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1、3,1.3,二倍角的正弦、余弦、正切公式,第三章,三角恒等變換,學(xué)習(xí)導(dǎo)航,學(xué)習(xí)目標(biāo),六個(gè)和,差,公式,理解,二倍角公式的推導(dǎo),掌握,公式正用、逆,用、變形用,重點(diǎn)難點(diǎn),重點(diǎn):運(yùn)用二倍角公式解決有關(guān)的化簡(jiǎn)、求值,難點(diǎn),公式的逆用及變形運(yùn)用,新知初探思維啟動(dòng),倍角公式及其變形形式,sin 2,_,cos 2,cos,2,sin,2,_,_,cos,2,_,sin,2,_,2sin,cos,2cos,2,1,1,2sin,2,1,cos 2,2,1,cos 2,2,tan 2,_,tan 2,sin,1,cos,1,cos,sin,k,k,Z,2tan,1,tan,2,2,2,k,k,Z,想一想,s
2、in 2,2sin,cos 2,2cos,tan 2,2tan,能成立嗎,提示,一般情況下,sin 2,2sin,例如,sin,3,2sin,6,只有,當(dāng),k,k,Z,時(shí),sin,2,2sin,才成立只有當(dāng),cos,1,3,2,時(shí),cos 2,2cos,才成立,只有當(dāng),k,k,Z,時(shí),tan,2,2tan,才成立,做一做,1,1,2,sin 15,cos 15,的值等于,_,答案,1,8,2,若,sin,1,3,則,cos 2,_,答案,7,9,典題例證技法歸納,題型一,運(yùn)用二倍角公式化簡(jiǎn)求值,題型探究,例,1,已知,sin,2,4,5,2,求,sin,cos,tan,的值,解,2,2,2,又
3、,sin,2,4,5,cos,2,1,sin,2,2,1,4,5,2,3,5,sin,2sin,2,cos,2,2,4,5,3,5,24,25,cos,1,2sin,2,2,1,2,4,5,2,7,25,tan,sin,cos,24,7,名師點(diǎn)評(píng),應(yīng)用二倍角公式化簡(jiǎn)求值的三個(gè)關(guān)注點(diǎn),1,當(dāng)單角為非特殊角,而倍角為特殊角時(shí),常利用倍角公式及,其變形公式化為特殊角求值,2,當(dāng)式子中涉及到的角較多時(shí),要先變角,化異角為同角,3,對(duì)根式形式的化簡(jiǎn),以去根號(hào)為目的,化簡(jiǎn)時(shí)注意角的范,圍,跟蹤訓(xùn)練,1,已知,cos,3,3,且,90,270,求,sin 2,cos 2,tan 2,的值,解,cos,3,3
4、,且,90,270,sin,6,3,當(dāng),sin,6,3,時(shí),sin 2,2sin,cos,2,6,3,3,3,2,2,3,cos 2,2cos,2,1,2,3,3,2,1,1,3,tan 2,sin 2,cos 2,2,2,3,1,3,2,2,當(dāng),sin,6,3,時(shí),sin 2,2,6,3,3,3,2,2,3,cos 2,1,3,tan 2,2,2,3,1,3,2,2,題型二,二倍角公式的活用,例,2,求下列各式的值,1)(cos,12,sin,12,(cos,12,sin,12,2)2cos 105,cos 15,3,tan 15,1,tan,2,15,4,1,2,cos,2,8,解,1)(
5、cos,12,sin,12,(cos,12,sin,12,cos,2,12,sin,2,12,cos,6,3,2,2)2cos,105,cos,15,2cos(90,15,cos 15,2,sin 15,cos 15,2sin 15,cos 15,sin 30,1,2,名師點(diǎn)評(píng),根據(jù)三角函數(shù)式的特征,經(jīng)過(guò)適當(dāng)變,形,進(jìn)而利用公式,同時(shí)變換出特殊角,獲得三角函,數(shù)式的值,在變形中一定要整體考慮式子的特征,3,tan 15,1,tan,2,15,1,2,2tan 15,1,tan,2,15,1,2,tan 30,3,6,4,1,2,cos,2,8,1,2,2cos,2,8,1,1,2,cos,4,
6、2,4,跟蹤訓(xùn)練,2,化簡(jiǎn),1,1,1,tan,1,1,tan,2,2cos,2,1,2tan,4,sin,2,4,解,1,原式,1,tan,1,tan,1,tan,1,tan,2tan,1,tan,2,tan 2,2,原式,cos 2,2tan,4,cos,2,2,4,cos 2,2tan,4,cos,2,4,cos 2,2sin,4,cos,4,cos 2,sin,2,4,2,cos 2,cos 2,1,題型三,三角函數(shù)式的證明,例,3,求證,1,sin 4,cos 4,1,sin 4,cos 4,tan 2,證明,法一:左邊,1,cos 4,sin 4,1,cos 4,sin 4,2si
7、n,2,2,2sin 2,cos 2,2cos,2,2,2sin 2,cos 2,2sin 2,sin 2,cos 2,2cos 2,sin 2,cos 2,tan 2,右邊,法二:左邊,1,sin 4,1,2sin,2,2,1,sin 4,2cos,2,2,1,2sin 2,cos 2,2sin,2,2,2sin 2,cos 2,2cos,2,2,2sin 2,sin 2,cos 2,2cos 2,sin 2,cos 2,tan 2,右邊,名師點(diǎn)評(píng),證明問(wèn)題的兩個(gè)原則,1,觀察式子兩端的結(jié)構(gòu)形式,一般是從復(fù)雜到簡(jiǎn)單,如果兩,端都比較復(fù)雜,就將兩端都化簡(jiǎn),即采用,兩頭湊,的思想,2,證明的一般
8、步驟是:先觀察,找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié),構(gòu)等方面的差異,然后本著,復(fù)角化單角,異名化同名,變換式子結(jié)構(gòu),變量集中,等原則,設(shè)法消除差異,達(dá)到證明,的目的,跟蹤訓(xùn)練,3,求證,sin,1,sin,cos,1,cos,sin,1,sin,cos,1,cos,sin 2,證明:左邊,sin,sin,2,cos,cos,2,sin,sin,2,cos,cos,2,sin,cos,1)(sin,cos,1,sin,cos,2,1,2sin,cos,sin 2,右邊,方法感悟,1,公式的使用技巧主要有三個(gè)方向,1,正用:從條件出發(fā),順著問(wèn)題的線索,以“展開”公式的,方式使用如例,1,2,逆用:逆向轉(zhuǎn)換,
9、應(yīng)用時(shí)要求對(duì)公式特點(diǎn)有一個(gè)整體感,知,主要形式有,2sin,cos,sin 2,sin,cos,1,2,sin 2,cos,2,sin,2,cos 2,2tan,1,tan,2,tan 2,等如例,2,3,變形用,將公式進(jìn)行簡(jiǎn)單等價(jià)變形后,利用其新形式,主,要形式有,1,sin,2,cos,2,1,2sin,cos,sin,cos,2,1,cos,2,2cos,2,1,cos,2,2sin,2,cos,2,1,cos 2,2,sin,2,1,cos 2,2,2,選擇二倍角余弦公式的原則,1,加余弦想余弦,2,減余弦想正弦,3,冪升一次角減半,4,冪降一次角翻番,精彩推薦典例展示,例,4,名師解
10、題,破解三角函數(shù)的綜合問(wèn)題,已知函數(shù),f,x,sin,2,x,2sin,x,cos,x,3cos,2,x,x,R,求,1,函數(shù),f,x,的最大值及取得最大值時(shí)自變量,x,的集合,2,函數(shù),f,x,的單調(diào)遞增區(qū)間,抓信息,破難點(diǎn),1,首先,運(yùn)用倍角公式將,sin,2,x,化為,1,cos 2,x,2,將,2sin,x,cos,x,化為,sin 2,x,將,cos,2,x,化為,1,cos 2,x,2,然后將,f,x,轉(zhuǎn)化為,A,sin,x,b,的形式,2,利用,sin,x,的性質(zhì)研究,A,sin,x,b,的性質(zhì),解,1,f,x,1,cos 2,x,2,sin 2,x,3,1,cos 2,x,2,2,sin 2,x,cos 2,x,2,2,2,2,sin 2,x,2,2,cos 2,x,2,2sin(2,x,4,故當(dāng),2,x,4,2,2,k,即,x,8,k,k,Z,時(shí),f,x,取得最大值,2,2,函數(shù),f,x,取得最大值時(shí)自變量,x,的集合為,x,x,8,k,k,Z,2,令,2,2,k,2,x,4,2,2,k,k,Z,得,3,8,k,x,8,k,k,Z,即函數(shù),f,x,的單調(diào)遞增區(qū)間,為,3,8,k,8,k,
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