概率論與數(shù)理統(tǒng)計答案 第四版 第2章浙大[共21頁]

1、1、 考慮為期一年的一張保險單，若投保人在投保一年后因意外死亡，則公司賠付20萬元，若投保人因其他原因死亡，則公司賠付5萬元，若投保人在投保期末生存，則公司無需付給任何費用。若投保人在一年內(nèi)因意外死亡的概率為0.0002，因其他愿意死亡的概率為0.0010，求公司賠付金額的分布律。解：設X為公司的賠付金額，X=0,5,20P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988P（X=5）=0.0010P（X=20）=0.0002X0520P0.99880.00100.00022.(1) 一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5.在袋中同時取3只球，以X表示取出的三只中的最大號碼，寫出隨機

2、變量的分布律. 解：方法一: 考慮到5個球取3個一共有C53 =10種取法，數(shù)量不多可以枚舉來解此題。設樣本空間為S S=123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 易得，PX=3=110；PX=4=310；PX=5=610；X345Pk1/103/106/10 方法二：X的取值為3,4,5 當X=3時，1與2必然存在 ，PX=3= C22C53 =110; 當X=4時，1,2,3中必然存在2個， PX=4= C32C53 =310； 當X=5時，1,2,3,4中必然存在2個， PX=5= C42C53 =610；X345Pk1/103/106/10 (2)

3、將一顆骰子拋擲兩次，以X表示兩次中得到的小的點數(shù)，試求X的分布律.解：PX=1= P (第一次為1點)+P（第二次為1點）- P（兩次都為一點）= 16+16-136 = 1136；PX=2= P (第一次為2點，第二次大于1點)+P（第二次為2點，第一次大于1點）- P（兩次都為2點）= 1656+1656-136 = 936；PX=3= P (第一次為3點，第二次大于2點)+P（第二次為3點，第一次大于2點）- P（兩次都為3點）= 1646+1646-136 = 736； PX=4= P (第一次為4點，第二次大于3點)+P（第二次為4點，第一次大于3點）- P（兩次都為4點）= 163

4、6+1636-136 = 536； PX=5= P (第一次為5點，第二次大于4點)+P（第二次為5點，第一次大于4點）- P（兩次都為5點）= 1626+1626-136 = 336；PX=6= P (第一次為6點，第二次大于5點)+P（第二次為6點，第一次大于5點）- P（兩次都為6點）= 1616+1616-136 = 136；X123456Pk11/369/367/365/363/361/363.設在15只同類型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣.以X表示取出的次品的只數(shù). (1)求X的分布律.解：PX=0= C133C153 =2235;PX=1= C13

5、 2C21C153 =1235;PX=2= C131C22C153 =135;X012Pk22/3512/351/35 (2)畫出分布律的圖形. 4、進行獨立重復試驗，設每次試驗的成功率為p，失敗概率為q=1-p（0p3,即PX3=1-PX3=1-PX=0-PX=1-PX=2-PX=3 =1-e-4-4e-4-42e-42!-43e-43! =1-713e-4=0.566513.某公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼叫的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時間間隔的起點無關（時間以小時計）。（1） 求某一天中午12點至下午3點未收到緊急呼叫的概率；（2） 求某一天中午12點至下午5

6、點至少收到1次緊急呼叫的概率。解：(1)設某一天中午12點至下午3點未收到緊急呼叫的概率為P，時間間隔長度t=3，依題意有PX=0=(t2)ke-t2k!=(32)0e-320!=e-32=0.2231(2)依題意，即X1，時間間隔長度t=5，則 PX1=1-PX=0 =1-(t2)ke-t2k! =1-(52)0e-520! =1-e-52=0.917914.某人家中在時間間隔t（小時）內(nèi)接到電話的次數(shù)X服從參數(shù)為2t的泊松分布。（1）若他在外出計劃用時10分鐘，問其間有電話鈴響一次的概率是多少？（2）若他希望外出時沒有電話的概率至少為0.5，問他外出應控制最長時間是多少？解：(1) 設其間

7、有電話鈴響一次的概率為P，t=1/6，依題意有PX=1=(2t)ke-2tk!=(13)1e-131!=13e-13=0.2388(2) 外出時沒有電話的概率至少為0.5,即為 PX=00.5 PX=0=2tke-2tk!=2t0e-2t0!0.5 即 e-2t0.5 求解得 t12ln2=0.3466 （小時） 即外出時間不得超出20.79分鐘.15.保險公司在一天內(nèi)承保了5000張相同年齡，為期一年的壽險保單，每人一份，在合同有效期內(nèi)若投保人死亡，則公司需賠付3萬元。設在一年內(nèi)，該年齡段的死亡率為0.0015，且各投保人是否死亡相互獨立。求該公司對于這批投保人的賠付總額不超過30萬元的概率

8、（利用泊松定理計算）。解：設投保人在一年內(nèi)死亡人數(shù)為X,則Xb（5000,0.0015），若公司賠付不超過30萬元，則死亡人數(shù)不該超過303=10個人，PX10=k=010(C5000k)(0.0015)k(0.9985)5000-k根據(jù)泊松定理，=np=50000.0015=7.5PX10k=0107.5ke-7.5k!=0.8622.16.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設一輛汽車在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001。在某天的該時間段內(nèi)有1000輛汽車通過。問出事故的車輛數(shù)不小于2的概率是多少？（利用泊松定理計算）解：設某天該時段汽車站汽車出事故的輛數(shù)為X，則Xb（1000,

9、0.0001），所求為PX2=1-PX=0-PX=1.其中，根據(jù)泊松定理，=np=10000.0001=0.1.PX=k=Cnkpk(1-p)n-kke-k!.所以，PX2=1-PX=0-PX=11-e-0.1-e-0.10.1=0.0047.17.（1）設X服從（0-1）分布，其分布律為PX=k=pk(1-p)1-k,k=0，1，求X的分布函數(shù)，并作出其圖形。（2）求第2題（1）中的隨機變量的分布函數(shù)。解：（1） X服從（0-1）分布，即，當X=0，pk=1-p；當X=1，pk=p.當x0,F(x)= 0;當0x1,F(x)=1-p;當x1,F(x)=(1-p)+p=1.X的分布函數(shù)為Fx=

10、0, &x01-p,0x11, &x1，（2）第2題(1)中，X的分布律為 所以，當X3，F(xiàn)x=0; 3X4，F(xiàn)x=0.1; 4X0，0，x0.求下列概率：（1）P至多3分鐘.（2）P至少4分鐘.（3）P3分鐘至4分鐘之間.（4）P至多3分鐘或至少4分鐘.（5）P恰好2.5分鐘.解：（1）P至多3分鐘=PX3=FX（3）=1-e-0.4*3 =1-e-1.2 （2）P至少4分鐘=PX4=1-PX4=1-FX（4）=e-0.4*4=e-1.6 （3）P3分鐘至4分鐘之間=P3X4=FX（4）-FX（3）=（1-e-0.4*4）-（1-e-0.4*3）=e-1.2-e-1.6 （4）P至多3分鐘或

11、至少4分鐘=PX3UX4=PX3+PX4=（1-e-1.2）+e-1.6=1+e-1.6-e-1.2 （5）P恰好2.5分鐘=PX=2.5=020.設隨機變量X的分布函數(shù)為FX（x）=0，x，1lnx，1xe，1，xe.（1）求PX2，P0X3，P2X2.5.（2）求概率密度fX（x）.解：（1）根據(jù)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)的定義和性質(zhì)可得PX2=FX（2）=ln2P0X3=FX（3）-FX（0）=1-0=1P2X2.5=FX（2.5）-FX（2）=ln2.5-ln2=ln1.25 （2）根據(jù)概率密度的定義可得 fX（x）=dFX（x）dx=1x，1xe0，其他21.設隨機變量X的概率密度為（

12、1）f（x）=21-1x2，1x20，其他.（2）f（x）=x，0x1，2-x，1x2，0，其他求X的分布函數(shù)F（x），并畫出（2）中f（x）及F（x）的圖形.解：（1）F（x）=P（Xx）=-xf（t）dt 當x1時，F(xiàn)（x）=-x0dt=0 當1x2時，F(xiàn)（x）=-10dt+1x21-1t2dt =2（x+1x -2） 當2x時，F(xiàn)（x）=-10dt+1221-1t2dt+2x0dt =1 故分布函數(shù)為F（x）=0，x12x+1x -2，1x21，x2（2）F（x）=P（Xx）=-xf（t）dt 當x0時，F(xiàn)（x）=-x0dt=0當0x1時，F(xiàn)（x）=-00dt+0xtdt =x22當1x

13、2時，F(xiàn)（x）=-00dt+01tdt+1x（2-t）dt=2x- x22 -1當2x時，F(xiàn)（x）=-00dt+01tdt+12（2-t）dt+2x0dt =1故分布函數(shù)為F（x）=0，x0x22，0x12x- x22 -1，1x21，2xF（x）和F（x）的圖形如下22.（1）分子運動速度的絕對值X服從麥克斯韋（Maxwell）分布，其概率密度為：f（x）=Ax2e-x2/b， x0,0, 其他.其中b=m/(2kT)，k為玻爾茲曼常數(shù)，T為絕對溫度，m是分子的質(zhì)量，試確定常數(shù)A。 （2）研究了英格蘭在1875年1951年期間，在礦山發(fā)生導致不少于10人死亡的事故的頻繁程度。得知相繼兩次事故

14、之間的時間T（日）服從指數(shù)分布，其概率密度為 fT（t）=1241e-t/241， t0,0, 其他.求分布函數(shù)F(t)，并且求概率P（50T100）.（1） 解：由題意可知-fxdx=1,可得-fxdx=-00dx+0Ax2e-x2/bdx =-Ab2xe-x2b|0+Ab20e-x2bdx不妨令xb=u則原式可寫為Abb20e-u2du=Abb4由此可得A=4bb（2） 解：當t0時，F(xiàn)Tt=-tfTtdt=-t0dt+0t1241e-t/241dt=1-e-t241故所求的分布函數(shù)為 FT（t）=1-e-t241， t0,0, 其他. 而P50T1000,0, 其他.現(xiàn)有一大批此種器件（

15、設各種器件損壞與否相互獨立），任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：任取一只該種器件，其壽命大于1500h的概率為 P=15001000x2dx=-1000x|1500=23任取5只這種器件，其中壽命大于1500小時的只數(shù)記為X，則Xb(5，23).故所求概率為PX2=1-PX=0-PX=1 =1-1-232-C51231-234=23224324.設顧客在某銀行的窗口等待服務時間X(min)服從指數(shù)分布，其概率密度為fx(x)=15e-x/5, x0,0, 其他.某顧客在窗口等待服務，若超過10min，他就離開，他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務而離

16、開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求P(Y1).解：顧客在窗口等待服務超過10min的概率為 P=10fx(x)dx=1015e-x5dx=e-2故顧客去銀行一次因未等到服務而離開的概率為e-2，從而Yb(5, e-2)那么，Y的分布律為PY=k=C5k(e-2)k(1-e-2)5-k， k=0,1,2,3,4,5. PY1=1-PY=0=1-(1-e-2)5=0.516725、設K在（0,5）服從均勻分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有實根的概率。解：4x2+4Kx+K+2=0有實根即 （4K）2-44（K+2）0解得 K-1 或 K2由題知K在（0,5）服從均勻分布即 0K5設 方程

17、4x2+4Kx+K+2=0有實根為事件AP(A)=P2K5=2515dx=3526、設XN(3，22)(1)求P2X5，P-42，PX3(2)確定c使得PXc=PXc(3)設d滿足PXd0.9，問d至多為多少?解：z=X-N0,1(1) P2X5=P2-32X-325-32 =P-12X-321 =1-12 =1-1+12=0.5328 P-4X10=P-722=PX2= PX-32-12 =-52+12 =0.6977PX3=1-PX-32c=PXc即PX-32c-32=PX-32c-321-PX-32c-32=PX-32c-32=0.5即c-32=0 可得c=3(3) PXd0.9即PX-

18、32d-320.9即-d-320.9即-d-321.29即d0.42則d至多為0.4227、某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮壓，以mmHg計）服從N(110，122)分布，在該地區(qū)任選一18歲的女青年，測量她的血壓X，求(1)PX105，P100x0.05.解：z=X-N0,1(1) PX105=PX-11012105-11012 =-0.417=0.3383P100X120=P-0.833X-11012x0.05即PX-11012x-110120.05即PX-11012x0.05.28.由某機器生產(chǎn)的螺栓的長度（cm）服從參數(shù)=10.05,=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.050.1

19、2內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格品的概率。解：設螺栓的長度為X。0.12=2，根據(jù)3法則，產(chǎn)品合格的概率P合格= P10.05-0.12X10.05+0.12=95.44%不合格概率：P不合格=1-P合格=4.56%29.一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命（h）X服從參數(shù)為=160，（0）的正態(tài)分布，若要求P120X2000.80，允許最大為多少？解：由正態(tài)分布圖形得，越小時，X落在附近的概率越大。當P120X200=P160-40X160+40=0.8時40=0.9根據(jù)標準正態(tài)分布表查得，40=1.2831.20即最大為31.20.30.設在一電路中，電阻兩段的電壓（V）服從N120，22，今獨立測量

20、了5次，試確定2次測定值落在區(qū)間118,122之外的概率。解：設第i次測定值為Xi， i=1,2,3,4,5，則Xi-N（120,22）P118Xi122=（）-（） =（1）-（-1） =2（1）-1 =0.6826PXi【118,122】=1-P118X122 =0.3174 （i=1,2,3,4,5）Xi之間相互獨立若以Y表示5次測量其測定值Xi落在【118,122】之外的個數(shù) Yb（5,0.3174）所求概率 PY=2=C2 5（0.3174）2(0.6826)3 =0.320431某人上班，自家里去辦公室要經(jīng)過一個交通指示燈，這指示燈有80%時間亮紅燈，此時他在指示燈旁等待直至綠燈亮

21、。等待時間在區(qū)間0，30（以秒計）服從均勻分布。以X表示他的等待時間，求X的分布函數(shù)F（x）。畫出F（x）的圖形，并問X是否為連續(xù)性隨機變量，是否為離散型的？（要說明理由）解 當他到達交通指示燈處時，若是亮綠燈則等待時間為0，若是亮紅燈則等待時間X服從均勻分布。記“指示燈亮綠燈”為事件A。則對于固定的x0，全概率公式有PXx=PXxAPA+PXxAPA當0x30時，PXx=10.2+x300.8=0.2+2x75當x30時，PXx=10.2+10.8=1于是得到X的分布函數(shù)為Fx=PXx=0 x0 0.2+2x75 0x30 1 x0 F（x）的圖像如圖所示因F(x)在x=0處有不連續(xù)點，故隨

22、機變量X不是連續(xù)型，又因不存在一個可列的點集，使得在這個點集上X取值的概率為1，所以隨機變量也不是離散型的，X是混合型隨機變量。32 設f（x），g(x)都是概率密度函數(shù)，求證h（x）=f（x）（1）g（x），01也是一個概率函數(shù)。解 因為f（x），g(x)都是概率密度函數(shù)，故有f（x）0，g(x)0 且-+fxdx=1， -+g（x）dx=1.因01，故10，所以有f（x）0 ， （1）g（x）0，于是h（x）0.又-+h（x）dx=-+fxdx+1-+gxdx=+1-=1所以h（x）是一個概率分布函數(shù)。33.設隨機變量X的分布律為X-2-1013Pk1516151151130求Y=X的分布

23、律。解 Y=X的所有取值為0，1, 4, 9.PY=0=PX=0=15PY=1=PX=1+PX=-1=115+16=730PY=4=PX=2=15PY=9=PX=3=1130所以Y的分配率為Y0149Pk1573015113034. 設隨機變量X在區(qū)間（0,1）服從均勻分布。（1） 求的概率密度。（2） 求的概率密度。解：（1）由X服從均勻分布可知 由可得 故 （2） 由X服從均勻分布可知 由可得故35. 設XN(0，1)。 （1）求的概率密度。 （2）求的概率密度. （3）求的概率密度. 解：由XN(0，1)可知 （1） 由可得 （2） 當時，=0，=0 當時， 綜上 （3） 綜上36、 （1）設隨機變量X的概率密度為。（2）設隨機變量X的概率密度為，求的概率密度。解：（1） （2）