三角函數(shù)的值域

1、如何求三角函數(shù)的值域濮陽外國語學(xué)校王艷敏電話：摘要：三角函數(shù)的最值是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，歸納這一內(nèi)容，有助于學(xué)生進(jìn)一步掌握已經(jīng)學(xué)過的三角知識(shí)，溝通三角、代數(shù)、幾何的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。關(guān)鍵詞： 函數(shù)最值三角函數(shù)三角函數(shù)最值問題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一, 也是高考命題的熱點(diǎn) , 由于三角函數(shù)和代數(shù)、 幾何等知識(shí)聯(lián)系緊密 , 故求解這類問題的方法靈活多變 , 能力要求高 , 具有一定的綜合性 . 本文介紹三角函數(shù)值域問題的一些常見類型和解題方法。一基本型：y asinx b 或ya cosx b解決策略：利用 sinx 和 cosx的有界性 , 即 sin x1和 cos x 1例 1.

2、 求 y 2sin x 1 值域。分析：利用 sinx1的有界性解：1sinx112sin x13函數(shù)y2sinx1的值域?yàn)?，3二、形如ya sin xb cos xc解決策略：引入輔助角轉(zhuǎn)化為基本型bya2b2 sin(x) c,其中 tan例2、求函數(shù)ysin x3 cos xa分析：引入輔助角，再利用正弦函數(shù)的有界性解： y2 sin( x）32，2xR sin( x)11，函數(shù)的值域?yàn)?三、形如 ya sin 2 x b sin x cos xcos2 x型的函數(shù)解決策略：通過降冪再轉(zhuǎn)化為yA sin(x)來求解例 3. 求 ysin 2 x2sin x cosx3cos2x 的值域

3、解： y12sin x cos x2cos 2 xsin 2xcos2x22 sin(2 x) 241sin(2 x4)1所以所求函數(shù)的值域?yàn)?2,22acosxb四、反比例型：形如ya sin xb或 yc sin xdccosxd解決策略：用反表示法，再利用有界性或數(shù)形結(jié)合。例 4、求函數(shù) y1sinx的值域2cos x方法一 解：由 y1sinx得2 yy cos x1sin x2cos xsin xy cosx12y1y2 sin( x )1 2y其中 tanysin( x)12 ysin( x)112 y1y 211y 2(1 2y)21 y23y24 y 00 y43方法二 解：此

4、函數(shù)看做過定點(diǎn)A（2，1）和動(dòng)點(diǎn) B（ cosx,sinx）的直線的斜率。如圖所示yB因?yàn)辄c(diǎn) B的軌跡是單位圓A(2,1)當(dāng)直線和圓相切時(shí)斜率取最值oxB設(shè)直線方程為 y1k ( x2)即 kxy 12k0由于直線與圓相切12 k1解得 k=0 或 k= 4k 213所以函數(shù) y1sin x的值域?yàn)?,42cos x3五、二次型，形如ya sin2 xb sin xc解決策略：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在有限閉區(qū)間上的值域問題例 5、求函數(shù) y2sinx cos 2 x 的值域1sin x分析：切勿忽略了函數(shù)的定義域中，要求分母不為零解： y2sin x(1sin 2x) 且sin x 1y 2(sinx

5、1)211 sin x221 sinx 14y 1所以函數(shù)的值域?yàn)?,122六、形如 y sin xa型的函數(shù)sin x解決策略：此類問題一般聯(lián)想基本不等式，若不能用基本不等式，則可以利用函數(shù)的單調(diào)性加以解決例 6、求函數(shù) y2sin xcos2 x 的值域1sin x分析：化同名三角函數(shù)式sin2 xsin x11sin x2令 t1 sin x解： ysin x11sin x則0 t 2y t2由于 yt2t2 時(shí)是增函數(shù)t在 0t所以函數(shù)的值域?yàn)?1七、解析式中同時(shí)出現(xiàn)了sin xcos x 和 sin x cos x解決策略：借助換元法，轉(zhuǎn)化為二次型例 7.求函數(shù) y sin x cos xsin xcos x的值域分析：借助換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域解：設(shè) t sin xcos xt2,t 212 則 sin x cos x2原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y tt2112t11(t22t221) 12t2, 21y12所以函數(shù)的值域?yàn)?21,22總之三角函數(shù)求值域問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想1. 通 過