超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布

1、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、通過實(shí)例，理解超幾何分布及其特點(diǎn)，掌握超幾何分布列及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用。2、理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(即n重伯努利試驗(yàn))及其意義，理解二項(xiàng)分布并能解決一些簡單的實(shí)際問題。 3、借助直觀圖，了解是正態(tài)分布曲線與正態(tài)分布，認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線表示的意義。4、會查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，會求滿足正態(tài)分布的隨機(jī)變量x在某一范圍內(nèi)的概率?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：正確理解超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布的意義。難點(diǎn)：正確進(jìn)行超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布有關(guān)概率的計算?！局R要點(diǎn)】1、超幾何分布：一般地，若一個隨機(jī)變量x的分布列為：P(xr)其中r0，1，2

2、，3， ，min(n，M)，則稱x服從超幾何分布。記作xH(n，M，N)，并將P(xr)，記為H(r，n，M，N)。如：在一批數(shù)量為N件的產(chǎn)品中共有M件不合格品，從中隨機(jī)取出的n件產(chǎn)品中，不合格品數(shù)x的概率分布列如表一所示：(表一)其中min(n，M)，滿足超幾何分布。2、伯努利試驗(yàn)(n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))，在 n 次相互獨(dú)立試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種對立的結(jié)果A與出現(xiàn)，P(A)p(0，1)，這樣的試驗(yàn)稱為 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也稱為伯努利試驗(yàn)。 P()1pq，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率(0kn)為P(k)(k0，1，2，3，n)，它恰好是(qp)n的二項(xiàng)展開式中的第k1

3、項(xiàng)。3、二項(xiàng)分布：若隨機(jī)變量x的分布列為p(xk)，其中0p1，pq1，k0，1，2，n，則稱x服從參數(shù)為n、p的二項(xiàng)分布，記作xB(n，p)。如：n次射擊中，擊中目標(biāo)k次的試驗(yàn)或投擲骰子n次，出現(xiàn)k次數(shù)字5的試驗(yàn)等均滿足二項(xiàng)分布。3、正態(tài)分布曲線。(1)概率密度曲線：當(dāng)數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那么頻率直方圖的頂邊無限縮小乃至形成一條光滑的曲線，則稱此曲線為概率密度曲線。 (2)正態(tài)密度曲線：概率密度曲線對應(yīng)表達(dá)式為P(x)(xR)的曲線稱之為正態(tài)密度曲線。正態(tài)密度曲線圖象特征： 當(dāng)x時曲線上升；當(dāng)x時曲線下降；當(dāng)曲線向左右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線。正態(tài)曲線關(guān)于直線x對稱。越大，正態(tài)

4、曲線越扁平；越小，正態(tài)曲線越尖陡。在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1。4、正態(tài)分布：若x是一個隨機(jī)變量，對任意區(qū)間，P恰好是正態(tài)密度曲線下方和x軸上上方所圍成的圖形的面積，我們就稱隨機(jī)變量x服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，簡記為xN(，2)。 在現(xiàn)實(shí)世界中很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布。如：反復(fù)測量某一個物理量，其測量誤差x通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布；某一地區(qū)同性別同年齡組兒童的體重W也近似地服從正態(tài)分布。若xN(，2)，則隨機(jī)變量x在的附近取值的概率很大，在離很遠(yuǎn)處取值的概率很少。如圖一所示：隨機(jī)變量x取值落在區(qū)間(， )上的概率約為68.3%，落在區(qū)間( 2，2)上的概率約為95.4%，落在區(qū)間(

5、3，3)上的概率約為99.7%。其中，實(shí)際上就是隨機(jī)變量 x 的均值，2為隨機(jī)變量x的方差，它們分別反映x取值的平均大小和穩(wěn)定程度。 5、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：正態(tài)分布 N(0，1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時，P(x)(xR)，通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以確定服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的有關(guān)概率。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，在多種微小因素影響下，如果沒有一種影響占主導(dǎo)地位，則這樣的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，特別是在獨(dú)立地大數(shù)量重復(fù)試驗(yàn)時，就平均而言，任何一個隨機(jī)變量的分布都將趨近于正態(tài)分布，這就是中心極限定理，中心極限定理告訴我們在平均重復(fù)觀察多次后，我們可以利用正態(tài)分布對隨機(jī)事件進(jìn)行分析和預(yù)報。可以證明，對任一正態(tài)分布xN(

6、，2)來說，都可以通過z轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布zN(0，1)。6、利用Excel進(jìn)行有關(guān)概率計算。(1)超幾何分布函數(shù)計算：按“插入/函數(shù)/統(tǒng)計”選擇超幾何分布函數(shù)“HYPGEOMDIST”，然后依次輸入r、n、M、N的值，或直接在單元格內(nèi)輸入“HYPGEOMDIST(4；5，10，30)”即可得到后邊例 1中H(4；5，10，30)的值，約為0.029472443。(2)二項(xiàng)分布函數(shù)計算：選擇“插入/函數(shù)/統(tǒng)計”，選擇二項(xiàng)分布函數(shù)“BINOMDIST”，然后依提示輸入相應(yīng)的參數(shù)k、n、p的值，或在單元格內(nèi)直接輸入“BINOMDIST(80，10000，0.006，1)”即可得到后面例4中P(x8

7、0)的值，約為0.994。(3)正態(tài)分布函數(shù)計算：選擇“插入/函數(shù)/統(tǒng)計”，選擇正態(tài)分布函數(shù)“NORMDIST”，輸入相應(yīng)參數(shù)x、的值，或在單元格內(nèi)直接輸入“NORMDIST(184.5，184，2.5，1)”，就可得到后邊例6中P(x184.5)的值，約為0.5793。7、二項(xiàng)分布的近似計算。 對于二項(xiàng)分布函數(shù)，當(dāng)n比較大，而p比較小(p0.1)，而乘積np大小“適中”時，可以利用近似公式P(xk)來計算?！镜湫屠}分析】例1：高三(1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項(xiàng)游戲：在一個口袋中裝有10個紅球，20個白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出5個球，摸到4個紅球一個白球就中一等獎，求中一等獎的

8、概率。解：以30個球?yàn)橐慌a(chǎn)品，其中紅球?yàn)椤安缓细衿贰?，隨機(jī)抽取5個球，x表示抽到的紅球數(shù)，則x服從超幾何分布H(5，10，30)，由超幾何分布公式可得：H(4；5，10，30)0.0295，所以獲一等獎的概率約為2.95%。例2：生產(chǎn)方提供50箱的產(chǎn)品中，有兩箱不是合格產(chǎn)品，采購方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測，若其中的不合格產(chǎn)品不超過一箱，則接收該批產(chǎn)品，問：該批產(chǎn)品被接收的概率是多少？ 解：用x表示5箱中的不合格品的箱數(shù)，則x服從超幾何分布H(5，2，50)，這批產(chǎn)品被接收的條件是5箱中有0或1箱不合格產(chǎn)品，故該產(chǎn)品被接收的概率為P(x1)即：P(x1)P(x0)

9、P(x1)0.992 答：該批產(chǎn)品被接收的概率約為99.2%。例3：求拋擲100次均勻硬幣，正好出現(xiàn)50次正面向上的概率。分析：將一枚均勻硬幣隨機(jī)拋擲100次，相當(dāng)于做了100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)有兩個可能結(jié)果，即出現(xiàn)正面(A)與出現(xiàn)反面()且P(A)P()0.5。解：設(shè)x為拋擲100次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，依題意隨機(jī)變量xB(100，0.5)，則P(x50)8%。答：隨機(jī)拋擲 100 次均勻硬幣，正好出現(xiàn) 50 次正面的概率約為8%。例4：某保險公司規(guī)定：投保者每人每年交付公司保險費(fèi)120元的人身意外保險，則投保者意外傷亡時，公司將賠償10000元，如果已知每人每年意外死亡的概率為0.00

10、6，若該公司吸收10000人參加保險，問該公司賠本及盈利額在400000元以上的概率分別有多大？ 解：設(shè)這10000人中意外死亡的人數(shù)為x，根據(jù)題意，xB(10000，0.006)，P(xk)，當(dāng)死亡人數(shù)為x人時，公司要賠償x萬元，此時，公司的利潤為(120x)萬元，由上述分布，公司賠本的概率為：P(120x0)1P(x120)110， 這說明，公司幾乎不會賠本，利潤不少于400000元的概率為：P(120x40)P(x80)0.994，即公司約有99.4%的概率可以賺到400000元以上。例5：若隨機(jī)變量zN(0，1)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求：(1)P(z1.52)；(2)P(z1.52)；(

11、3)P(0.57z2.3)；(4)P(z1.49)。解：(1)P(z1.52)0.9357。(2)P(z1.52)1P(z1.52)10.93570.0643。(3)P(0.57z2.3)P(z2.3)P(z0.57)0.98930.71570.2736。(4)P(z1.49)P(z1.49)1P(z1.49)10.93190.0681。例6：某批待出口的水果罐頭，每罐凈重x(g)服從正態(tài)分布N(184，2.52)，求：(1)隨機(jī)抽取一罐，其實(shí)際凈重超過184.5g的概率。(2)隨機(jī)抽取一罐，其實(shí)際凈重在179g與189g之間的概率。解：(1)P(x184.5)PP(z0.2)1P(z0.2)10.57930.4207。(2)P(179x189)PP(2z2)P(z2)P(z2)P(z2)P(z2)P(z2)1P(z2)2P(z2)120.977210.9544答：隨機(jī)抽取一罐，其實(shí)際凈重超過184.5g的概率是0.4207，在17