整理的近幾年的概率論試題及答案,推薦文檔

1、20062007 學(xué)年第 1 學(xué)期期末考試概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷（a）一、填空題（本大題共有 5 小題，每題 3 分，滿分 15 分）(1) 設(shè) a、b 互不相容，且 p(a)0，p(b)0，則必有(a) p(b a) 0(b) p( a b) = p( a)(c) p( a b) = 0(d) p( ab) = p( a)p(b)(2) 某人花錢買了 a、b、c 三種不同的獎(jiǎng)券各一張.已知各種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的,中獎(jiǎng)的概率分別為 p( a) = 0.03, p(b) = 0.01, p(c) = 0.02,如果只要有一種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)此人就一定賺錢,則此人賺錢的概率約為(a) 0.05(b) 0.

2、06(c) 0.07(d) 0.08(3) x n (f,42 ), y n (f,52 ),p1 = px f- 4, p2 = py f+ 5，則(a) 對(duì)任意實(shí)數(shù)f,p1 = p2(c) 只對(duì)f的個(gè)別值，才有 p1 = p2(b) 對(duì)任意實(shí)數(shù)f,p1 p2(4) 設(shè)隨機(jī)變量 x 的密度函數(shù)為 f (x) ，且 f (-x) = f (x), f (x) 是 x 的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a 成立的是(a) f (-a) = 1 - a f (x)dx(b) f (-a) = 1 - a f (x)dx020(c) f (-a) = f (a)(d) f (-a) = 2f (a) -1(5

3、) 二維隨機(jī)變量(x,y)服從二維正態(tài)分布，則 x+y 與 x-y 不相關(guān)的充要條件為(a) ex = ey(b) ex 2 -ex 2 = ey 2 -ey 2(c) ex 2 = ey 2(d) ex 2 + ex 2 = ey 2 + ey 2二、填 空 題 (本大題 5 小題, 每小題 4 分, 共 20 分)(1) p( a) = 0.4 , p(b) = 0.3 , p( a b) = 0.4 ,則 p( ab ) =. 4x 3 ,(2) 設(shè)隨機(jī)變量 x 有密度 f (x) = 00 x a) = p( x a)的常數(shù)a = (3) 設(shè)隨機(jī)變量 x n (2,f2 ) ，若 p0

4、 x 4 = 0.3 ,則 px 0 = (4)設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 x 和 y 均服從 n (1, d( x - ay + 2) = e( x - ay + 2) 2 ，則a =1) ，如果隨機(jī)變量 x-ay+2 滿足條件5.(5) 已知 x b(n, p) ,且 e( x ) = 8 , d( x ) = 4.8 , 則n =.三、解答題 （共 65 分）1. (10 分)某工廠由甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占全廠的25%,35%,40%,各車間產(chǎn)品的次品率分別為 5%,4%,2%,求：(1)全廠產(chǎn)品的次品率(2) 若任取一件產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)是次品,此次品是甲車間生產(chǎn)的

5、概率是多少？2. (10 分)設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的聯(lián)合概率密度為k (6 - x - y), 0 x 2 ,0 y 0;y 0.求:隨機(jī)變量 z = x + y 的概率密度函數(shù).4. (8 分)設(shè)隨機(jī)變量 x 具有概率密度函數(shù)f (x) = x 8,0 x 4;x 0,其他，求：隨機(jī)變量y = e x -1 的概率密度函數(shù).5. (8 分)設(shè)隨機(jī)變量 x 的概率密度為：f (x) = 1 e- x2- x ，求: x 的分布函數(shù)6. (9 分)假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為 0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作，若一周 5 個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲利潤(rùn) 10 萬(wàn)元；發(fā)生一次故障可獲利潤(rùn)

6、 5 萬(wàn)元；發(fā)生二次故障所獲利潤(rùn) 0 元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損 2 萬(wàn)元，求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？7. (10 分)設(shè) x n (0,1),y n (0,1) ，且相互獨(dú)立u = x + y + 1,v = x - y + 1， 求：(1) 分別求 u,v 的概率密度函數(shù)；(2) u,v 的相關(guān)系數(shù)fuv ；20052006 學(xué)年第一學(xué)期期末考試概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷（a）標(biāo)準(zhǔn)答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（63 分）題號(hào)123456答案adacbb二、填空題（93 分）：f (x) =e242 6f1125-( x-2)21、 0.22、3、4、5、 一定有3371111 n6、7、 8、

7、 2 9、 lim p|x i -a | f = 1 2ffnn i=1三、 計(jì) 算 題（36 分+47 分+19 分）1、解： b = 能發(fā)芽ai = 取的是第 i 等品i = 1,2,3,4 ,易見(jiàn) a1, a2 , a3 , a4 是w的一個(gè)劃分2 分p( a1 ) = 0.94, p( a2 ) = 0.03，p( a3 ) = 0.02, p( a4 ) = 0.01p(b | a1 ) = 0.98, p(b | a2 ) = 0.95，p(b | a3 ) = 0.9, p(b | a4 ) = 0.85 -4 分-6 分4由全概率公式，得 p(b) = p( ai )p(b |

8、 ai ) = 0.9754i=1-2、解：由題意知：離散型隨機(jī)變量 x 的可能取值是：-1，1，3，-2 分因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) f (x) = pi ,得-xi x4 分 - 113 x 0.40.36 分0.3x3、解：（1） f ( x) = - f (t)dt當(dāng) x 0,f (x) = 1 x et dt = 1 et 2 -2-2 分當(dāng) x 0,f (x) = 1 0 et dt + x e-t dt = 1 - 1 e-t -2 -02-4 分(2) p(-10 x 15) = f (15) - f (-10) = 1- 1 e-15 - 1 e-10622分4. 解：(

9、1) 1 = + f (x, y)dxdy = 1 x axdxdy = a a = 3 (見(jiàn)圖(1) 2- -分0 03圖（1）圖（2）(2) p( x 1 ,y 0其它-fz (z) = p(z z) = p( x + y z) = 0f (x, y)dxdyx+ y zz 0= z z - x e- y dxdy = z - 1 + e- z0 z 15010z - x 0 0分e- y dxdy = 1 - e1- z + e- z10z 1z 0f z (z) = fz分(z) = - e- ze1- z - e- z0 z 17z 1 012 012 6、解： x 0.30.30.

10、4y 0.30.10.6易知：ex = 1.1,ey = 1.3ex 2 = 1.9ey 2 = 2.5dx = ex 2 - (ex )2 = 0.69 同 理 dy = 0.81-3 分cov (f,f) = ef- efef= e(fx - fy )(fx + fy ) - e(fx - fy )e(fx + fy )= e(f2x 2 - f2y2 ) - (fex - fey)(fex + fey) =f2ex 2 - f2ey 2 -f2(ex )2 - f2(ey )2 =f2dx -f2dy = 0.69f2 -0.81f27 分-7、解：-1 分x (即fn ) b(100,

11、0.05) ex = np = 5,dx = np(1 - p) = 4.75 -3 分由中心極限定理，得x - npnp(1 - p)4 - npnp(1 - p)6 - npnp(1 - p)p( x - 5 1) = p(4 x 6) = p(= p(-x - np0，p(b)0，則必有(a) p(b a) 0(b) p( a b) = p( a)(c) p( a b) = 0(d) p( ab) = p( a)p(b)(2) 某人花錢買了 a、b、c 三種不同的獎(jiǎng)券各一張.已知各種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的,中獎(jiǎng)的概率分別為 p( a) = 0.03, p(b) = 0.01, p(c) =

12、 0.02,如果只要有一種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)此人就一定賺錢,則此人賺錢的概率約為(a) 0.05(b) 0.06(c) 0.07(d) 0.08(3) x n (f,42 ), y n (f,52 ),p1 = px f- 4, p2 = py f+ 5，則(a) 對(duì)任意實(shí)數(shù)f,p1 = p2(c) 只對(duì)f的個(gè)別值，才有 p1 = p2(b) 對(duì)任意實(shí)數(shù)f,p1 p2(4) 設(shè)隨機(jī)變量 x 的密度函數(shù)為 f (x) ，且 f (-x) = f (x), f (x) 是 x 的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a 成立的是(a) f (-a) = 1 - a f (x)dx(b) f (-a) = 1 - a f (

13、x)dx020(c) f (-a) = f (a)(d) f (-a) = 2f (a) -1(5) 二維隨機(jī)變量(x,y)服從二維正態(tài)分布，則 x+y 與 x-y 不相關(guān)的充要條件為(a) ex = ey(b) ex 2 -ex 2 = ey 2 -ey 2(c) ex 2 = ey 2(d) ex 2 + ex 2 = ey 2 + ey 2二、填 空 題 (本大題 5 小題, 每小題 4 分, 共 20 分)(1) p( a) = 0.4 , p(b) = 0.3 , p( a b) = 0.4 ,則 p( ab ) =. 4x 3 ,(2) 設(shè)隨機(jī)變量 x 有密度 f (x) = 00

14、 x a) = p( x a)的常數(shù)a = (3) 設(shè)隨機(jī)變量 x n (2,f2 ) ，若 p0 x 4 = 0.3 ,則 px 0 = (4)設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 x 和 y 均服從 n (1, d( x - ay + 2) = e( x - ay + 2) 2 ，則a =1) ，如果隨機(jī)變量 x-ay+2 滿足條件5.(5) 已知 x b(n, p) ,且 e( x ) = 8 , d( x ) = 4.8 , 則n =.三、解答題 （共 65 分）1. (10 分)某工廠由甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占全廠的25%,35%,40%,各車間產(chǎn)品的次品率分別為

15、5%,4%,2%,求：(1)全廠產(chǎn)品的次品率(2) 若任取一件產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)是次品,此次品是甲車間生產(chǎn)的概率是多少？2. (10 分)設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的聯(lián)合概率密度為k (6 - x - y), 0 x 2 ,0 y 0;y 0.求:隨機(jī)變量 z = x + y 的概率密度函數(shù).4. (8 分)設(shè)隨機(jī)變量 x 具有概率密度函數(shù)f (x) = x 8,0 x 4;x 0,其他，求：隨機(jī)變量y = e x -1 的概率密度函數(shù).5. (8 分)設(shè)隨機(jī)變量 x 的概率密度為：f (x) = 1 e- x2- x ，求: x 的分布函數(shù)6. (9 分)假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為 0.2，機(jī)

16、器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作，若一周 5 個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲利潤(rùn) 10 萬(wàn)元；發(fā)生一次故障可獲利潤(rùn) 5 萬(wàn)元；發(fā)生二次故障所獲利潤(rùn) 0 元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損 2 萬(wàn)元，求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？7. (10 分)設(shè) x n (0,1),y n (0,1) ，且相互獨(dú)立u = x + y + 1,v = x - y + 1， 求：(1) 分別求 u,v 的概率密度函數(shù)；(2) u,v 的相關(guān)系數(shù)fuv ；20062007 學(xué)年第一學(xué)期期末考試概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷（a）標(biāo)準(zhǔn)答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選 擇 題（53 分）題號(hào)12345答案cbabb二、填 空 題（54 分）4 2、1、0.12

17、1 3、0.35 4、35、20三、 計(jì) 算 題（65 分）1、解：a 為事件“生產(chǎn)的產(chǎn)品是次品”，b1 為事件“產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”，b2 為事件“產(chǎn)品是乙廠生產(chǎn)的”，b3 為事件“產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的”，易見(jiàn) b1 , b2 , b3是w的一個(gè)劃分 -2 分(1) 由全概率公式，得33p( a) =p( abi ) =p(bi )p( a bi ) = 25% 5% + 35% 4% + 40% 2% = 0.0345. -5 分i =1i =1(2) 由 bayes 公式有： p( a b )p(b ) = 25% 5% = 2510p(b a) =1311 0.034569p( a bi )

18、p(bi )i =1分 24 2412、解：(1) 由于f (x, y)dxdy = 1，所以 dx k (6 - x - y)dy = 1 ，可得 k =- -005 分24- x 112 18(2) dx(6 - x - y)dy = ( x2 - 6x + 16)dx =-10 分002424 0 29+3、解：由卷積公式得 f z (z) = - f (x, z - x)dx ，又因?yàn)?x 與 y 相互獨(dú)立，所以+f z ( z) = - f x (x) fy (z - x)dx3 分+當(dāng) z 0 時(shí)， f z (z) = - f x (x) fy (z - x)dx = 0;分-5當(dāng)

19、0 z 1時(shí)，7 分f z (z) =+f x (x) fy-(z - x)dx =z e-( z - x) dx = 1 - e- z ; -0當(dāng) z 1 時(shí)， f (z) =+ f (x) f(z - x)dx = 1e-(z-x) dx = e-z (e - 1);z- xy0-y0z 010 分所以f z(z) = +f x (x) f(z - x)dx = 1 - e- z0 z 1; -e- z (e - 1)z 14、解： y = e x -1 的分布函數(shù) fy ( y).fy( y) = p(y y) = p(e x -1 y) = p( x ln( y +1) =分ln( y

20、 +1)-f x (x) dx20,y 0;= 1 ln 2 ( y +1),160 y e 4-1;-61,分e 4 -1 y.d fln( y + 1) ,0 y e 4 - 1;于是y 的概率密度函數(shù) fy分(y) ) dy=y ( y) = 8( y + 1)80,其他.x5、 解： f ( x) = - f (t)dt當(dāng) x 0, f (x) = 1 x et dt = 1 et 2 -23 分當(dāng) x 0, f (x) = 1 0 et dt + x e -t dt = 1 - 1 e -t 82 -02分 5 6、解：由條件知 x b(5,0.2) ，即 px = k = 0.2k

21、 k 0.85- k , k = 0,1,l,5-3 分10,5,y = g( x ) = 0,- 2,分x = 0;x = 1;x = 2;x 3-65ey = eg( x ) = g(k )px = kk =0= 10 px = 0 + 5 px = 1 + 0 px = 2- 2 px = 3 + px = 4 + px = 5= 10 0.328 + 5 0.410 - 2 0.057 = 5.216(萬(wàn)元)9 分-7、解：（1）因?yàn)?x n (0,1),y n (0,1) ，且相互獨(dú)立，所以u(píng) = x + y + 1,v = x - y + 1都服從正態(tài)分布，eu = e( x +

22、y + 1) = ex + ey + e1 = 1du = d( x + y + 1) = dx + dy = 23分1- u 2所以 u n (1,2) ，所以 fu (u) =e 44f同 理 ev = e( x - y + 1) = ex - ey + e1 = 1du = d( x - y + 1) = dx + dy = 2所以 v n (1,2) ，所以5 分fv (u) =1e 4f- u 24-（2） euv = e( x + y + 1)( x - y + 1) = e( x 2 - y 2 + 2 x + 1)= ex 2 - ey 2 + 2ex + 1 = dx + (

23、ex )2 - (dy + (ey )2 ) + 2ex + 1= 1分所以fuv= euv - euev = 0-8dudv10 分鄭州輕工業(yè)學(xué)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題a 卷注：本試卷參考數(shù)據(jù)f(1) = 0.8413f(0.1) = 0.5398f(0.5) = 0.6915z0.01 = 2.326t0.01 (8) = 2.8965t0.01 (9) = 2.82132007-2008 學(xué)年 第二學(xué)期2008.06一、填空題（每空 3 分，共 18 分）1. 事件 a 發(fā)生的概率為 0.3，事件 b 發(fā)生的概率為 0.6，事件 a，b 至少有一個(gè)發(fā)生的概率為 0.9，則事件 a，b 同時(shí)

24、發(fā)生的概率為 2.設(shè)隨機(jī)向量（x，y）取數(shù)組（0，0），（-1，1），（-1，2），（1，0）的概率分別為1 , 1 , 1, 5 , 取其余數(shù)組的概率均為 0，則 c= 2c c 4c 4c3. 設(shè)隨機(jī)變量 x 在（1，6）上服從均勻分布，則關(guān)于 y 的方程 y 2 - xy + 1 = 0 無(wú)實(shí)根的概率為.4. 若 x n (0,1) ， y n (0,1) ，且 x 與 y 相互獨(dú)立，則 z = x + y 服從 (f+ 1)xf,0 x -1）的最大似然估計(jì)量為 .6. 當(dāng)f2已知，正態(tài)總體均值f的置信度為1 -f的置信區(qū)間為（樣本容量為 n）二、選擇題（每題 3 分，共 18 分）1

25、. 對(duì)任意事件 a 與 b ，下列成立的是（）（a） p( a | b) = p( a), (p(b) 0)（b） p( a u b) = p( a) + p(b)（c） p( ab) = p( a)p(b | a),(p( a) 0)（d） p( ab) = p( a)p(b)2. 設(shè)隨機(jī)變量 x b(n, p) 且期望和方差分別為 e( x ) = 2.4,d( x ) = 0.48，則（）(a) n = 8, p = 0.3(b)(b)n = 6, p = 0.4(c) n = 3, p = 0.4（d） n = 3, p = 0.8x + 43. 設(shè)隨機(jī)變量 x 的分布函數(shù)為 fx（x

26、），則y =的分布函數(shù) fy（y）為-()21(a) fx ( 2 y) + 2(c) fx (2 y) - 44. 若隨機(jī)變量 x 和 y 的相關(guān)系數(shù)fxy1(b)( fx (y + 2)b)2（d） fx (2 y - 4)= 0 ，則下列錯(cuò)誤的是（）(a) x ,y 必相互獨(dú)立(b) 必有 e( xy ) = e( x )e(y )(c) x ,y 必不相關(guān)（d） 必 有d( x + y ) = d( x ) + d(y )5. 總體 x n (0,1) ， x1 , x2 l, xn 為來(lái)自總體 x 的一個(gè)樣本， x , s 2 分別為樣本均值和樣本方差，則下列不正確的是（）(a) n

27、 x n (0,n)(b)x t(n - 1)sn221(c)x ii=1 f (n)（d） x n (0, ) n6. 設(shè)隨機(jī)變量 x k (k = 1,2l) 相互獨(dú)立,具有同一分布, exk = 0, dx k = f2 , k = 1,2,l ，n則當(dāng) n 很大時(shí)， xkk =1的近似分布是（）(a) n (0, nf2)(b) n (0,f2 )(c) n (0,f2 / n)(d) n (0,f2 / n2 )三、解答題（共 64 分）1. （本題 10 分）設(shè)一批混合麥種中一、二、三等品分別占 20%、70%、10%，三個(gè)等級(jí)的發(fā)芽率依次為 0.9，0.7，0.3，求這批麥種的發(fā)

28、芽率。若取一粒能發(fā)芽，它是二等品的概率是多少？2. （本題 10 分）設(shè)隨機(jī)變量 x 具有概率密度f(wàn) (x) = ke-3x ,x 0(1) 試確定常數(shù) k ；(2) 求 x 的概率分布函數(shù) f（x）；(3) 求 p-1 0, y 00,其他求 x 和 y 的邊緣概率密度并判斷 x 和 y 是否獨(dú)立？5. （本題 8 分）某種燈管壽命 x（以小時(shí)計(jì)）服從正態(tài)分布 x n (f,f2 ),f未知，f2 = 100 ，現(xiàn)隨機(jī)取 100 只這種燈管，以 x 記這一樣本的均值，求均值 x 與f的偏差小于1 的概率.6. （本題 10 分）設(shè) x u (0, b), b 0 未知. x 1 , x 2

29、l, x n 為來(lái)自總體 x 的一個(gè)樣本，求b 的矩估計(jì)量.今測(cè)得一個(gè)樣本值 0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求 b 的矩估計(jì)值.7. （本題 6 分）自某種銅溶液測(cè)得 9 個(gè)銅含量的百分比的觀察值. 算得樣本均值為 8.3 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 0.025 .設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體 x性水平f= 0.01檢驗(yàn)假設(shè) h 0 : f 8.42, n (f,f2 ),f,f2 均未知.試依據(jù)這一樣本取顯著f 0 f (x) = ；5 分 0,x 0x0,x 0(2) f (x) = f (x)dx =1 - e-3 x ,x 08 分(3) p-1 0,4. f x (x) = 20,x 01 + y e- y ,y 0,fy ( y) = 20,y 0-4 分-8 分顯然 f x (x) fy ( y) 分f (x, y) ，故 x 和 y 不相互獨(dú)立105.p| x -