線；或作直線；或作射線；連結(jié)兩點；或連結(jié)；延長到點；或延長（反

2、向延長）到點，使；或延長交于點；2. 用圓規(guī)作圖的幾何語言：在上截取；以點為圓心，的長為半徑作圓（或?。灰渣c為圓心，的長為半徑作弧，交于點；分別以點、點為圓心，以、的長為半徑作弧，兩弧相交于點、 .三、了解尺規(guī)作圖題的一般步驟尺規(guī)作圖題的步驟：1. 已知：當作圖是文字語言敘述時，要學會根據(jù)文字語言用數(shù)學語言寫出題目中的條件；2. 求作：能根據(jù)題目寫出要求作出的圖形及此圖形應滿足的條件；3. 作法：能根據(jù)作圖的過程寫出每一步的操作過程.當不要求寫作法時，一般要保留作圖痕跡.對于較復雜的作圖，可先畫出草圖，使它同所要作的圖大致相同，然后借助草圖尋找作法.在目前，我們只要能夠?qū)懗鲆阎?，求作，作法?/p>

3、步（另外還有第四步證明）就可以了， 而且在許多中考作圖題中，又往往只要求保留作圖痕跡，不需要寫出作法，可見在解作圖題時，保留作圖痕跡很重要.尺規(guī)作圖的定義：尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。最基本,最常用的尺規(guī)作圖,通常稱基本作圖。一些復雜的尺規(guī)作圖都是由基本作圖組成的。五種基本作圖：1、作一條線段等于已知線段 ；2、作一個角等于已知角 ；3、作已知線段的垂直平分線 ；4、作已知角的角平分線 ；5、過一點作已知直線的垂線 ； 題目一：作一條線段等于已知線段。已知：如圖，線段 a .求作：線段 ab，使 ab = a .作法：（1） 作射線 ap；（2） 在射線 ap 上截取 ab=a .

4、則線段 ab 就是所求作的圖形。題目二：作已知線段的中點。已知：如圖，線段 mn.求作：點 o，使 mo=no（即 o 是 mn 的中點）. 作法：（）分別以 m、n 為圓心，大于的相同線段為半徑畫弧， 兩弧相交于 p，q；（）連接 pq 交 mn 于 o則點 o 就是所求作的的中點。（試問：pq 與有何關(guān)系？）題目三：作已知角的角平分線。已知：如圖，aob，求作：射線 op, 使aopbop（即 op 平分aob）。作法：（1） 以 o 為圓心，任意長度為半徑畫弧， 分別交 oa，ob 于m，n；（2） 分別以 m、為圓心，大于 的相同線段為半徑畫弧，兩弧交aob 內(nèi)于；（3） 作射線 op

5、。則射線 op 就是aob 的角平分線。題目四：作一個角等于已知角。（請自己寫出“已知”“求作”并作出圖形，不寫作法）題目五：已知三邊作三角形。已知：如圖，線段 a，b，c.求作：abc，使 ab = c，ac = b，bc = a.作法：（1） 作線段 ab = c；（2） 以 a 為圓心 b 為半徑作弧，以 b 為圓心 a 為半徑作弧與前弧相交于 c；（3） 連接 ac，bc。則abc 就是所求作的三角形。題目六：已知兩邊及夾角作三角形。已知：如圖，線段 m，n, a.求作：abc，使a=a，ab=m，ac=n. 作法：（1） 作a=a；（2） 在 ab 上截取 ab=m ,ac=n；（3

6、） 連接 bc。則abc 就是所求作的三角形。題目七：已知兩角及夾邊作三角形。已知：如圖，a， a，線段 m .求作：abc，使a=a，b= a,ab=m. 作法：（1） 作線段 ab=m；（2） 在 ab 的同旁作a=a，作b= a，a 與b 的另一邊相交于 c。則abc 就是所求作的圖形（三角形）。初中尺規(guī)作圖典型例題歸納典型例題一例已知線段 a、b，畫一條線段，使其等于 a + 2b 分析所要畫的線段等于 a + 2b ，實質(zhì)上就是 a + b + b 畫法：1畫線段 ab = a 2在 ab 的延長線上截取 bc = 2b 線段 ac 就是所畫的線段說明1. 尺規(guī)作圖要保留畫圖痕跡，畫

7、圖時畫出的所有點和線不可隨意擦去2. 其它作圖都可以通過畫基本作圖來完成，寫畫法時，只需用一句話來概括敘述基本作圖典型例題二例如下圖，已知線段 a 和 b，求作一條線段 ad 使它的長度等于 2ab錯解如圖（1），（1）作射線 am；（2）在射線 am 上截取 ab=bc=a，cd=b，則線段 ad 即為所求錯解分析主要是作圖語言不嚴密，當在射線上兩次截取時，要寫清是否順次，而在求線段差時，要交待截取的方向圖（1）圖（2）正解如圖（2），（1）作射線 am；（2）在射線 am 上，順次截取 ab=bc=a；（3）在線段 ca 上截取 cd=b，則線段 ad 就是所求作的線段典型例題三例求作一個

8、角等于已知角mon（如圖 1）錯解如圖（2），圖（1）圖（2）（1）作射線o1m 1 ；（2）在圖（1），以 o 為圓心作弧，交 om 于點 a，交 on 于點 b；（3）以o1 為圓心作弧，交o1m 1 于 c；（4）以 c 為圓心作弧，交于點 d；（5）作射線o1 d 則 co1d 即為所求的角錯解分析作圖過程中出現(xiàn)了不準確的作圖語言，在作出一條弧時，應表達為：以某點為圓心，以其長為半徑作弧正解如圖（2），（1）作射線o1m 1 ；（2）在圖（1）上，以 o 為圓心，任意長為半徑作弧，交 om 于點a，交 on 于點 b；（3）以o1 為圓心，oa 的長為半徑作弧，交o1 m 1 于點 c

9、；（4）以 c 為圓心，以 ab 的長為半徑作弧，交前弧于點 d；（5）過點 d 作射線o1d 則 co1d 就是所要求作的角典型例題四例如下圖，已知 及線段 a，求作等腰三角形，使它的底角為 ，底邊為 a分析先假設等腰三角形已經(jīng)作好，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，知兩底角b=c=，底邊 bc=a，故可以先作b=，或先作底邊 bc=a作法如下圖（1）mbn=；（2）在射線 bm 上截取 bc=a；（3）以 c 為頂點作pcb=，射線 cp 交 bn 于點 aabc 就是所要求作的等腰三角形說明畫復雜的圖形時，如一時找不到作法，一般是先畫出一個符合條件的草圖，再根據(jù)這個草圖進行分析，逐步尋找畫圖步驟典型

10、例題五例如圖（1），已知直線 ab 及直線 ab 外一點 c，過點 c 作 cdab（寫出作法，畫出圖形）分析根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)，同位角相等或內(nèi)錯角相等，故作一個角ecd=efb 即可作法如圖（2）圖（1）圖（2）（1） 過點 c 作直線 ef，交 ab 于點 f；（2） 以點 f 為圓心，以任意長為半徑作弧，交 fb 于點 p，交 ef 于點 q；（3） 以點 c 為圓心，以 fp 為半徑作弧，交 ce 于 m 點；（4） 以點 m 為圓心，以 pq 為半徑作弧，交前弧于點 d；（5） 過點 d 作直線 cd，cd 就是所求的直線說明作圖題都應給出證明，但按照教科書的要求，一般不用寫出，但

11、要知道作圖的原由典型例題六例如下圖，abc 中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，b= 36 ，c= 44，請你從中選擇適當?shù)臄?shù)據(jù)，畫出與abc 全等的三角形（把你能畫的三角形全部畫出來，不寫畫法但要在所畫的三角形中標出用到的數(shù)據(jù)）分析本題實質(zhì)上是利用原題中的 5 個數(shù)據(jù)，列出所有與abc 全等的各種情況，依據(jù)是 sss、sas、aas、asa解與abc 全等的三角形如下圖所示典型例題七例正在修建的中山北路有一形狀如下圖所示的三角形空地需要綠化擬從點 a 出發(fā)， 將abc 分成面積相等的三個三角形，以便種上三種不同的花草，請你幫助規(guī)劃出圖案（保留作圖痕跡，不寫作法）（2003 年，桂林）

12、分析這是尺規(guī)作圖在生活中的具體應用要把abc 分成面積相等的三個三角形， 且都是從 a 點出發(fā)，說明這三個三角形的高是相等的，因而只需這三個三角形的底邊也相等，所以只要作出 bc 邊的三等分點即可作法如下圖，找三等分點的依據(jù)是平行線等分線段定理典型例題八例已知aob，求作aob 的平分線 oc錯解如圖（1）作法（1）以 o 為圓心，任意長為半徑作弧，分別交 oa、ob 于 d、e 兩點；1（2） 分別以 d、e 為圓心，以大于 de 的長為半徑作弧，兩弧相交于 c 點；2（3） 連結(jié) oc，則 oc 就是aob 的平分線錯解分析對角平分線的概念理解不夠準確而致誤作法（3）中連結(jié) oc，則 oc

13、 是一條線段，而角平分線應是一條射線圖（1）圖（2）正解如圖（2）（1） 以點 o 為圓心，任意長為半徑作弧，分別交 oa、ob 于 d、e 兩點；1（2） 分別以 d、e 為圓心，以大于 de 的長為半徑作弧，兩弧交于 c 點；2（3） 作射線 oc，則 oc 為aob 的平分線典型例題九例如圖（1）所示，已知線段 a、b、h（hb）求作abc，使 bc=a，ab=b， bc 邊上的高 ad=h圖（1）錯解如圖（2），（1） 作線段 bc=a；（2） 作線段 ba=b，使 adbc 且 ad=h 則abc 就是所求作的三角形錯解分析不能先作 bc；第 2 步不能同時滿足幾個條件，完全憑感覺毫

14、無根據(jù)；未考慮到本題有兩種情況對于這種作圖題往往都是按照由里到外的順序依次作圖，如本題先作高 ad，再作 ab，最后確定 bc圖（2）圖（3）正解如圖（3）（1） 作直線 pq，在直線 pq 上任取一點 d，作 dmpq；（2） 在 dm 上截取線段 da=h；（3） 以 a 為圓心，以 b 為半徑畫弧交射線 dp 于 b；（4） 以 b 為圓心，以 a 為半徑畫弧，分別交射線 bp 和射線 bq 于c1 和c2 ；（5） 連結(jié) ac1 、 ac2 ，則 abc1 （或 abc2 ）都是所求作的三角形典型例題十例如下圖，已知線段 a，b，求作 rtabc，使acb=90，bc=a，ac=b（用

15、直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡）分析本題解答的關(guān)鍵在于作出acb=90，然后確定 a、b 兩點的位置，作出 abc作法如下圖（1） 作直線 mn：（2） 在 mn 上任取一點 c，過點 c 作 cemn；（3） 在 ce 上截取 ca=b，在 cm 上截取 cb=a；（4） 連結(jié) ab，abc 就是所求作的直角三角形說明利用基本作圖畫出所求作的幾何圖形的關(guān)鍵是要先分析清楚作圖的順序若把握不好作圖順序，要先畫出假設圖形典型例題十一例如下圖，已知鈍角abc，b 是鈍角求作：（1）bc 邊上的高；（2）bc 邊上的中線（寫出作法，畫出圖形）分析（1）作 bc 邊上的高，就是過已知點 a 作 bc 邊所

16、在直線的垂線；（2）作 bc 邊上的中線，要先確定出 bc 邊的中點，即作出 bc 邊的垂直平分線作法如下圖（1） 在直線 cb 外取一點 p，使 a、p 在直線 cb 的兩旁；以點 a 為圓心，ap 為半徑畫弧，交直線 cb 于 g、h 兩點；1分別以 g、h 為圓心，以大于 gh 的長為半徑畫弧，兩弧交于 e 點；2作射線 ae，交直線 cb 于 d 點，則線段 ad 就是所要求作的abc 中 bc 邊上的高1（2） 分別以 b、c 為圓心，以大于 bc 的長為半徑畫弧，兩弧分別交于 m、n 兩2點；作直線 mn，交 bc 于點 f；連結(jié) af，則線段 af 就是所要求作的abc 中邊 b

17、c 上的中線說明在已知三角形中求作一邊上的高線、中線、角平分線時，首先要把握好高線、中線、角平分錢是三條線段；其次，高線、中線的一個端點必須是三角形中這邊所對的頂點，而關(guān)鍵是找出另一個端點典型例題十二例如圖（1）所示，在圖中作出點 c，使得 c 是mon 平分線上的點，且ac=oc圖（1）圖（2）分析由題意知，點 c 不僅要在mon 的平分線上，且點 c 到 o、a 兩點的距離要相等，所以點 c 應是mon 的平分線與線段 oa 的垂直平分線的交點作法如圖（2）所示（1） 作mon 的平分線 op；（2） 作線段 oa 的垂直平分線 ef，交 op 于點 c，則點 c 就是所要求作的點說明（1

18、）根據(jù)題意弄清要求作的點的特征是到各直線距離相等，還是到各端點距離相等（2）兩條直線交于一點典型例題十三例 如下圖，已知線段 a、b、求作梯形 abcd，使 ad=a，bc=b，adbc，b=；c=分析 假定梯形已經(jīng)作出，作 aedc 交 bc 于 e，則 ae 將梯形分割為兩部分，一部分是abe，另一部分是 aecd在abe 中，已知b=，aeb=，be=b-a， 所以，可以首先把它作出來，而后作出 aecd作法 如下圖（1） 作線段 bc=b；（2） 在 bc 上截取 be=b-a ；（3） 分別以 b、e 為頂點，在 be 同側(cè)作eba=，aeb=，ba、ea 交于a；（4） 以 ea、

19、ec 為鄰邊作aecd 四邊形 abcd 就是所求作的梯形說明基本作圖是作出較簡單圖形的基礎(chǔ)，三角形是最簡單的多邊形，它是許多復雜圖形的基礎(chǔ)因此，要作一個復雜的圖形，常常先作一個比較容易作出的三角形，然后以此為基礎(chǔ)，再作出所求作的圖形典型例題十四例如下圖，在一次軍事演習中，紅方偵察員發(fā)現(xiàn)藍方指揮部在 a 區(qū)內(nèi)，到鐵路與公路的距離相等，且離鐵路與公路交叉處 b 點 700 米，如果你是紅方的指揮員，請你在圖示的作戰(zhàn)圖上標出藍方指揮部的位置（2002 年，青島）分析依據(jù)角平分線的性質(zhì)可以知道，藍方指揮部必在 a 區(qū)內(nèi)兩條路所夾角的平分線上，然后由藍方指揮部距 b 點的距離，依據(jù)比例尺，計算出圖上的

20、距離為 3.5cm，就可以確定出藍方指揮部的位置解如下圖，圖中 c 點就是藍方指揮部的位置典型例題十五例如圖（1），已知有公共端點的線段 ab、bc求作o，使它經(jīng)過點 a、b、c（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2002 年，大連）圖（1）圖（2）分析因為 a、b、c 三點在o 上，所以 oa=ob=oc=r根據(jù)到線段 ab、bc 各端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，故分別作線段 ab、bc 垂直平分線即可解如圖（2）說明 角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)在作圖題中的應用是近幾年中考中的又一道風景，它往往與實際問題緊密聯(lián)系在一起典型例題十六例 如圖，是一塊直角三角形余料， c

21、 = 90 工人師傅要把它加工成一個正方形零件，使 c 為正方形的一個頂點，其余三個頂點分別在 ab、bc、ac 邊上試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫出裁割線分析 要作出符合條件的正方形，可先作出有三個角為 90的四邊形，并設法讓相鄰的一組邊相等即可作法如圖 作acb 的角平分線 cd，交 ab 于點 g；過 g 點分別作 ac、bc 的垂線，垂足為 e、f則四邊形 ecfg 就是所要求作的正方形基礎(chǔ)訓練1、已知線段 ab 和 cd，如下圖，求作一線段，使它的長度等于 ab2cd.2、如圖，已知a、b，求作一個角，使它等于a-b.3、如圖作abc，使得 bc= a 、ac= b 、ab= cab c4、

22、如圖，畫一個等腰abc，使得底邊 bc= a ，它的高 ad= hah5、如圖，已知aob 及m、n 兩點，求作：點 p，使點 p 到aob 的兩邊距離相等，且到m、n 的兩點也距離相等。amnob6. 己知三角形的兩條邊及其夾角，求作三角形已知一個三角形的兩條邊分別為 a，b，這兩條邊夾角為a，求作這個三角形7. 已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形巳知一個三角形的兩角分別為a 夾邊為 a 求作這個三角形。8、己知三角形的兩角及其中一角的對邊，求作三角形已知三角形的兩角分別為a，a 的對邊為a,求作這個三角形9. 己知一直角邊和斜邊求作三角形己知一個直角三角形的一條直角邊為 a，斜邊長為 c

23、，求作這個三角形。10. 尺規(guī)作圖：請你作出一個以線段 a 和線段b 為對角線的菱形 abcd.(要求：寫出已知，求作，結(jié)論，并用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法及證明)已知：ab求作：結(jié)論：垂直平分線的訓練1. 某旅游景區(qū)內(nèi)有一塊三角形綠地 abc，如圖所示，現(xiàn)要在道路 ab 上建一個休息點 m， 使他到 a，c 兩個點的距離相等. 在圖中確定休息點 m 的位置；角平分線作圖訓練2. 如圖，ab.ac 表示兩條相交的公路，現(xiàn)要在bac 的內(nèi)部建一個物流中心設計時要求該物流中心到兩條公路的距離相等，且到公路交叉處 a 點的距離為 1000 米（1） 若要以 1：50000 的比例尺畫設計

24、圖，求物流中心到公路交叉處 a 點的圖上距離；（2） 在圖中畫出物流中心的位置 pbac解：（1）（2）結(jié)論：1cm3. 為美化環(huán)境，在一塊三角形草坪上建一個噴水池，使得它到草坪的三邊 ab、bc、ac 的距離相等若三角形草坪如圖所示，請你在圖中確定這個噴水池（用點 p 表示）的位置；bac作圓訓練4. 青島國際帆船中心要修建一處公共服務設施，使它到三所運動員公寓 a.b.c的距離相等（1） 若三所運動員公寓 a.b.c 的位置如圖所示，請你在圖中確定這處公共服務設施（用點p 表示）的位置；a（2） 若bac66，則bpc.cb5. 為美化校園，學校準備在如圖所示的三角形（abc）空地上修建一

25、個面積最大的圓形花壇，請在圖中畫出這個圓形花壇解：abc結(jié)論：6. 為了美化校園，某小區(qū)要在如圖所示的三角形（abc）空地上作一個半圓形花壇并使之滿足以下要求：圓心在邊 bc 上，該半圓面積最大.請你幫忙設計這一花壇.cba等腰三角形、菱形作圖訓練7. 如圖，畫一個等腰abc，使得底邊 bc= a ，它的高 ad= hah8. 如圖，線段 a 和線段 b 分別是菱形 abcd 的一條邊和一條對角線，3（1）請用尺規(guī)作出這個菱形（2）若 a=3，b=3，試求該菱形的面積.a b鞏固練習1. 某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1） 請你補全這個輸水管道的圓形截面；（2） 若這個輸水管道有水部分的水面寬 ab16cm，水面最深地方的高度為 4cm，求這個圓形截面的半徑2. 如圖花壇abc 為一等邊三角形，現(xiàn)要將其擴建為一圓形花壇覆蓋在abc 上，且使a、b、c 依然在花壇的邊緣上（1）請你幫忙畫出設計方案.ab（2）若等邊三角形的邊長為 6 米，則花壇的面積增