輔助圓(解題精講

1、v1.0可編輯可修改第二十五講輔助圓在處理平面幾何中的許多問題時(shí)，常需要借助于圓的性質(zhì)，問題才得以解決而我們需要的圓并不存在( 有時(shí)題設(shè)中沒有涉及圓；有時(shí)雖然題設(shè)涉及圓，但是此圓并不是我們需要用的圓) ，這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實(shí)際存在的圓找出來，添補(bǔ)輔助圓的常見方法1 利用圓的定義添補(bǔ)輔助圓；2 作三角形的外接圓；3 運(yùn)用四點(diǎn)共圓的判定方法：(1) 若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓(2) 同底同側(cè)張等角的三角形，各頂點(diǎn)共圓(3) 若四邊形 ABCD的對(duì)角線相交于 P，且 PA PC=PB PD，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓(4) 若四邊形 ABCD的一組對(duì)邊 AB、 D

2、C的延長線相交于 P，且 PA PB PC PD，則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓【例題求解】一利用圓的定義添加輔助圓【例 1】如圖，若PA=PB， APB=2 ACB， AC與 PB交于點(diǎn) P，且 PB=4，PD=3，則 AD DC等于 ()A 6B 7C 12D 16思路點(diǎn)撥作出以 P 點(diǎn)為圓心、 PA長為半徑的圓，為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件注：到一個(gè)定點(diǎn)等距離的幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法變式練習(xí)：如圖，已知OA=OB=OC，且 AOB=k BOC，則 ACB是 BAC的()A 1 k 倍B是 k 倍C 2kD 12k二作三角形的外接圓【例 2】如圖，在 ABC中， AB

3、=AC，任意延長CA到 P，再延長 AB到 Q，使 AP=BQ，求證：1v1.0可編輯可修改 ABC的外心 O與 A， P， Q四點(diǎn)共圓思路點(diǎn)撥先作出 ABC的外心 O，連 PO、 OQ，將問題轉(zhuǎn)化為證明角相等變式練習(xí)：5如圖，在等腰梯形ABCD中， AB CD，AB=998， CD=1001，AD=1999，點(diǎn) P 在線段 AD上，滿足條件的BPC=90的點(diǎn) P的個(gè)數(shù)為 ()A 0B1C 2 1D不小于3 的整數(shù)(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)三四點(diǎn)共圓1若有一個(gè)四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓?！纠?3】如圖；已知H是 ABC三條高的交點(diǎn)，連結(jié)DF， DE， EF，求證： H是 DEF的內(nèi)

4、心變式練習(xí)：如圖，直線AB和 AC與 O分別相切于B、C，P 為圓上一點(diǎn)， P 到 AB、AC的距離分別為 4cm、 6cm，那么 P 到 BC的距離為(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)思路點(diǎn)撥連 DF，EF，尋找 PD、PE、PF 之間的關(guān)系，證明PDF PFE，而發(fā)現(xiàn) P、D、 B、F 與 P、 E、C、 F 分別共圓，突破角是解題的關(guān)鍵注：圓具有豐富的性質(zhì)：(1) 圓的對(duì)稱性；(2) 等圓或同圓中不同名稱量的轉(zhuǎn)化；(3) 與圓相關(guān)的角； (4) 圓中比例線段適當(dāng)發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓，就為圓的豐富性質(zhì)的運(yùn)用創(chuàng)造了條件，由于圖形的復(fù)雜性，有時(shí)在2v1.0可編輯可修改圖中并不需畫出圓，可謂“圖中無圓，心中有圓

5、”2同底同側(cè)有相等頂角的三角形，則各頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）【例 4】如圖，在 ABC中，高 BE、CF 相交于 H，且 BHC=135， G為 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且GB=GC， BGC 3 A，連結(jié) HG，求證： HG平分 BHF思路點(diǎn)撥經(jīng)計(jì)算可得A=45， ABE， BFH 皆為等腰直角三角形，只需證GHB=GHF=由 BGC=3 A=135 = GHC，得 B、G、H、C四點(diǎn)共圓，運(yùn)用圓中角轉(zhuǎn)化靈活的特點(diǎn)證明注：許多直線形問題借助輔助圓，常能降低問題的難度，使問題獲得簡解、巧解或新解變式練習(xí)：已知等腰三角形ABC， AB=A

6、C， AD垂直BC 于 D， DE 垂直AC 于 E， F 是 DE中點(diǎn)，求證：AF 垂直于BE。3 把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；【例 5】如圖， P 是 O外一點(diǎn)， PA和 PB 是 O的切線， A， B 為切點(diǎn)， P O 與 AB 交于點(diǎn) M，過 M任作 O的弦 CD求證： CPO= DPO4 把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓【例 6】如圖，P 是 O外一點(diǎn)，PA切 O于 A，PBC是 O的割線

7、，ADPO于 D求證： PBPC PDCD思 路 點(diǎn) 撥因所 證 比 例 線 段 不 是 對(duì) 應(yīng) 邊 ， 故 不 能 通 過 判 定 PBD 與 PCD 相 似 證明 PA2=PD PO=PB PC， B、C、 O、D 共圓，這樣連OB，就得多對(duì)相似三角形，以此達(dá)到3v1.0可編輯可修改 明的目的注：四點(diǎn)共 既是一 ，又是平面幾何中一個(gè)重要的 明方法，它和 明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位， 是因 ， 某四點(diǎn)共 ， 不但與 四點(diǎn)相 系的條件集中或 移，而且可直接運(yùn)用 的性 解 服 5 五點(diǎn)共 （ 7456）【例 7】如 ，已知在凸四 形ABCDE中， BAE=3，BC=CD=DE，且

8、 BCD=CDE=1802求 ： BAC= CAD=DAK，(全國初中數(shù)學(xué) ) 外 A 組1如 ， 正方形 ABCD的中心 O，面 1989cm2，P 正方形內(nèi)一點(diǎn)，且 OPB=45，PA：PB=5： 14， PB的 2如 ，在 ABC中，AB=AC=2，BC 上有 100 個(gè)不同的點(diǎn) P 、P ， P ， mii2iil2100APBPP C（i=1 ， 2， 100）， m1 m2m100 =3 ABC三 上的高分 AD、 BE、 CF，且其垂心H不與任一 點(diǎn)重合， 由點(diǎn)A、 B、C、 D、 E、 F、 H 中某四點(diǎn)可以確定的 共有()A 3 個(gè) B 4 個(gè) C 5 個(gè) D 6 個(gè)(200

9、0年太原市 )4v1.0可編輯可修改6如圖， AD、 BE是銳角三角形的兩條高，S= 18 ， S =2，則 COSC等于 ( ) ABC DECA 3B 1C 2D 33348如圖，已知 ABC中， AH是高， AT是角平分線，且TD AB， TE AC求證： (1) AHD= AHE； (2) BHCH(陜西省競賽題 )BDCE1 在凸四邊形ABCD的 BC邊上取兩點(diǎn)E,F ， E比 F 離 B 更近，如果 BAE=CDF EAF=FDE證A明： FAC= EDBCBDPC2 如圖在ABC中， AB=AC， D 是BC邊上任意一點(diǎn)C1 是C 點(diǎn)關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)，C1 B 與AD交與P

10、試問當(dāng)D在BC（除BC中點(diǎn)外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，ADAP的值有何變化請(qǐng)加以證明。3 等邊ABC中， D，E 分別是BC,CA邊上的點(diǎn)，且BD=CE=2CD.連接BE，CD交于P，證明：CP垂直 AD。4 如圖 ,NS 是 ? O的直徑，弦AB垂直 NS于 M， P 為弧 ANB上異于 N 的一點(diǎn)， PS 交 AB與 R，PM的延長線交? O與 Q，求證： RSMQNP5OARBv1.0可編輯可修改C組1如圖，已知點(diǎn) P 是 O外一點(diǎn)， PS、PT 是 O的兩條切線，過點(diǎn)P 作 O的割線 PAB，交O A、 B 兩點(diǎn)，與 ST交于點(diǎn) C求證：11(11 )PC2PAPB(國家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題 )2已知 BE,CF 是銳角ABC的兩條高，求證：ABE的平分線，ACF的平分線與線段EF的中垂線相交于一點(diǎn)。3 已知三角形ABC中，ABCACB， BD,CE是角平分線，求證：CEBD4ABC中， M為 AC的中點(diǎn)， BHAC于 H， AP,CQ垂直于B 的平分線，垂足為P,Q 求證：M,H,P,Q 四點(diǎn)共圓。6v1.0可編輯可修改參考答案例 1 B練習(xí) 1 D7v1.0可編輯可修改例 2練習(xí) 2 C例 3練習(xí) 3例 4練習(xí) 4例 58v1.0可編輯可修改例 6例 7課外練習(xí)A 組：B 組：129v1.0可編輯可修改34C組1210