非齊次泊松過程定義ppt課件

1、概率統(tǒng)計與隨機過程,宋 暉 2013年秋,第七章 泊松過程,泊松過程 定義 時間間隔和等待時間 非齊次泊松過程 復(fù)合泊松過程,泊松過程是一類較為簡單的時間連續(xù)、狀態(tài)離散的隨機過程,泊松過程用于刻畫“顧客流”、“粒子流”、“信號流”等概率特性 泊松過程在物理學(xué)、地質(zhì)學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、計算機等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用,參數(shù)集T是連續(xù)的， N(t) 是離散的,泊松過程,計數(shù)過程,定義：稱隨機過程N(t),t0為計數(shù)過程，若N(t)表示到時 刻t為止已發(fā)生的“事件A”的總數(shù)，且N(t)滿足下列條件: (1) N(t)0；(2) N(t)取正整數(shù); (3)若s t，則N(s)N(t); (4)當(dāng)st, N(t

2、)-N(s)等于區(qū)間(s,t中發(fā)生的“事件A”的次數(shù),若t10)，事件A發(fā)生的次數(shù)N(t+s)-N(t)僅與時間差s有關(guān)，而與t無關(guān)，則計數(shù)過程N(t)是平穩(wěn)獨立增量過程,如果N(t)等于正在或早于時間t進(jìn)入一個特定的商店的人，那么N(t),t0是一個計數(shù)過程 如果1個嬰兒誕生，則一個事件發(fā)生， N(t)等于時間t之前誕生的總?cè)丝跀?shù)，那么N(t),t0是一個計數(shù)過程 如果N(t)等于給定的足球運動員在時間t前進(jìn)球的個數(shù)，那么N(t),t0是一個計數(shù)過程,計數(shù)過程實例,S2,S3,S4,S5,第一個信號到達(dá),S1,S6,第二個信號到達(dá),第三個信號到達(dá),N(t,t,0,描述信號流,定義A： 如果取

3、非負(fù)整數(shù)值的計數(shù)過程N(t), t0滿足： N(0)0； N(t)是獨立增量過程 對任意0st, N(t)-N(s)服從參數(shù)為(t-s)泊松分布,即,則稱N(t),t0為參數(shù)為的(齊次)泊松過程,EN(t)/t：表示單位時間內(nèi)事件A發(fā)生的平均個數(shù) 稱為此過程的速率或強度,根據(jù)條件(3) 1) 令s=0，有,2) 泊松過程是平穩(wěn)增量過程,3) EN(t),定義B: 如果取非負(fù)整數(shù)值的計數(shù)過程N(t),t0滿足下列條件： N(0)0； N(t)是獨立、平穩(wěn)增量過程； PN(h)=1h+o(h)； PN(h)2o(h) 則稱N(t),t0為參數(shù)為的(齊次)泊松過程,例： 考慮某一電話交換臺在某段時間

4、接到的呼喚。令N(t)表示電話交換臺在(0,t內(nèi)收到的呼喚次數(shù),則N(t),t0滿足定義B的條件, 故N(t), t0是一個泊松過程,例： 考慮到某車站售票窗口購買車票的旅客,若記N (t)為在時間0,t內(nèi)到達(dá)售票窗口的旅客數(shù),則N(t),t0為一泊松過程,泊松過程的定義A與B等價 證明: 1) 定義B定義A, 2)定義A 定義B,BA：條件1)與a)相同。條件2)由b)直接得到。只要證明：N(t)(t0)服從參數(shù)為t泊松分布。 設(shè)Pk(t)PN(t)=k，利用歸納法證明,k=0，P0(t+h)PN(t+h)=0 PN(t)=0, N(t+h)-N(t)=0 PN(t)=0PN(t+h)-N(

5、t)=0 P0(t)1-h+o(h,解微分方程得：P0(t)e-t 故: P0(t)e-t,1-PN(t+h)-N(t) =1 根據(jù)： PN(h)=1h+o(h,k1，Pk(t+h)PN(t+h)=k,Pk(t)1-h+o(h)+Pk-1(t)h+o(h)+o(h,k=1時,解得：P1(t)te-t，所以k=1時結(jié)論成立,假設(shè)k-1時結(jié)論成立,故結(jié)論對任意k0成立,到達(dá)間隔時間的分布,考慮泊松過程N(t), t0，Tn記在第n-1個事件與第n個事件之間用去的時間。 序列Tn , n=1,2,稱為到達(dá)時間間隔序列,S2,S3,S4,S5,S1,S6,N(t,t,0,到達(dá)時間間隔序列Tn ，考慮

6、n=1,事件T1 t 發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)在0, t內(nèi)沒有事件發(fā)生,T1服從均值為1/的指數(shù)分布,考慮 n=2,T2服從均值為1/的指數(shù)分布,定理：序列Tn , n=1,2,是獨立同分布、均值為1/的指數(shù)隨機變量 （嚴(yán)格證明略,分布函數(shù)為,概率密度函數(shù)為,對于任意 n0 和 t, s1,s2,sn-10,有 P Tn t | T1 = s1, , Tn-1 = sn-1 =P N( t + s1+ sn-1) - N(s1+s2+ sn-1) = 0 =PN(t) - N(0)=0= e-t 所以對任一Tn(n0),其分布是參數(shù)為的指數(shù)分布,等待時間的分布,考慮泊松過程N(t), t0，第n個事件到達(dá)

7、的時間Sn， 序列Sn , n=1,2,稱為第n個事件的等待時間,Sn服從參數(shù)為n和的伽瑪分布,參數(shù)為n與的分布又稱愛爾蘭（Erlang）分布，它是n個相互獨立且服從指數(shù)分布的隨機變量之和的分布,例：假設(shè)每秒鐘IP包以速率為 =1的泊松分布到達(dá)某路由器。 （1）直到第10個IP包到達(dá)的時間期望是多少？ （2）第10個IP包到達(dá)和第11個IP包到達(dá)之間的時間超過2秒的概率是多少,解: (1)第10個IP包的到達(dá)時間S10，Sn服從參數(shù)n與的分布 期望：n/ , 方差：n/ 2,2) 第1011個IP包到達(dá)之間的時間超過2秒 時間間隔超過2秒的概率 = PT112,泊松事件的分解,考慮一個速率為的

8、泊松過程N(t), t0，發(fā)生的事件分為A類和B類事件。假設(shè)每個事件獨立于所有其他事件，A類事發(fā)生概率為p，B類事件發(fā)生概率為1-p,定理： N1(t), t0和N2(t), t0兩者分別是速率為 p和 (1-p)的泊松過程，且這兩個過程是彼此獨立的,推廣： 獨立泊松隨機變量的和本身也是泊松隨機變量,例：假設(shè)客戶對售出的某產(chǎn)品的非負(fù)出價以速率為的泊松過程到達(dá)，而每次出價是具有密度函數(shù) f(x) 的隨機變量值?？梢栽O(shè)定特定y，當(dāng)出價超過 y 時，接受報價成交。假定賣出產(chǎn)品之前，每個單位時間的費用為c。那么賣出產(chǎn)品后期望回報最大的最優(yōu) y 值是多少,解: 出價為隨機變量 X ，那么 xy的概率為,

9、出價大于y的事件Ny為按 速率到達(dá)的泊松過程,接受出價的總回報： R(y) = (X|Xy) c* 一個Ny事件到達(dá)的時間,目標(biāo)：E(R(y) 最大,時間間隔Tn,對E(R(y) )求導(dǎo),所以y的最優(yōu)值滿足,時間間隔Tn，指數(shù)分布的期望,到達(dá)時間的條件分布,假設(shè)在0, t內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生1次，確定這一事件到達(dá)時間S1的分布,對于st,事件發(fā)生的時間均勻分布在0,t上,定理：給定N(t)=n, n個到達(dá)時間S1 , , Sn 與n個在 (0,t)上均勻分布的獨立隨機變量所對應(yīng)的次序統(tǒng)計量有相同的分布,非齊次泊松過程,定義：稱計數(shù)過程N(t), t 0為具有跳躍強度函數(shù)(t)的非齊次泊松過程，如果

10、滿足： (1) N(0)=0; (2) N(t)是獨立增量過程; (3,可以證明: 為非齊次泊松過程的均值函數(shù),定義：稱計數(shù)過程N(t), t 0為具有跳躍強度函數(shù)(t)的非齊次泊松過程，則,或,例：某路公共汽車從早晨5時到晚上9時有車發(fā)出，乘客流量為(t)(t=0為早晨5時，t=16為晚上9時,假設(shè)乘客數(shù)在不相重疊時間間隔內(nèi)是相互獨立的，求12時至14時有2000人來站乘車的概率，并求這兩小時內(nèi)來站乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望,解：12時至14時為t7,9，在0,t內(nèi)到達(dá)的乘車人數(shù)N(t)服從參數(shù)為(t)的非齊次泊松過程。12時至14時乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為,12時至14時有2000人來站乘車的概率為,復(fù)合泊松過程,例：設(shè)N(t)是在0, t內(nèi)來到某商店的顧客數(shù)， Yk是第k個顧客的花費，則是0, t內(nèi)的營業(yè)額為復(fù)合泊松過程,例：某保險公司買了人壽保險的人在時刻S1,S2,死亡，在Sn時刻死亡的人的保險金額