《一元一次方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識(shí)講解

1、一元一次方程全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識(shí)講解撰稿：孫景艷審稿：趙煒【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它們的區(qū)別和聯(lián)系；2會(huì)解一元一次方程，并理解每步變形的依據(jù)；3會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列方程解應(yīng)用題【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一元一次方程的概念1方程： 含有未知數(shù)的等式叫做方程2一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元） ，未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程要點(diǎn)詮釋：（1）一元一次方程變形后總可以化為 ax+b 0(a 0) 的形式，它是一元一 次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式（2）判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中

2、不含未知數(shù)3方程的解： 使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個(gè)方程的解4解方程： 求方程的解的過(guò)程叫做解方程要點(diǎn)二、等式的性質(zhì)與去括號(hào)法則1等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)1：等式兩邊加 ( 或減 ) 同一個(gè)數(shù) ( 或式子 ) ，結(jié)果仍相等等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0 的數(shù)，結(jié)果仍相等2合并法則：合并時(shí)，把系數(shù)相加( 減 ) 作為結(jié)果的系數(shù)，字母的指數(shù)不變3去括號(hào)法則：（ 1）括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同（ 2）括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反要點(diǎn)三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：( 1)去

3、分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)( 2)去括號(hào)：依 據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)( 3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊( 4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，把方程化為axb( a 0)的形式( 5) 系數(shù)化為 1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解xb( a 0) a( 6) 檢驗(yàn)： 把方程的解代入原方程， 若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解要點(diǎn)四、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型1. 行程問(wèn)題： 路程速度時(shí)間2. 和差倍分問(wèn)題： 增長(zhǎng)量原有量增長(zhǎng)率3

4、. 利潤(rùn)問(wèn)題： 商品利潤(rùn)商品售價(jià)商品進(jìn)價(jià)4. 工程問(wèn)題： 工作量工作效率工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和總量5. 銀行存貸款問(wèn)題： 本息和本金 +利息，利息本金利率期數(shù)6. 數(shù)字問(wèn)題： 多位數(shù)的表示方法：例如： abcd a 103b 102c 10 d .【典型例題】類型一、一元一次方程的相關(guān)概念1已知方程 ( 3m- 4) x2-( 5- 3m) x- 4m - 2m 是關(guān)于 x 的一元一次方程， 求 m 和 x 的值【思路點(diǎn)撥】 若一個(gè)整式方程經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)變形后，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是 1，系數(shù)不為 0，則這個(gè)方程是一元一次方程【答案與解析】解：因?yàn)榉匠?( 3m- 4) x2-(

5、 5- 3m) x- 4m - 2m 是關(guān)于 x 的一元一次方程，所以 3m- 40 且 5- 3m 0由 3m- 4 0 解得 m4，又 m4能使 5- 3m0，所以 m 的值是4 333將 m4代入原方程，則原方程變?yōu)? 3 4x8 ，解得 x83333所以 m48， x33【 總 結(jié) 升 華 】 解 答 這 類 問(wèn) 題 ， 一 定 要 嚴(yán) 格 按 照 一 元 一 次 方 程 的 定 義 方 程 ( 3m- 4) x2-( 5- 3m) x- 4m - 2m2 是關(guān)于 x 的一元一次方程， 就是說(shuō) x 的二次項(xiàng)系數(shù) 3m- 4 0，而 x 的一次項(xiàng)系數(shù) 5- 3m 0， m 的值必須同時(shí)符

6、合這兩個(gè)條件舉一反三：【高清課堂： 一元一次方程復(fù)習(xí) 393349等式和方程例3】【變式】下面方程變形中，錯(cuò)在哪里：(1) 方程 2x=2y 兩邊都減去 x+y，得 2x-(x+y)=2y-(x+y),即 x-y=-(x-y).方程 x-y=-(x-y)兩邊都除以 x-y,得 1=-1.（2） 37 x2x12x ，去分母，得 3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括號(hào)得： 9-21x=4x+2+2x.23【答案】（ 1）答：錯(cuò)在第二步，方程兩邊都除以x-y.（ 2）答：錯(cuò)在第一步，去分母時(shí)2x 項(xiàng)沒(méi)乘以公分母6.2.(3a1)xa(5 x3)如果 5( x+2 ) 2a+3 與35的解相同

7、，那么 a 的值是 _【答案】 711【解析】由 5( x+2 ) 2a+3，解得 x2a75由(3a1)xa(5 x 3)，解得 x9 a 355所以2a79 a ，解得 a75511【總結(jié)升華】 因?yàn)閮煞匠痰慕庀嗤?，可?a 看做已知數(shù)，分別求出它們的解，令其相等，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于 a 的一元一次方程舉一反三：【變式】已知 | x+1 | +( y+2x ) 2 0，則 xy_ 【答案】 1類型二、一元一次方程的解法4 6x2x13解方程：132【答案與解析】解：去分母，得：2( 4- 6x)- 6 3( 2x+1 ) 去括號(hào)，得：8- 12x- 66x+3 移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得：- 18x

8、11系數(shù)化為 1，得： x18【總結(jié)升華】 轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中一種常見(jiàn)的思想方法，它能將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將未知轉(zhuǎn)化為已知事實(shí)上解一元一次方程就是利用方程的同解原 理，將復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的方程直至求出它的解舉一反三：z 2 6 7 z 5 2z 2z 5【變式 1】解方程 z4364【答案】解：把方程兩邊含有分母的項(xiàng)化整為零，得z267z52z2z5z44433646移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：1 z1，系數(shù)化為1 得： z122【高清課堂：一元一次方程復(fù)習(xí)393349解方程例 1（ 2）】【變式 2】解方程：【答案】0.1x 0.050.2 x 0.05

9、5.0.20.504解：把方程可化為：x 0.5 2x 0.5 5，2504再去分母得：2x32解得： x164解方程32x - 1- 3( 2x- 1) +3 5【答案與解析】解：把 2x- 1 看做一個(gè)整體去括號(hào)，得：3( 2x- 1)- 9( 2x - 1)- 9 5合并同類項(xiàng)，得 - 6( 2x - 1) 14系數(shù)化為1 得： 2x 172，解得 x33【總結(jié)升華】 把題目中的 2x- 1 看作一個(gè)整體，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程本題也可以考慮換元法：設(shè) 2x- 1 a，則原方程化為 3 a-( 3a+3) 5類型三、特殊的一元一次方程的解法1解含字母系數(shù)的方程5. 解關(guān)于 x 的方程：1 m

10、( xn)1 ( x 2m)34【思路點(diǎn)撥】 這個(gè)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，未知數(shù) x 的系數(shù)和常數(shù)都是以字母形式出現(xiàn)的，所以方程的解的情況與x 的系數(shù)和常數(shù)的取值都有關(guān)系【答案與解析】解：原方程可化為：(4 m3) x 4mn6m 2m(2n 3)當(dāng) m3時(shí)，原方程有唯一解：x4mn6m ；44m3當(dāng) m3 , n3 時(shí)，原方程無(wú)數(shù)個(gè)解；423 3當(dāng) m, n時(shí)，原方程無(wú)解；4 2【總結(jié)升華】 解含字母系數(shù)的方程時(shí)，一般化為最簡(jiǎn)形式注意最后的解不能合并，只能分情況說(shuō)明2解含絕對(duì)值的方程axb ，再分類討論進(jìn)行求解，6.解方程 | x- 2| 3【答案與解析】解：當(dāng) x- 2 0 時(shí)，原方程可化為x

11、- 23，得 x 5當(dāng) x- 2 0 時(shí)，原方程可化為-( x- 2) 3，得x - 1所以 x 5 和 x - 1 都是方程 | x- 2| 3 的解【總結(jié)升華】 如圖所示，可以看出點(diǎn) - 1 與 5 到點(diǎn) 2 的距離均為 3，所以 | x- 2| 3 的意義為在數(shù)軸上到點(diǎn) 2 的距離等于 3 的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，即方程 | x- 2| 3 的解為 x - 1 和 x 5舉一反三：【變式 1】若關(guān)于 x 的方程 2x3m 0 無(wú)解， 3x4 n 0 只有一個(gè)解， 4x5k0有兩個(gè)解，則 m, n, k 的大小關(guān)系為：()A . m n kB. n k mC.k m n D. m k n【答案】 A

12、【變式 2】若 x9 是方程 1 x2m 的解，則 m_ ；又若當(dāng) n1 時(shí)，則方程1 x2n33的解是【答案】 1；9 或 3類型四、一元一次方程的應(yīng)用7李偉從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行30 千米，那么比火車開(kāi)車時(shí)間早到 15 分鐘；若每小時(shí)行18千米，則比火車開(kāi)車時(shí)間遲到15 分鐘，現(xiàn)在李偉打算在火車開(kāi)車前 10 分鐘到達(dá)火車站，求李偉此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)是多少?【思路點(diǎn)撥】 本題中的兩個(gè)不變量為：火車開(kāi)出的時(shí)間和李偉從家到火車站的路程不變【答案與解析】解：設(shè)李偉從家到火車站的路程為y 千米，則有：y15y1545306018，解得：y6024515由此得到李偉從家出發(fā)到火車站正點(diǎn)

13、開(kāi)車的時(shí)間為2301( 小時(shí) ) 60李偉打算在火車開(kāi)車前10 分鐘到達(dá)火車站時(shí)，設(shè)李偉騎摩托車的速度為x 千米 / 時(shí) , 則有：y45x227 ( 千米 / 時(shí) )1010116060答：李偉此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)是27 千米 / 時(shí)【總結(jié)升華】 在解決問(wèn)題時(shí)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)某種方法不能解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該及時(shí)變換思維角度，如本題直接設(shè)未知數(shù)較難時(shí)，應(yīng)迅速變換思維的角度，合理地設(shè)置間接未知數(shù)以尋求新的解決問(wèn)題的途徑和方法8. 黃岡某 地“杜鵑節(jié)”期間，某公司 70 名職工組團(tuán)前往參觀欣賞，旅游景點(diǎn)規(guī)定：門(mén)票每人 60 元，無(wú)優(yōu)惠；上山游玩可坐景點(diǎn)觀光車，觀光車有四座和十一座車，四座車每輛 60 元，十一座車每人10 元公司職工正好坐滿每輛車且總費(fèi)用剛好為4920 元時(shí)，問(wèn)公司租用的四座車和十一座車各多少輛?【答案與解析】解：設(shè)四座車租x 輛，十一座車租70 4x 輛，依題意得：117 06 06x07 04x1 04 9 2 01 111解得： x 1，704x611答：公司租