橢圓的簡單幾何性質(zhì)

1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)(1,一、復(fù)習(xí)回顧,1.橢圓的定義,平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)2a （大于|F1F2 |）的動點(diǎn)M的軌跡叫做橢圓,2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,3.橢圓中a,b,c的關(guān)系,當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時,當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時,a2=b2+c2,1橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,所表示的橢圓的范圍是什么,2 橢圓有幾條對稱軸？幾個對稱中心,3上述方程表示的橢圓有幾個頂點(diǎn)？頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么,6如何通過橢圓的離心率刻畫橢圓的扁平程度,42a 和 2b表示什么？ a和 b又表示什么,5橢圓離心率是如何定義的？范圍是什么,二、導(dǎo)學(xué)導(dǎo)思,axa, -byb 橢圓位于直線x=a,y= b所圍成的矩形中， 如圖所示,三、新

2、課講解,1、橢圓 的范圍,由,x,2、橢圓 的對稱性,從圖形上看， 橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱,從方程上看： （1）把x換成-x方程不變，圖象關(guān)于 軸對稱； （2）把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于 軸對稱； （3）把x換成-x，同時把y換成-y方程不變， 圖象關(guān)于 成中心對稱,y,x,原點(diǎn),坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸， 原點(diǎn)是橢圓的對稱中心,中心：橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心,長軸、短軸： 線段A1A2、B1B2分別 叫做橢圓的長軸和短軸。 它們的長分別等于2 a和2 b 。 a、b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長,3、橢圓 的頂點(diǎn),令 x=0，得 y=？說明橢圓與 y軸的交點(diǎn)為（ ）， 令 y=0

3、，得 x=？說明橢圓與 x軸的交點(diǎn)為（,0, b,a, 0,頂點(diǎn)：橢圓與它的對稱軸的四個 交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn),根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形,1,2,A1,B1,A2,B2,B2,A2,B1,A1,0,0,4、橢圓的離心率,離心率：橢圓的焦距與長軸長的比,叫做橢圓的離心率,1離心率的取值范圍,2離心率對橢圓形狀的影響,0e1,e 越接近 1，橢圓就越扁； e 越接近 0，橢圓就越圓,3e與a,b的關(guān)系,用e表示，即,思考：當(dāng)e0時，曲線是什么？當(dāng)e1時曲線又是什么,e用來刻畫橢圓扁平程度的量,a x a, - b y b,關(guān)于x軸、y軸成軸對稱； 關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,a,0)、(-a,0)

4、、(0,b)、(0,-b,c,0)、(-c,0,長半軸長為a,短半軸長為b. (ab,知識歸納,a2=b2+c2,關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b,c,0)、(-c,0,長半軸長為a,短半軸長為b. (ab,b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a,0 , c)、(0, -c,關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,長半軸長為a,短半軸長為b.(ab,a x a, - b y b,a y a, - b x b,a2=b2+c2,a2=b2+c2,例題1: 求橢圓 9 x2 + 4y2 =36的長軸和短軸的長、離心 率、焦點(diǎn)和頂

5、點(diǎn)坐標(biāo),橢圓的長軸長是,離心率,焦點(diǎn)坐標(biāo)是,四個頂點(diǎn)坐標(biāo)是,橢圓的短軸長是,2a=6,2b=4,解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,四、例題講解,練習(xí):求橢圓 16 x2 + 25y2 =400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo),解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的長軸長是,離心率,焦點(diǎn)坐標(biāo)是,四個頂點(diǎn)坐標(biāo)是,橢圓的短軸長是,2a=10,2b=8,例2: 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)（-3，0）、（0，-2,解： 方法一：設(shè)橢圓方程為mx2ny21（m0，n0，mn），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出m1/9,n1/4。所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢

6、圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)，于是焦點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)P、Q分別是橢圓長軸與短軸的一個端點(diǎn)，故a3，b2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,例2: 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)（-3，0）、（0，-2）；（2）長軸的長等于20，離心率等于3/5,2) 由已知得,解,由于橢圓的焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b,c,0)、(-c,0,長半軸長為a,短半軸長為b. (ab,b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a,0 , c)、(0, -c,a x a, - b y b,a y a, - b x b,a2=b2+c2,小結(jié),小結(jié),本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的幾個簡單幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等概念及其幾何意義。了解了研究橢圓的幾個基本量a，b，c，e及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、對稱中心及其相互之間的關(guān)系，這對我們解決橢圓中的相關(guān)問題有很大的幫助，給我們以后學(xué)習(xí)圓錐曲線其他的兩種曲線扎實(shí)了基礎(chǔ)。在解析幾何的學(xué)習(xí)中，我們更多的是從方程的形式這個角度來挖