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1、圓內(nèi)極點與極線性質(zhì)簡證原題 如圖,過定點P作定O兩條動割線PAB與PCD,連結(jié)AD與BC,交于點Q求證:動點Q在一條定直線上問題1 如圖,過點P作O兩條割線PAB與PCD,連結(jié)AD與BC,交于點Q,直線PQ交O于點E、F,點M為弦EF的中點求證:注:要證明的結(jié)論等價于,即“內(nèi)分比外分比”,也即點P,E,Q,F(xiàn)構(gòu)成調(diào)和分割。證法一:在射線PF上取點M,使PQPMPAPBPCPDPEPF,則A,Q,M,B四點共圓,Q,C,D,M四點共圓因此 BMFBAD,DMFDCB,因此 BMFFMD,從而BODBMD,因此O,M,B,D四點共圓因此 OMDOBD,又 ,OBOD,因此 FMDOMD90即OMM
2、F(另法:將OMF視為圓周角,則其所對的弧由兩部分組成一個半圓)因此 點M為弦EF的中點證法二:在射線PF上取點M,使PQPMPAPBPCPD,延長DM交O于點N連結(jié)OM,BM,BN,EN由于 C,Q,M,D四點共圓,Q,A,B,M四點共圓因此 BQFNDCNBC因此NBEF因此NEBF,NEFBFE又NMEBCDBADBMF因此NMEBMF(AAS)因此EMFM,下略證法三:這題可以用“面積正弦法”解決,你可以隨便找三角形來構(gòu)成正弦比因此只要證明,這可以由下面的推導(dǎo)得到:(由BADBCD得PAQPCQ)從而得證證法四:設(shè)直線PQ為x軸,直線AB,CD,AD,BC方程為,;P(p,0),Q(q
3、,0),E(e,0),F(xiàn)(f,0). 則圓O可表為.其中,是待定參數(shù).令y = 0,得到(*) 兩根為e,f,注意到一次方程, 的解均為x = p,故 (為待定系數(shù)).同理 (為待定系數(shù)).(*)可變?yōu)?將x e,f帶入上式,消去待定系數(shù),得到故.上述證明本質(zhì)上證明了射影幾何中的Desargues對合定理,但是并沒有動用射影幾何的概念,僅僅用了高中平面解析幾何的二次曲線系和初中二次函數(shù)兩點式理論,可以說是初等的.推廣:如圖,點P在O外,PAB、PCD、PEF為O的三條割線,A、B、C、D、E、F為割線與O的交點,割線PEF交AD、BC于點S、T求證:證法一:分別過點A、C作割線PEF的平行線,
4、交O于點L、N,連結(jié)AN、CL,分別交PF于X、Y取EF的中點M,連結(jié)OM,則OMPFBLPXAA、B、X、T四點共圓PXPTPAPBPEPF同理,PYCLCNDC、D、Y、S四點共圓PYPSPCPDPEPF注:當點S與點T重合為點Q時,點X與點Y則重合為中點M證法二:設(shè)割線PEF為x軸,直線AB,CD,AD,BC方程為,;P(p,0),E(e,0),F(xiàn)(f,0) ,S(s,0) ,T(t,0).則圓O可表為.其中,是待定參數(shù).令y = 0,得到(*) 兩根為e,f,注意到一次方程, 的解均為x = p,故 (為待定系數(shù)).而一次方程, 的解分別為x = s與x = t故 (為待定系數(shù)).(*)可變?yōu)?將x e,f帶入上式,消去待定系數(shù),得到即,由此得,整理得.問題2如圖,過定點P的動直線交定O于點E、F,點M為弦EF的中點,求證:滿足PEPFPQPM的動點Q在一條定直線上證明:如圖,作直線OP,交O于點、,取點H使連結(jié)OM因為 ,所以 因此 Q,H,O,M四點共圓,從而 QHOP下面證明點H為定點設(shè)O的半徑為R,由得,整
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