高等數(shù)學(xué)思想方法

1、.高等數(shù)學(xué)思想方法第一章 函數(shù)與極限 主要的思想方法： (1)函數(shù)的思想 高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容是微積分，而函數(shù)是微積分的主要研究對象。我們在運(yùn)用微積分解決實(shí)際問題時(shí)，首先就要從實(shí)際問題中抽象出變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系，這是一個(gè)通過現(xiàn)象抽象出本質(zhì)特征的思維過程，體現(xiàn)的是科學(xué)的抽象是數(shù)學(xué)的一個(gè)思維方法和主要特征。 （2）極限的思想 極限的思想方法是微積分的基礎(chǔ)。極限是變量在無限變化過程中的變化趨勢，是一個(gè)確定的數(shù)值。把一些實(shí)際問題的確定結(jié)果視為一系列的無限近似數(shù)值的變化趨勢，即函數(shù)或者數(shù)列的極限，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 主要的思想方法： （1）微分的思想 微分表示自變量有微小

2、變化時(shí)函數(shù)的近似變化，一般地，求導(dǎo)的過程就稱為微分;導(dǎo)數(shù)則反映函數(shù)相對于自變量的瞬時(shí)變化率。從導(dǎo)數(shù)與微分的概念中可看出，在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的體現(xiàn)，而這也是微積分的一個(gè)基本思想。 （2）數(shù)形結(jié)合的思想 書本中在引入導(dǎo)數(shù)與微分概念時(shí)，也討論了它們的幾何意義，這顯然更好地幫助我們理解這兩個(gè)概念。通過幾何圖形來直觀地理解概念以及定理的證明等等內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)中常用的方法，這是抽象思維與現(xiàn)象思維有機(jī)結(jié)合的典型體現(xiàn)。 （3）極限的思想 不難發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)概念的引入與定義深刻地體現(xiàn)了極限的思想。 （4）邏輯思維方法 在本章中，歸納法（從特殊到一般），分類（整合）法等邏輯思維方法都得到了充分的體

3、現(xiàn)，理解與掌握此類思維方法有助于良好的理性思維的形成。第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 主要的思想方法： 導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是一種刻畫函數(shù)在某一點(diǎn)處變化率的數(shù)學(xué)模型，它實(shí)質(zhì)上反映了函數(shù)在該點(diǎn)處的局部變化性態(tài)；而中值定理則是聯(lián)系函數(shù)局部性質(zhì)與整體性質(zhì)的“橋梁”，利用中值定理我們就能夠從函數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)，具體表現(xiàn)為在理論和實(shí)際問題中可利用中值定理把握函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)在該區(qū)間整體性質(zhì)的關(guān)系。 導(dǎo)數(shù)是一種工具，而中值定理（微分基本定理）則是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，它更加深刻地揭示了可導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)。一方面，在中值定理及其推導(dǎo)過程中，不僅用到了演繹，分析，分類等數(shù)理邏輯方法(鍛煉提升邏輯思維

4、能力)，而且包含了一些具體的數(shù)學(xué)方法，如輔助函數(shù)的構(gòu)造（湊導(dǎo)數(shù)法，幾何直觀解題法，常數(shù)替代法，倒推法，乘積因子法），這就要求我們要培養(yǎng)直覺思維，發(fā)散思維等創(chuàng)新思維；另一方面，導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用廣泛，這要求我們要有應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。第四章 不定積分 主要的思想方法： 積分法是微分法的逆運(yùn)算，即已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求原函數(shù)問題(由一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求這個(gè)函數(shù))。 不定積分的積分法: (1)直接積分法：直接或?qū)⒈环e函數(shù)恒等變形后利用基本積分公式和不定積分的性質(zhì)求積分； (2)換元積分法:1.第一類換元法（湊微分法）；2.第二類換元法（主要有三角代換，根代換，倒代換）； （3）分部積分法； （4）幾種特

5、殊類型函數(shù)的積分：有理函數(shù)的積分，三角函數(shù)有理式的積分，簡單無理函數(shù)的積分； （5）其它常見的積分方法：拆項(xiàng)法，加減項(xiàng)法，同乘以(或除以)一因式法，降次法，先湊微分后化為同名函數(shù)法等。第五章 定積分 主要的思想方法: 定積分的幾何意義是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b的圖形與x軸所界定區(qū)域的面積。定積分完整地體現(xiàn)了積分思想一種認(rèn)識問題，分析問題，解決問題的思想方法，定積分的概念借助極限工具，以一種結(jié)構(gòu)式的形式嚴(yán)格定義，理解掌握這種通過“分割”，“近似”。“求和”，“取極限”的數(shù)學(xué)思想對后面重積分，曲線積分與曲面積分的學(xué)習(xí)有重要作用。定積分與微分學(xué)不僅是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是研究科學(xué)技術(shù)問題的數(shù)學(xué)工具

6、。 “分割”，“近似”，“求和”，“取極限”所反映出來的積分思想是微積分的核心思想。第六章 定積分的應(yīng)用 主要的思想方法： 定積分的應(yīng)用實(shí)質(zhì)上是運(yùn)用定積分理論來分析與解決一些幾何與物理學(xué)中的問題。 定積分解決實(shí)際問題的方法: (1)根據(jù)定積分的定義，利用分割，近似替代，求和，取極限這四個(gè)步驟來推導(dǎo)出所求量的積分表達(dá)式； （2）“元素法”：將實(shí)際問題（幾何，物理）轉(zhuǎn)化為定積分，如計(jì)算平面區(qū)域的面積，平面曲線的弧長，用截面面積計(jì)算體積，計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積，計(jì)算變力做功等。 在本章的學(xué)習(xí)中可以增強(qiáng)我們的應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識并且有助于我們提高我們應(yīng)用定積分解決實(shí)際問題的能力。第七章 空間解析幾何與向量代數(shù) 主

7、要的思想方法： 空間解析幾何借助于空間坐標(biāo)，建立空間的曲面曲線方程，利用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)；向量代數(shù)在高等數(shù)學(xué)中為空間解析幾何服務(wù)，它實(shí)質(zhì)是作為一種研究空間圖形性質(zhì)的重要工具?？臻g解析幾何與向量代數(shù)是學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)這部分知識的主要目的是為研究多元函數(shù)微積分理論提供一個(gè)直觀的空間幾何圖形。 借助向量研究空間圖形的性質(zhì)，建立空間圖形的方程，這是本章中體現(xiàn)的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，我們要樹立應(yīng)用向量這一重要的數(shù)學(xué)工具研究與解決問題的意識；此外本章中最基本的數(shù)學(xué)思想是“數(shù)形結(jié)合”的思想。第八章 多元函數(shù)微分學(xué) 主要的思想方法： 多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)理論的推廣與發(fā)展，因

8、此運(yùn)用類比的思想方法來學(xué)習(xí)這一章內(nèi)容會(huì)起到事半功倍的作用。我們要培養(yǎng)類比思想這一創(chuàng)新的思維。第九章 重積分 主要的思想方法： 本章中著重討論的二重積分與三重積分的理論是多元函數(shù)積分學(xué)的重要內(nèi)容。重積分與定積分一樣，都是某種特殊形式和的極限，基本思想是“分割，近似，求和，取極限”，定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分區(qū)域是一個(gè)確定的區(qū)間，而二，三重積分的被積函數(shù)是二，三元函數(shù)，積分區(qū)域是一個(gè)平面有界閉區(qū)域和一個(gè)空間有界閉區(qū)域，因此重積分是一元函數(shù)定積分的推廣與發(fā)展。 重積分的計(jì)算方法中體現(xiàn)的基本思想是：將重積分化為累次積分，而化為累次積分的關(guān)鍵是由被積函數(shù)的積分區(qū)域的特性來確定定積分的次序和積分限。

9、第十章 曲線積分與曲面積分 主要的思想方法： 曲線積分與曲面積分是多元函數(shù)積分學(xué)的重要組成部分，對弧長的曲線積分和對面積的曲面積分是定積分和二重積分的直接推廣，兩者又均有物理學(xué)背景，因此它們在解決幾何與物理學(xué)的實(shí)際應(yīng)用問題中有重要作用。在計(jì)算上，將平面或空間曲線積分化為定積分的計(jì)算，將空間曲面積分化為投影區(qū)域上的二重積分的計(jì)算；在理論上，建立了平面閉曲線上對坐標(biāo)的曲線積分與該曲線圍成的閉區(qū)域上的二重積分的關(guān)系，建立了閉曲面上對坐標(biāo)的曲面積分與該閉曲面圍成的空間閉區(qū)域上的二重積分的關(guān)系。這些就幫助我們更加深刻地掌握高等數(shù)學(xué)的思想方法。 格林公式的思想方法：格林公式實(shí)現(xiàn)了閉區(qū)域上的二重積分與區(qū)域的

10、邊界曲線上的曲線積分的相互轉(zhuǎn)化，它可視作是定積分中的牛頓-萊布尼茨公式的一個(gè)推廣。 高斯公式的思想方法：高斯公式描述了在空間立體上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系，它可視作是牛頓-萊布尼茨公式和格林公式的推廣，同時(shí)它還是計(jì)算曲面積分的一個(gè)重要手段。注意在曲面不封閉的情況下，應(yīng)先添補(bǔ)曲面構(gòu)成封閉曲面，再利用高斯公式，這是計(jì)算曲面積分的常用方法。第十一章 無窮級數(shù) 主要的思想方法： 無窮級數(shù)是一種研究與表示函數(shù)及數(shù)值計(jì)算的專門工具與重要方法，是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。 在本章中，收斂與發(fā)散及其重要理論是建立在極限的基礎(chǔ)之上的，函數(shù)展開成冪級數(shù)的主要依據(jù)是微分學(xué)中的泰勒定理，冪級數(shù)的

11、運(yùn)算中要用到求導(dǎo)數(shù)與定積分的計(jì)算，由此可見，無窮級數(shù)與微積分的其它內(nèi)容之間有非常緊密的聯(lián)系。第十二章 常微分方程 主要的思想方法： 常微分方程是指含有一元未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分的方程，它是研究函數(shù)的重要工具。 建立常微分方程要用到導(dǎo)數(shù)的概念，而解常微分方程則要用到積分法，因此常微分方程是在微積分基礎(chǔ)上的發(fā)展與應(yīng)用。 每種類型的常微分方程都有廣泛的實(shí)際背景，因此我們要有應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解實(shí)際問題中的微分方程，在求解前需要分析與明確常微分方程的類型，并在掌握各種微分方程的相應(yīng)的解法的基礎(chǔ)上求解答案，同時(shí)掌握變量替換法，常數(shù)變易法，待定系數(shù)法等具體的數(shù)學(xué)方法對求解微分方程有重要的

12、作用。七大基本數(shù)學(xué)思想方法 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以簡要地分為三個(gè)層次（或稱境界）：第一層次，深刻和熟練地掌握基礎(chǔ)知識和基本概念及其本質(zhì)并且初步擁有運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識，明確各類基礎(chǔ)題型的解題方法與步驟，在不斷的練習(xí)中鍛煉與加強(qiáng)自己的準(zhǔn)確的抽象運(yùn)算能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γ坏诙哟?，在進(jìn)一步加深對數(shù)學(xué)思想方法的理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)行專題性質(zhì)的知識總結(jié)從中發(fā)現(xiàn)各部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容內(nèi)在的緊密聯(lián)系并逐漸做到掌握與運(yùn)用，與此同時(shí)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的意識與應(yīng)用能力，能夠發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)模型并憑此解決聯(lián)系生產(chǎn)生活實(shí)際的應(yīng)用問題；第三層次，深刻地理解與把握各類數(shù)學(xué)思想方法，對某一具體問題有更加深層的研究（譬如求極限的方法的歸納

13、總結(jié)，涉及絕對值的問題，高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用微積分證明不等式的探討等等），在面對新情境新背景下的理論或?qū)嶋H問題時(shí)，既能快速明確問題中的知識載體，也能在數(shù)學(xué)解題能力得到提升與強(qiáng)化的基礎(chǔ)上，能夠綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)思想方法，分析與解決具有綜合性的新數(shù)學(xué)問題（平時(shí)就需要加強(qiáng)這一方面的能力）或更高知識層次的數(shù)學(xué)問題（為此可略覽碩士階段數(shù)學(xué)知識做個(gè)大概的了解）。以此提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)（想象力，創(chuàng)新思維，抽象性，靈活性，深刻性）。 基本概念與基礎(chǔ)知識是“載體”，解題方法是“手段”，數(shù)學(xué)思想才是“深化與核心”，是分析與解決問題的“靈魂”，深刻理解與熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)思想有助于我們鍛煉與形成高層次的數(shù)學(xué)思維，高水平的數(shù)學(xué)

14、素質(zhì)。 數(shù)學(xué)思想是指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識，而數(shù)學(xué)方法則是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，兩者本質(zhì)相同，因此通?；旆Q為“數(shù)學(xué)思想方法”。下面是七大基本的數(shù)學(xué)思想方法（前四個(gè)為常用的思想方法）：一.函數(shù)與方程思想 1.函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次的抽象，概括與提煉，它要求我們要用函數(shù)的概念與性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題和解決問題；在實(shí)際問題中，函數(shù)思想通過提出該問題中的數(shù)學(xué)特征，建立與構(gòu)造函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型（方程，不等式或方程與不等式的混合組）并利用函數(shù)的性質(zhì)，最后通過求解函數(shù)解析式來解決問題。 2.方程思想：實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題代數(shù)問題方程問題；方程思想是解決各類計(jì)算問題的基本思想，也是運(yùn)算能力的

15、基礎(chǔ)。二.數(shù)形結(jié)合思想 1.數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系與空間形式，即數(shù)與形兩個(gè)方面，在高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于空間解析幾何的內(nèi)容就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。 2.數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)：將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形有機(jī)結(jié)合；關(guān)鍵在于代數(shù)問題與幾何圖形之間的轉(zhuǎn)化，而代數(shù)問題幾何化（數(shù)到形的轉(zhuǎn)化）相對簡便，幾何問題代數(shù)化則需要嚴(yán)密的推理論證，它考察我們的邏輯推理能力的高低。 3.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析與解決問題的三點(diǎn)注意：掌握相關(guān)概念與運(yùn)算的幾何意義及幾何圖形(曲線，曲面)的代數(shù)特征，對具體題目而言，要分析條件與結(jié)論的幾何意義和代數(shù)意義；恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，完成數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；正確確定

16、參數(shù)的取值范圍。三.分類討論思想 1.分類是自然科學(xué)研究中的一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零，積零為整的思想與歸類整理的方法。 2.分類討論分為三種情形:問題涉及的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的，如絕對值問題，此為概念型分類討論題型；問題所涉及的數(shù)學(xué)定理，公式與運(yùn)算性質(zhì)，法則有范圍或有條件限制抑或是分類給出的，此為性質(zhì)型分類討論題型；問題中含字母參數(shù)，這需要根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論，此為含參型分類討論題型。 3.進(jìn)行科學(xué)劃分（不漏不重）是解決問題的手段，分類研究才是根本目的。 4.解決分類討論問題的基本方法與步驟為：首先確定討論對象及所要討論對象的全

17、體的范圍；其次具體問題具體分析，選取適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，合理分類；對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行，獲得階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納總結(jié)，綜合得出結(jié)論。四.化歸與轉(zhuǎn)化思想 1.化歸與轉(zhuǎn)化的目的：將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決的新背景下的陌生問題轉(zhuǎn)化為已解決的熟悉問題。 2.此數(shù)學(xué)思想靈活度高，具有多樣性，無統(tǒng)一模式，我們要用動(dòng)態(tài)思維來尋找有利于解決問題的變換（轉(zhuǎn)化）途徑與方法。 3.常用的變換方法：一般與特殊的轉(zhuǎn)化，繁與簡的轉(zhuǎn)化，靈活巧妙地構(gòu)造轉(zhuǎn)化，命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化。 4.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法：它可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與數(shù)，形與形，數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)換；在分析與解決實(shí)際問題的過程中，實(shí)現(xiàn)普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯；函數(shù)，方程，不等式之間的恒等變形。消去法，換元法，數(shù)形結(jié)合法，求值求范圍問題都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。五.特殊與一般思想 1.特殊到一般的本質(zhì)：通過對個(gè)例的認(rèn)識與研究，形成對事物本質(zhì)的認(rèn)知；這是一個(gè)由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)，由局部到整體，由實(shí)踐到理論的過程。