固體物理：4_3三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似

1、4-3三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似,主要內(nèi)容 1、模型與微擾計(jì)算 2、布里淵區(qū)與能帶,1、模型與微擾計(jì)算（1）薛定諤方程,用與一維情況相似的方法討論三維情況,一維： 三維,2）能量本征值和電子波函數(shù),近自由電子近似（非簡(jiǎn)并情況、三維）理論公式,能量本征值,零級(jí)近似,一級(jí)修正,二級(jí)修正,電子波函數(shù),一級(jí)修正,零級(jí)近似,微擾理論重要公式,零級(jí)近似解,一維波函數(shù)： 三維波函數(shù)： 能量,一級(jí)近似波函數(shù),一級(jí)近似波函數(shù),原胞,一級(jí)近似波函數(shù),若n1、n2、n3為整數(shù)，則三個(gè)括號(hào)中的求和值均等于1；但若n1、n2、n3中有一式不滿足整數(shù)條件，則幾何級(jí)數(shù)為零（與一維情況類(lèi)似,一級(jí)近似波函數(shù),n1、n

2、2、n3為整數(shù)的條件可以用 表示為,即只有當(dāng) 和 相差為一倒格子基矢 時(shí)，它們的微擾矩陣元才不為0。 這時(shí)可寫(xiě)為,原胞,對(duì)比一下倒格子空間的相關(guān)知識(shí)，可知Vn恰好是 展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù),一級(jí)近似波函數(shù),總結(jié)一下計(jì)算的結(jié)果,進(jìn)一步可得到,一級(jí)近似波函數(shù),波函數(shù)可寫(xiě)為自由粒子波函數(shù)乘上晶格周期性函數(shù),能量的一級(jí)和二級(jí)修正,回憶一維情況，當(dāng) k取值接近于 時(shí)，微擾計(jì)算導(dǎo)致發(fā)散的結(jié)果，采用簡(jiǎn)并微擾方法，可知本征值在這些k取值上發(fā)生突變，產(chǎn)生帶隙,能帶函數(shù) 是在布里淵區(qū)邊界及其附近發(fā)生突變,導(dǎo)致帶隙產(chǎn)生的條件,三維帶隙產(chǎn)生條件,三維情況帶隙產(chǎn)生條件,幾何意義：在 空間從原點(diǎn)出發(fā)所作的倒格矢 的垂直平

3、分面的方程，即在倒格矢垂直平分面上及其附近的 ，應(yīng)采用簡(jiǎn)并微擾理論。 在 空間從原點(diǎn)出發(fā)所作的倒格矢 的垂直平分面所圍成的封閉多面體，即前面所涉及布里淵區(qū)概念，可見(jiàn)能帶函數(shù) 是在布里淵區(qū)邊界及其附近處斷開(kāi)，發(fā)生突變。 晶格布里淵區(qū)概念的理解，對(duì)了解晶體的能帶結(jié)構(gòu)意義重大,三維情況近自由電子近似結(jié)論,有相互作用的各狀態(tài)之間零級(jí)能量差較大，符合非簡(jiǎn)并微擾條件,一般的 取值,在 中垂面及其附近的 取值,采用簡(jiǎn)并微擾理論，由于“能級(jí)間的排斥作用”而使 函數(shù)在 中垂面處斷開(kāi)，發(fā)生突變,2、布里淵區(qū)與能帶,定義：在倒格子空間中，以某一格點(diǎn)為原點(diǎn)，作所有倒格矢G的垂直平分面，這些平面將倒易空間分割為許多包圍

4、原點(diǎn)的多面體，其中離原點(diǎn)最近的多面體稱(chēng)為第一布里淵區(qū)，離原點(diǎn)次近的多面體與第一布里淵區(qū)的表面所圍成的區(qū)域稱(chēng)為第二布里淵區(qū)，同理類(lèi)推，可得第三、第四布里淵區(qū)等,2-1）布里淵區(qū),二維正方格子布里淵區(qū)圖示（演示,第二布里淵區(qū),例二：面心立方晶格第一布里淵區(qū),面心立方晶格的倒格子是體心立方結(jié)構(gòu)，以任一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，共有八個(gè)最近鄰，即八個(gè)中垂面，圍成一個(gè)八面體，但其六個(gè)頂角卻被對(duì)應(yīng)于六個(gè)次近鄰倒格點(diǎn)的中垂面所截。，故其第一布里淵區(qū)是十四面體,例三：體心立方晶格第一布里淵區(qū),倒格子：面心立方結(jié)構(gòu)； 倒格子的最近鄰數(shù)：12； 方法：以任一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，考慮到離原點(diǎn)最近的倒格點(diǎn)共有12個(gè)，即作出相應(yīng)的12個(gè)

5、中垂面，圍成一個(gè)12面體，因次近鄰倒格點(diǎn)的中垂面并不切割它，所以其第一布里淵區(qū)的形狀就是12面體,2-2）布里淵區(qū)與能帶,能帶在布里淵區(qū)邊界處發(fā)生突變，對(duì)于一維情況產(chǎn)生帶隙，三維情況則不完全同于一維情況，不同能帶之間在能量上不一定分開(kāi)，而有可能發(fā)生交疊。 因?yàn)槟軒г诓祭餃Y區(qū)邊界處發(fā)生斷開(kāi)，而不同布里淵區(qū)邊界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電子能量不同，有可能重疊。也就是說(shuō)，沿每個(gè)方向在布里淵區(qū)界面處能帶斷開(kāi)，但不同方向斷開(kāi)時(shí)的能量取值不同，使能帶有發(fā)生交疊的可能,B是第二布里淵區(qū)能量最低點(diǎn)； A是第一布里淵區(qū)與B相鄰的點(diǎn),C是第一布里淵區(qū)能量最高點(diǎn)； C點(diǎn)能量高于B點(diǎn),第一布里淵區(qū)在k方向上能量最高點(diǎn)A，k方向上能量最高點(diǎn)C,二維正方格子,C點(diǎn)的能量比第二布里淵區(qū)B點(diǎn)高,能帶間的交疊P177圖4-11,沿OA方向能帶圖示,沿OC方向能帶圖示,布里淵區(qū)中能量特征點(diǎn),面心立方格子的布里淵區(qū)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、軸習(xí)慣符號(hào),體心立方格子的布里淵區(qū)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、軸習(xí)慣符號(hào) （P179圖4-12,能帶理論近自由電子理論學(xué)習(xí)要求,基本概念：能帶，帶隙，布里淵區(qū)，布洛