用杠桿原理快速求解線段比

1、用杠桿平衡原理快速求解線段比杠桿平衡原理： 動力X動力臂=阻力X阻力臂，合力 =兩分力之和. 如圖(1)1 , 2, 3分別是支點不同的平衡的杠桿，由杠桿平衡條件可知：Fa BC） AC如圖C為支點,F AC =F BC (即A(2)如圖2,A為支點，ACc（即竺ACFcFb+f ；A B(3)如圖3,B為支點,F AB = FACBC(即 AB =CBF二)Fa,f = f +f ；CA B支點FcFc支點從以上結(jié)論可以看出，平衡杠桿總共涉及五個量：兩個力臂（作用點到支點的距離，可 看作線段的長）和三個作用力（Fa, Fb , Fc ）,這五個量滿足兩個關(guān)系式和 .在實際應(yīng)用 時，須體會以下

2、幾點，靈活地運(yùn)用兩個公式來解題：（1）三個作用力Fa, Fb, Fc在題目本身中是不存在的，是我們?yōu)榱私忸}的需要，根據(jù) 具體問題假設(shè)出來的.在實際生活中作用力是有方向的，但這里我們不管力的方向，我們就記 住“中間力等于兩端力之和”即可；力臂的長（即線段的長）可以是具體的數(shù)值，也可以只 是個比值；（2）已知兩個作用力，可求第三個作用力，還可求兩力臂之比（即線段之比）的大小，由Fa =BC，可求CFb AC圖1中，已知F、FA，可由F = F +F求出FBCAB.比如在BC的值A(chǔ)C（注意，我們只能求出（3）已知力臂之比（即線段之比）BC與AC的比值，而求不出 BC與AC的具體長度）；，我們可以先假

3、設(shè)其中一個作用力是多少,再求另個作用力的大小，進(jìn)一步還可求出合力的大小.比如在圖1中，已知BC=3，AC可得邑3,Fb則我們可設(shè)Fa =6，于是Fb=2，進(jìn)一步由Fc = Fa+Fb可求出（4）利用杠桿平衡原理求線段比值問題適用的幾何基本圖形（模型）如圖4:下面我將通過具體的例子來說明如何利用杠桿平衡原理快速方便 地解決幾何圖形中求同一直線上幾條線段之比值的問題.圖4Fa=7，貝y點E、點B的作用力Fe、Fb各為多少？（參考答案:若B為支點,貝U fa ab = fe ebAB由 AE:BE=5:7,得 2_EB12Fa 7=一,故一=衛(wèi)設(shè)F = 7 , A7 Fe 12=e12,FB= 5

4、.)2、你能求出CF:EF的值嗎？（參考答案:12例1、如圖5,在 ABC中，D是BC的中點，/ ACB的平分線交AB于E,交AD于F , 若 AE:BE=5:7,求 AF:DF 的值.解：視AB為杠桿，E為支點，由AE:BE=5:7，我們可設(shè)點 A的作用力Fa=7，則點B作 用力Fb=5 （滿足5X 7 = 7 X 5，點E的作用力Fe=5+7=12，其實這里不用求Fe的值）;再視 BC為杠桿，D為支點，由BD:CD=1:1，由點B的作用力Fb=5,則點C的作用力Fc也等于5 （滿足5x1 =5x1）,點D的作用力Fd=5+5=10.因為點A的作用力Fa=7,點D的作用力Fp 可得 AF:D

5、F=10:7.Fa解題思路小結(jié)：先選共線的三點作為一個杠桿，并確定其中一個點作為支點，然后根據(jù)題 目已知的線段比，假設(shè)出其中一個點的作用力的大小，在此基礎(chǔ)上求出另外兩點的作用力的大 ?。辉俅_定第二個杠桿，由已知的線段比及一個點的作用力的大小，求出另外兩個點的作用力 的大?。蛔詈笤诘谌齻€杠桿上根據(jù)兩點作用力的大小來求出所求兩線段的比值.（溫馨提示:兩線段的比值就是杠桿兩力臂的比值；三點作用力的大小是根據(jù)“題目所給線段比”假設(shè) 出來的（為了計算的方便，最好避免分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)）：支點可以是中間的點也可以AB是線段兩端的點.比如杠桿AB中，若以A為支點，由Fb”AB =Fe ”AE , -AE可設(shè)Fb =

6、 5, Fe = 12，再由Fe = Fa+Fb得Fa = 7 .其余類同.)A的作用力反思：1、視AB為杠桿，B為支點，應(yīng)該怎樣假設(shè)作用力呢？若我們設(shè)點5P是AD的中點，連接 BP并延長交 AC例2、如圖 6, AD是 Rt ABC斜邊 BC上的高，于點 E,已知 AC:AB=k，貝U AE:EC=.思路點撥：圖中四條線段（BE、BC、AD、AC）可看作杠桿，要使用杠桿解題至少需知 AP 道兩個杠桿的力臂之比（即線段之比），但題中只直接給出杠桿 AD的力臂之比 一.=1PP ，條件AC:AB=k并不是某杠桿的兩力臂之比，因此要想辦法將其轉(zhuǎn)化為“某杠桿的”兩力臂BPAB11之比，由三角形相似的

7、性質(zhì)可得=（）2 = （ ）2 =，這樣就知道了杠桿 BC的力CPACkkBP 1臂之比=丄.已知兩個杠桿 AD和BC的力臂之比，可以先假設(shè)出某一個點的作用力的CP k2大小，再由力臂之比求出其它各點的作用力的大小,A、C兩點的作用力 Fa、Fc的大小求出來了，再由杠桿AC的平衡條件AECEFc就可求出AE與FaCE之比了 .解： AD是Rt ABC斜邊 BC上的高, BA2 = BD|BC ,CA2 = CD pB .BD = (B )2 =( 2 )2 丄AC k k圖6CD設(shè)B點作用力 FB=k2，貝U C點作用力Fc=1. D點作用力 FD=k2+1.AP又 = 1,DP點A與點D的作

8、用力大小相等，即Fa=Fd= k2+1.AEFc圖7CEF Ak2 +1例3、如圖7,點 D、E、F分別在 ABC的各邊上，且AE2 BDBE 33 CD=1，夕CFEG求的值.FG思路點撥：圖中有三條線段（AB、AC、BC）給出了力臂之比，但圖中并沒有出現(xiàn)適合 bf或CE構(gòu)造出基本圖，從而利用杠桿平衡原理求杠桿平衡原理的基本圖形，因此須連接解:連接bf交AD于H，抽出圖8作為基本圖（其它無關(guān)線段視而不見），視AC、BC為杠桿,由AL =3得fa2BD，所以可設(shè) F =2,則 F =3, F =5.又= 1 ,.F =F =3.CF2 FcCD F =6.DF =8. HBH Ff=5 .抽出

9、圖9,視bf、BA為杠桿，由AE =2 , BHFHFbBE 3 FHFaFf1015（這里轉(zhuǎn)化比的目的是為了找到恰當(dāng)FbFb的表示作用力的數(shù)值，以避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù)給運(yùn)算帶來麻煩）.可設(shè)Fb=6,則 Fa=9, Ff=10,.EG FF =F +F =15. E A BFGFe 153圖8&圖9）,排除其它點評：此題用了兩個解題技巧：通過輔助線構(gòu)造出基本圖形，因為只有符合基本圖形 特征的圖形才可以使用杠桿平衡原理；從復(fù)雜圖形中抽出基本圖（圖無關(guān)線段的干擾，這是解幾何題常用的策略.這種解法是不是很有意思？躍躍欲試了吧，那趕快做完下面兩題吧.1、如圖10, AD是 ABC的中線，E是AB上的一點，連接CE交AD于點F，若AF:DF=4:3，AE EF則+的值為（BE CF35A. 2 B. 42、如圖11,過點A的兩條直線將C.16157D. 5 ABC的中線CD分成三條線段的比為 CE: EF: FD = 431,則這兩條直線分 BC所成三條線段的比為 CG: GH: HB = _.（變式：如圖 11,在ABC中，G、H是BC邊上的三等分點，