(完整版)中學(xué)代數(shù)研究(張奠宙版)重要概念考點(diǎn)(最新整理)

1、中學(xué)代數(shù)研究期末復(fù)習(xí)資料第一章數(shù)與數(shù)系1. 按照與實(shí)體分離的程度不同，數(shù)系循著以下歷史途徑擴(kuò)展：自然數(shù)正有理數(shù)簡單的代數(shù)無理數(shù)零與負(fù)有理數(shù)復(fù)數(shù)嚴(yán)格的實(shí)數(shù)系2. 數(shù)的邏輯擴(kuò)展自然數(shù) 添加負(fù)數(shù)和零 整數(shù)系 作分式域 有理數(shù)系 作柯西序列等價(jià)類實(shí)數(shù)系 作 2 次代數(shù)擴(kuò)張 復(fù)數(shù)系3. 自然數(shù)集是一個(gè)無限集，這是人們在數(shù)學(xué)上第一次遇到的最簡單、最直觀的無限集.自然數(shù)公理系統(tǒng)利用“后繼”描述了這種無限性。4.p8p10，定理 16 的證明4. 為什么要引入“0”作為自然數(shù)？答：首先，盡早引入 0，有利于學(xué)生對自然數(shù)的理解； 其次，數(shù) 0 對于數(shù)的擴(kuò)展來說十分重要；最后，從集合論的角度看，把 0 作為自然數(shù)

2、比較合理。5. 數(shù)系通常包括：整數(shù)系、有理數(shù)系、實(shí)數(shù)系、復(fù)數(shù)系?！咀⒁猓喉樞虿豢深嵉埂?. 數(shù)學(xué)歸納法是不是公理？答：是。數(shù)學(xué)歸納法的原理，通常被規(guī)定作為自然數(shù)公理（參見皮亞諾公理）。不是。它只是一種證明方法。因?yàn)閿?shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，而不是完全歸納法，它的基礎(chǔ)是自然數(shù)列的性質(zhì)而不是邏輯公理。7. 復(fù)數(shù)不能規(guī)定大小的含義是什么？答：數(shù)學(xué)上所謂大小的定義，是在實(shí)數(shù)軸右邊的比左邊的大，而復(fù)數(shù)要引入虛數(shù)軸，在平面上表示。8. 證明任何一個(gè)有理數(shù)的平方都不等于 5？ 證明：假設(shè)存在，設(shè)這個(gè)有理數(shù)是 m/n那么 m、n 互質(zhì)那么 5n=m顯然 m 是 5 的倍數(shù)設(shè) m=5t 即 n=5t所

3、以 n 也必然是 5 的倍數(shù)那么 m/n 至少有 5 這個(gè)質(zhì)因數(shù)，這與 m、n 互質(zhì)矛盾 9.（略看）所有不是整數(shù)的有理數(shù)集是數(shù)環(huán)嗎？是數(shù)域嗎？還是既非數(shù)環(huán)又非數(shù)域？為什么？答：不是整數(shù)的有理集不是數(shù)環(huán)，任何數(shù)域都包含有理數(shù)域 q，所以不是數(shù)域第二章 式、代數(shù)式、不等式1. p59，例 112. 學(xué)好數(shù)學(xué)和掌握好符號(hào)的運(yùn)用有關(guān)嗎？答：理性思維的基本品質(zhì)之一是善于使用符號(hào)語言。我們強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，原因之一是在與數(shù)學(xué)能夠培養(yǎng)學(xué)生熟練地使用形式符號(hào)進(jìn)行推理的能力，并由此提高理性思維的品質(zhì)和素養(yǎng)。3. 數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言，符號(hào)在科學(xué)語言中的地位怎么樣？答：從歷史上看，每一個(gè)重大的數(shù)學(xué)進(jìn)展都和數(shù)學(xué)符

4、號(hào)的創(chuàng)造性運(yùn)用是分不開的。數(shù)學(xué)符號(hào)語言的運(yùn)用，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)推理成為可能。學(xué)會(huì)使用符號(hào)語言表述豐富的思維并用以指揮計(jì)算機(jī)進(jìn)行操作，是人類理性思維發(fā)展的必備基礎(chǔ)。4. 文字代表數(shù)有那幾層含義？答：文字代表數(shù)的真正價(jià)值在于文字能夠和數(shù)字一起進(jìn)行四則運(yùn)算和乘方、開方，進(jìn)行指數(shù)、對數(shù)、三角等運(yùn)算，乃至對字母進(jìn)行微分、積分運(yùn)算等等。5. 不等式如何分類？解不等式和證明不等式有何異同？答：不等式分為絕對值不等式和條件不等式分為超越不等式和代數(shù)不等式分為有理不等式（分為整式不等式和分式不等式）和無理不等式6. 證明絕對值不等式的方法？答：綜合法、分析法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等基本數(shù)學(xué)方法,配湊、拆項(xiàng)、換

5、元、構(gòu)造、特殊化、等分區(qū)間、分類討論等一些常用的解題技巧與策略。7. 解條件不等式要注意哪些問題？答：變形保證是等價(jià)變形，即不要丟根也不要產(chǎn)生增根；對于 分式不等式與無理不等式要注意定義域；注意區(qū)間兩端的閉與開；取交集時(shí)不可馬虎大意，保證準(zhǔn)確性；分情況討論時(shí)，保證全而準(zhǔn)確，不漏不重。第三章 方程1. 方程的本質(zhì)是“關(guān)系”，而且是一個(gè)等是關(guān)系。2. 方程在數(shù)學(xué)中的地位如何？答：許多數(shù)學(xué)的進(jìn)步是隨著方程研究發(fā)展而發(fā)展的。3. 方程、函數(shù)、曲線三者關(guān)系如何？答：方程是曲線的代數(shù)表示，曲線是方程的幾何表示（圖像）。函數(shù)是一種特殊的方程，即一對一方程。例如：對拋物線來說，它是曲線也是圖形，我們可以從函數(shù)

6、的角度研究它，也可以從方程的角度研究它但是兩者之間是有區(qū)別的。從函數(shù)的角度看，圖形體現(xiàn)的是一種數(shù)量關(guān)系，它只不過是函數(shù)的一個(gè)直觀載體；從方程的角度看，它是從幾何特征出發(fā)，確定它的代數(shù)關(guān)系（即方程），用方程研究曲線，即解析幾何的思想方法。它們雖然都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合， 但是體現(xiàn)的側(cè)面不同4. 評(píng)價(jià)韋達(dá)定理的價(jià)值？答：韋達(dá)定理貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的始終,它在方程論中有著廣泛的應(yīng)用， 是實(shí)系數(shù)一元二次方程的重要基礎(chǔ)知識(shí)。它不僅可以解答方程的問題同樣也可以解答幾何中的問題，涉及的面很廣泛。 下面我們就來看一下他的具體應(yīng)用。例如： 用韋達(dá)定理來解決方程或方程組的問題，可以起到化繁為簡、化難為易的作用，從而使這些問

7、題得到 順利的解決；韋達(dá)定理揭示了一元二次方程的根與系數(shù)間的關(guān)系，應(yīng)用十分廣泛；韋達(dá)定理在物理學(xué)當(dāng)中也充分的發(fā)揮了其本身的價(jià)值。5. 中國剩余定理的重要性何在？它與線性組合、特解通解，線性空間的“基”等數(shù)學(xué)概念有何聯(lián)系？答：中國剩余定理非常重要，其數(shù)學(xué)思想即分類統(tǒng)一思想很值得借鑒，而且還可以推廣到其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如抽象代數(shù)學(xué)。第四章函數(shù)11. 伽利略研究拋物體的運(yùn)動(dòng)及自由落體運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生了函數(shù) s= 2 gt，他明確宣稱，科學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)。2. 法國數(shù)學(xué)家笛卡爾最先提出了“變量”的概念，他在幾何學(xué)中不僅引入了坐標(biāo)，而且實(shí)際上也引入了變量，他在指出 x,y 是變量的同時(shí)，還注意到 y 依賴于 x 而

8、變化，這就是函數(shù)思想的萌芽。3.函數(shù)概念的三種定義：變量說、對應(yīng)說（映射說）、關(guān)系說：（p95）（1） 函數(shù)的變量說定義：一般地，設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量 x 與 y，如果變量 y 隨著 x 的變化而變化，那么就說 x 是自變量，y 是因變量，也稱 y 是 x 的函數(shù)，x 的取值范圍叫做函數(shù)的定義域， 與 x 的值對應(yīng)的 y 的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。（2） 函數(shù)的對應(yīng)說定義：設(shè) a 為非空實(shí)數(shù)集，如果存在對應(yīng)規(guī)律f，對 a 中每一個(gè)元 x 按照對應(yīng)規(guī)律 f，存在 r 中唯一的一個(gè)事實(shí) y與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)律 f 是定義在 a 上的函數(shù)，表為： f：ar。集合 a 稱為

9、函數(shù) f 的定義域，元 x 所對應(yīng)的 y 值稱為 x的函數(shù)值，表為 y=f(x)。函數(shù)值的集合成為函數(shù) f 的值域，表為 f(a)， 即 f(a)=y|y=f（x），xar。由于 xa 與 yr 處于不同的地位，因此稱 x 是自變量，y 是因變量。（3） 函數(shù)的關(guān)系說定義：在函數(shù)的定義中，對于任給的 xx，則存在唯一的 yy 與之對應(yīng)，而在關(guān)系的定義中，對于任給的xx，可以有多于一個(gè)的元與之對應(yīng)，所以說函數(shù)是一種特殊的關(guān)系。評(píng)價(jià)：“變量說”是最樸素、最根本，也是最重要的，對于初學(xué)者更容易接受。“對應(yīng)說”形式化的程度較高，對于研究函數(shù)精細(xì)性質(zhì)具有一定作用。三種不同的定義，都有各自存在的理由，但是

10、“變量說”無論如何總是最基本的。3. 函數(shù)的本質(zhì)是變量之間的關(guān)系。4. 許多現(xiàn)實(shí)問題可以歸因于研究數(shù)量的變化過程（函數(shù)本質(zhì)）。5. 函數(shù)概念的教學(xué)要從實(shí)際背景和定義兩個(gè)方面幫助學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)。6. 進(jìn)入高中階段，要求用兩個(gè)數(shù)集之間對應(yīng)的方式來闡述函數(shù)的意 義，此時(shí)，學(xué)生需要抽象地思考，跳出函數(shù)的具體表達(dá)式的限制， 把“對應(yīng)法則”作為函數(shù)概念的核心，這就是要求從變量說過渡 到對應(yīng)說。7. 學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，要實(shí)現(xiàn)由靜到動(dòng)的轉(zhuǎn)變。8. 初等函數(shù)為什么重要？9. 函數(shù)單調(diào)性定義的教學(xué)難點(diǎn)：單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；單調(diào)區(qū)間不能求并；單調(diào)性變式理解；數(shù)形結(jié)合和函數(shù)奇偶性聯(lián)系起來；對差式的因式分解要徹底

11、。10. 用 apos 理論分析二次方程概念（p124）重點(diǎn)“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development a