計算方法-數值積分

1、第5章 數值積分,若函數f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)且其原函數為F(x) , 則可用牛頓萊布尼茲公式，來求定積分,51,求定積分,復習,函數關系由表格或圖形表示,無法求出原函數,定積分計算可能遭遇的三種情況,被積函數的原函數不是初等函數,被積函數f(x)沒有具體的解析表達式,被積函數f(x)的原函數F(x)不易找到,第5章 數值積分,從幾何上看定積分,定積分是曲邊梯形的面積,圖 5.1,左矩形,右矩形,52,53,圖 5.2 梯形面積,圖5.3 拋物求積,54,55,第5章 數值積分,近似值,5.1,5.2,5.4,牛頓 柯特斯 (NewtonCotes) 公式,復合求積公式,龍貝格(Romb

2、erg) 積分方法,5.1 牛頓 柯特斯(NewtonCotes) 公式 建立數值積分公式最基本的思想是選取一個既簡單又有足夠精度的函數(x),用(x)代替被積函數f(x),于是有 現用第四章介紹的插值多項式Pn(x)來代替被積函數f(x),即有,將積分區(qū)間a,b n等分，則節(jié)點是等距分布的，節(jié)點x0 ,x1 ,x2 , xn可表示成xk=x0+kh (k=0,1,n)，其中 x0=a, xn=b,稱為步長,Newton-Cotes公式,若Ln (x)為Lagrange插值多項式，則由公式,于是,令,5.5,公式(5.6)稱為等距節(jié)點內插求積公式,則有,5.6,求Ak,在等距節(jié)點前提下，做變換

3、,由,可得,而x-xj=(t-j)h (j=0,1,2,n) ，xk-xj=(k-j)h (j,k=0,1,2,n且jk)。于是(5.5)式即為,記,則,5.9,稱為牛頓-柯特斯公式。其中Ck(n) 叫Cotes系數，Cotes系數與被積函數及積分區(qū)間無關,計算柯特斯系數,n=1時，有兩個Cotes系數,n=2時，有三個Cotes系數,類似可得，n=3時有四個Cotes系數,n=4時，有五個Cotes系數,幾個常用的牛頓-柯特斯公式,n=1時,此即(5.3)式，為梯形公式,其中,稱為Simpson公式,其中 c,d,e為a,b的四等分點，稱為Cotes公式,n=2時,n=4時,表 51 柯特斯

4、系數,柯特斯系數C(n)i僅與n和i有關,與被積函數f(x)無關,且滿足,515,柯特斯公式對f(x)=1是準確成立的,柯特斯系數的特點,例1 試分別用梯形公式和辛普森公式計算積分 解:利用梯形公式,利用拋物線公式,原積分的準確值,5.1.2 誤差估計 現對牛頓柯特斯求積公式所產生的誤差作一個分析。牛頓 柯特斯求積公式的余項為 易知,牛頓柯特斯求積公式對任何不高于n次的多項式是準確成立的。這是因為 f(n+1)()0 故 Rn(f)0,510,代數精度 一般說來,若某個求積公式對于次數不高于m的多項式都準確成立(即Rn(f)0),而對于某一次數為m+1的多項式并不準確成立(即Rn(f) 0),

5、則稱這一求積公式的代數精度為m。 牛頓 柯特斯求積公式的代數精度至少為n，若n為偶數，則至少具有n+1次代數精度。通常在基點個數相等的情況下,代數精度愈高,求積公式愈精確。 梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分別具有1、3、5次代數精度,例5.1 分別利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式計算 , n=1,2,3,4,5，并與用牛頓-萊布尼茲公式計算的結果進行比較,解 計算結果列于表5-2中,證 由式 知,梯形公式的余項為,x-a)(x-b)在區(qū)間(a, b)內不變號,f()是x的函數且在a,b上連續(xù),故根據積分第二中值定理參見有關數學分析教材中“一元函數積分學第二中值定理”。 知,存

6、在某一(a, b)使,定理2 (拋物線公式的誤差)設f(x)在a, b上有連續(xù)的四階導數,則拋物線公式的誤差為,定理1 (梯形公式的誤差)設f(x)在區(qū)間a, b上具有連續(xù)的二階導數,則梯形求積公式的誤差為,如果在每個子區(qū)間上使用梯形公式，就得到復合梯形公式。將積分區(qū)間a,bN等分后的節(jié)點記為xk，xk=a+kh(k=0,1,2,N )，在每個子區(qū)間xk ,xk+1 (k=0,1,2,，N-1)上應用梯形公式,1.復合梯形公式,5.2 復合求積公式,再求和得,1.復合梯形公式,其中xk=a+kh (k=0,1,2,N,1.復合梯形公式,復合梯形公式,在每個 上用梯形公式,Tn,2.復合Simp

7、son公式,如果在每個子區(qū)間上使用Simpson公式，就得到復合Simpson公式。將N等分后的每個子區(qū)間再對分一次，于是共有2N+1個節(jié)點， (k=0,1,2,2N)，在每個N等分的子區(qū)間x2k , x2k+2 (k=0,1,2,N-1)上應用Simpson公式,再求和得,2.復合Simpson公式,其中 (k=0,1,2,2N,2.復合Simpson公式,復合 Simpson 公式,Sn,注：為方便編程，可采用另一記法：令 n = 2n 為偶數， 這時 ，有,其中 (k=0,1,2,4N,3.復合Cotes公式,4、復合Simpson公式算法,1) 輸入a,b,N,2,3) 當 i=1,2

8、, ,N時 做循環(huán),x=x+h,s=s+4f(x,x=x+h,s=s+2f(x,4,例 5.2：利用數據表,計算積分,這個問題有明顯的答案,取n = 8用復合梯形公式,取n=4,用辛普森公式,二、復合求積公式的余項,梯形公式的余項為,對于復合梯形公式則有,若 在a,b上連續(xù)，則存在 ，使,1、復合梯形公式的余項,所以,由 在a,b上連續(xù)可知， 在a,b上有界，于是存在常數M2，使,1、復合梯形公式的余項,故,2、復合Simpson公式的余項,同理,由 在a,b上連續(xù)可知， 在a,b上有界，于是存在常數M4，使,故,3、復合Cotes公式的余項,由 在a,b上連續(xù)可知， 在a,b上有界，于是存在

9、常數M6，使,同理,故,當 時， ，于是從這些余項公式可以看出， 當時，復合求積公式TN ,SN , CN都收斂于定積分值I，而且收斂速度一個比一個快,二、復合求積公式的余項,例5.3 用復合梯形公式、復合Simpson公式、復合Cotes公式在取相同節(jié)點的情況下，計算定積分 的近似值。設把區(qū)間8等分,1) 用復合梯形公式計算，相當于取,2) 用復合Simpson 公式計算，相當于取N=4，把區(qū)間0,1N等分，然后在每個子區(qū)間上使用Simpson公式,3) 用復合Cotes 公式計算，相當于取N=2，把區(qū)間0,1N等分，然后在每個子區(qū)間上使用Cotes公式,的準確值為0.9460831,回顧：

10、復合求積公式的余項,1. 復合梯形公式的余項,2. 復合辛普森公式的余項,3. 復合柯特斯公式的余項,一、變步長梯形公式,1.當把區(qū)間a,b 等分時，步長,復合梯形公式為,2.當把區(qū)間a,b 等分時,步長,復合梯形公式為,5.3 變步長求積公式,改寫上式得,復合梯形公式的遞推公式,二、變步長梯形公式算法,1. 輸入a,b,精度eps,2. h=b-a,3. 做循環(huán),s=s+f(x,4. 則返回 3,5. 輸出T,1. 將a,bN等分后復合梯形公式的余項，h,2. 將a,b2N等分后復合梯形公式的余項，h,設 在a,b上變化不大，即有,于是,整理得,同理，由復合辛普森公式的余項可得,同理，由復合

11、柯特斯公式的余項可得,5.4 龍貝格求積公式,一、龍貝格求積公式 由變步長的求積公式可以看出，利用前后兩次計算結果進行適當的線性組合，可以構造出精度更高的計算公式，這就是龍貝格求積公式的基本思想,一、龍貝格求積公式,一、龍貝格求積公式,對于復合Simpson公式，設將區(qū)間a,b分成 等份，即步長為 ，節(jié)點為 (k=0,1,2,2k,一、龍貝格求積公式,即,同理，由復合Simpson公式的前后兩次計算結果作線性組合可以得到精度更高的復合Cotes公式,一、龍貝格求積公式,由復合Cotes公式的前后兩次計算結果作線性組合，必可得到精度更高的公式,龍貝格(Romberg)求積公式,龍貝格求積過程,T

12、1,T8,T4,T2,S1,R1,S2,C1,C2,S4,T16,S8,C4,R2,龍貝格求積過程：T數表,引入記號Tk, i，其中i 表示外推的次數，k表示區(qū)間a,b對分的次數，即把a,b分成2k等份,如果f(x)充分光滑，那么T數表每一列的元素及對角線元素均收斂到所求的積分值，即,i固定,并且后者的收斂速度比前者快,龍貝格求積過程：T數表,復合梯形公式的遞推公式,龍貝格求積過程：T數表,k=1,2,外推公式,龍貝格求積過程：T數表,k=0,1,；i=1,2,例5.3用龍貝格積分方法求 的近似值，精度要求為,解：令 , a=2,b=8,1)在2,8 上用梯形公式計算 k=0 h=b-a=6,

13、2)將區(qū)間二等分，此時 k=1 h=(b-a)/2=3,計算新增節(jié)點處的函數值,3)將區(qū)間四等分k=2 , h=(b-a)/4=3/2,計算新增節(jié)點處的函數值,例5.3用龍貝格積分方法求 的近似值，精度要求為,4)將區(qū)間八等分k=3 , h=(b-a)/8=3/4,計算新增節(jié)點處的函數值,例5.4用龍貝格積分方法求 的近似值，精度要求為,達到了精度要求，故取T0,3 作為積分的近似值，即,例5.3用龍貝格積分方法求 的近似值，精度要求為,2,3,4) 當 i=1,2,k時,5,則返回(3)；否則輸出T0,k，結束,龍貝格積分算法,1) 輸入積分上、下限a、b，精度要求eps,j=k-i,第5章 小結,第6次作業(yè),用龍貝格求積公式求定積分 的近似值， 要求寫出每一步計算的公式，精度要求10-5，每一步的計算結果都至少保留6位小數,作業(yè)：用龍貝格積分方法求 的近似值，精度要求為,解：令 , a=1,b=2,1)在1,2 上用梯形公式計算 k=0 h=b-a=1,2)將區(qū)間二等