輔助圓(解題精講

1、v1.0可編輯可修改第二十五講輔助圓在處理平面幾何中的許多問題時，常需要借助于圓的性質(zhì)，問題才得以解決而我們需要的圓并不存在( 有時題設(shè)中沒有涉及圓；有時雖然題設(shè)涉及圓，但是此圓并不是我們需要用的圓) ，這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實際存在的圓找出來，添補輔助圓的常見方法1 利用圓的定義添補輔助圓；2 作三角形的外接圓；3 運用四點共圓的判定方法：(1) 若一個四邊形的一組對角互補，則它的四個頂點共圓(2) 同底同側(cè)張等角的三角形，各頂點共圓(3) 若四邊形 ABCD的對角線相交于 P，且 PA PC=PB PD，則它的四個頂點共圓(4) 若四邊形 ABCD的一組對邊 AB、 D

2、C的延長線相交于 P，且 PA PB PC PD，則它的四個頂點共圓【例題求解】一利用圓的定義添加輔助圓【例 1】如圖，若PA=PB， APB=2 ACB， AC與 PB交于點 P，且 PB=4，PD=3，則 AD DC等于 ()A 6B 7C 12D 16思路點撥作出以 P 點為圓心、 PA長為半徑的圓，為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件注：到一個定點等距離的幾個點在同一個圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法變式練習(xí)：如圖，已知OA=OB=OC，且 AOB=k BOC，則 ACB是 BAC的()A 1 k 倍B是 k 倍C 2kD 12k二作三角形的外接圓【例 2】如圖，在 ABC中， AB

3、=AC，任意延長CA到 P，再延長 AB到 Q，使 AP=BQ，求證：1v1.0可編輯可修改 ABC的外心 O與 A， P， Q四點共圓思路點撥先作出 ABC的外心 O，連 PO、 OQ，將問題轉(zhuǎn)化為證明角相等變式練習(xí)：5如圖，在等腰梯形ABCD中， AB CD，AB=998， CD=1001，AD=1999，點 P 在線段 AD上，滿足條件的BPC=90的點 P的個數(shù)為 ()A 0B1C 2 1D不小于3 的整數(shù)(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)三四點共圓1若有一個四邊形對角互補，則四邊形的四個頂點四點共圓?！纠?3】如圖；已知H是 ABC三條高的交點，連結(jié)DF， DE， EF，求證： H是 DEF的內(nèi)

4、心變式練習(xí)：如圖，直線AB和 AC與 O分別相切于B、C，P 為圓上一點， P 到 AB、AC的距離分別為 4cm、 6cm，那么 P 到 BC的距離為(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)思路點撥連 DF，EF，尋找 PD、PE、PF 之間的關(guān)系，證明PDF PFE，而發(fā)現(xiàn) P、D、 B、F 與 P、 E、C、 F 分別共圓，突破角是解題的關(guān)鍵注：圓具有豐富的性質(zhì)：(1) 圓的對稱性；(2) 等圓或同圓中不同名稱量的轉(zhuǎn)化；(3) 與圓相關(guān)的角； (4) 圓中比例線段適當(dāng)發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓，就為圓的豐富性質(zhì)的運用創(chuàng)造了條件，由于圖形的復(fù)雜性，有時在2v1.0可編輯可修改圖中并不需畫出圓，可謂“圖中無圓，心中有圓

5、”2同底同側(cè)有相等頂角的三角形，則各頂點四點共圓（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）【例 4】如圖，在 ABC中，高 BE、CF 相交于 H，且 BHC=135， G為 ABC內(nèi)的一點，且GB=GC， BGC 3 A，連結(jié) HG，求證： HG平分 BHF思路點撥經(jīng)計算可得A=45， ABE， BFH 皆為等腰直角三角形，只需證GHB=GHF=由 BGC=3 A=135 = GHC，得 B、G、H、C四點共圓，運用圓中角轉(zhuǎn)化靈活的特點證明注：許多直線形問題借助輔助圓，常能降低問題的難度，使問題獲得簡解、巧解或新解變式練習(xí)：已知等腰三角形ABC， AB=A

6、C， AD垂直BC 于 D， DE 垂直AC 于 E， F 是 DE中點，求證：AF 垂直于BE。3 把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；【例 5】如圖， P 是 O外一點， PA和 PB 是 O的切線， A， B 為切點， P O 與 AB 交于點 M，過 M任作 O的弦 CD求證： CPO= DPO4 把被證共圓的四點兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓【例 6】如圖，P 是 O外一點，PA切 O于 A，PBC是 O的割線

7、，ADPO于 D求證： PBPC PDCD思 路 點 撥因所 證 比 例 線 段 不 是 對 應(yīng) 邊 ， 故 不 能 通 過 判 定 PBD 與 PCD 相 似 證明 PA2=PD PO=PB PC， B、C、 O、D 共圓，這樣連OB，就得多對相似三角形，以此達到3v1.0可編輯可修改 明的目的注：四點共 既是一 ，又是平面幾何中一個重要的 明方法，它和 明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位， 是因 ， 某四點共 ， 不但與 四點相 系的條件集中或 移，而且可直接運用 的性 解 服 5 五點共 （ 7456）【例 7】如 ，已知在凸四 形ABCDE中， BAE=3，BC=CD=DE，且

8、 BCD=CDE=1802求 ： BAC= CAD=DAK，(全國初中數(shù)學(xué) ) 外 A 組1如 ， 正方形 ABCD的中心 O，面 1989cm2，P 正方形內(nèi)一點，且 OPB=45，PA：PB=5： 14， PB的 2如 ，在 ABC中，AB=AC=2，BC 上有 100 個不同的點 P 、P ， P ， mii2iil2100APBPP C（i=1 ， 2， 100）， m1 m2m100 =3 ABC三 上的高分 AD、 BE、 CF，且其垂心H不與任一 點重合， 由點A、 B、C、 D、 E、 F、 H 中某四點可以確定的 共有()A 3 個 B 4 個 C 5 個 D 6 個(200

9、0年太原市 )4v1.0可編輯可修改6如圖， AD、 BE是銳角三角形的兩條高，S= 18 ， S =2，則 COSC等于 ( ) ABC DECA 3B 1C 2D 33348如圖，已知 ABC中， AH是高， AT是角平分線，且TD AB， TE AC求證： (1) AHD= AHE； (2) BHCH(陜西省競賽題 )BDCE1 在凸四邊形ABCD的 BC邊上取兩點E,F ， E比 F 離 B 更近，如果 BAE=CDF EAF=FDE證A明： FAC= EDBCBDPC2 如圖在ABC中， AB=AC， D 是BC邊上任意一點C1 是C 點關(guān)于直線AD的對稱點，C1 B 與AD交與P

10、試問當(dāng)D在BC（除BC中點外）上運動時，ADAP的值有何變化請加以證明。3 等邊ABC中， D，E 分別是BC,CA邊上的點，且BD=CE=2CD.連接BE，CD交于P，證明：CP垂直 AD。4 如圖 ,NS 是 ? O的直徑，弦AB垂直 NS于 M， P 為弧 ANB上異于 N 的一點， PS 交 AB與 R，PM的延長線交? O與 Q，求證： RSMQNP5OARBv1.0可編輯可修改C組1如圖，已知點 P 是 O外一點， PS、PT 是 O的兩條切線，過點P 作 O的割線 PAB，交O A、 B 兩點，與 ST交于點 C求證：11(11 )PC2PAPB(國家理科實驗班招生試題 )2已知 BE,CF 是銳角ABC的兩條高，求證：ABE的平分線，ACF的平分線與線段EF的中垂線相交于一點。3 已知三角形ABC中，ABCACB， BD,CE是角平分線，求證：CEBD4ABC中， M為 AC的中點， BHAC于 H， AP,CQ垂直于B 的平分線，垂足為P,Q 求證：M,H,P,Q 四點共圓。6v1.0可編輯可修改參考答案例 1 B練習(xí) 1 D7v1.0可編輯可修改例 2練習(xí) 2 C例 3練習(xí) 3例 4練習(xí) 4例 58v1.0可編輯可修改例 6例 7課外練習(xí)A 組：B 組：129v1.0可編輯可修改34C組1210