我們應(yīng)該如何教幾何

1、我們應(yīng)該如何教幾何,一、關(guān)于數(shù)學(xué)育人的基本觀點(diǎn),教育的根本任務(wù)是立德樹(shù)人。 數(shù)學(xué)教育要著眼于學(xué)生的長(zhǎng)期利益。 數(shù)學(xué)育人要發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，充分挖掘數(shù)學(xué)課程所蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，圍繞學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展需要，以培育學(xué)生的理性精神、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力為核心，使學(xué)生掌握“四基”、“四能”，學(xué)會(huì)有邏輯地、創(chuàng)造性地思考，成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的人才,發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，實(shí)現(xiàn)“教數(shù)育人,數(shù)學(xué)教師應(yīng)成為學(xué)生發(fā)展的導(dǎo)師：教數(shù)學(xué)知識(shí)是手段，育人是目的； 數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，不僅僅是符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建，也彰顯了人與世界的關(guān)系，更表達(dá)了宇宙空間的本質(zhì)； 數(shù)學(xué)的最本質(zhì)特征是邏輯的嚴(yán)密性，

2、其中蘊(yùn)含著講規(guī)則、重證據(jù)、依邏輯、實(shí)事求是、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神與為人品格； 數(shù)學(xué)不僅有工具屬性，也有鮮明的理性精神屬性，所以數(shù)學(xué)教育必然是工具性和理性精神的統(tǒng)一體,二、教師專業(yè)發(fā)展的基石,理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)，理解技術(shù)。 “四個(gè)理解”的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)；中小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解釋的知識(shí)；關(guān)于有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的知識(shí)；關(guān)于評(píng)估學(xué)生的知識(shí)理解水平的知識(shí)；等。 特別是，教師對(duì)“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解水平?jīng)Q定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果,理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界,知其然 知其所以然 何由以知其所以然 啟發(fā)學(xué)生，示以

3、思維之道耳,三、在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng),幾何的研究對(duì)象是什么？ 空間的最基本概念是“位置”。 （1）幾何中，“位置”用什么來(lái)標(biāo)記？ （2）空間中兩個(gè)位置之間的差別用什么來(lái)標(biāo)記？ （3）“位置差別”用什么幾何量來(lái)加以定量化的刻畫？ （4）如何刻畫直線的“直”、平面的“平”,度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在,幾何學(xué)是關(guān)于幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系的科學(xué)。 點(diǎn)、直線、平面是基本幾何圖形，源于對(duì)現(xiàn)實(shí)事物的抽象純粹的數(shù)學(xué)對(duì)象。 “位置”是宇宙空間的最基本要素，位置用“點(diǎn)”表示； 直線段是連接兩點(diǎn)的最短通路，兩個(gè)點(diǎn)的位置差異用線段的長(zhǎng)度表示,直線由點(diǎn)組成，直線的“直”用點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系來(lái)刻畫； 平面由點(diǎn)、

4、直線組成，平面的“平”用點(diǎn)、直線的關(guān)系，用直線的“直”來(lái)刻畫,方向”是另一個(gè)基本概念,1）幾何中，“方向”用什么來(lái)表達(dá)？ （2）兩個(gè)方向的差別用什么來(lái)度量,平面上的一條射線表達(dá)了一個(gè)方向，一條直線則是具有兩個(gè)相反的方向。 兩條共起點(diǎn)的射線，在方向上的差別也就是BAC的角度，即角度是其方向差的度量,如何研究“相交線,首要問(wèn)題是什么？ 研究對(duì)象的抽象定義相交線。 數(shù)學(xué)的方式： （1）低維定義高維； （2）組成要素的基本關(guān)系,接下來(lái)的研究?jī)?nèi)容是什么？ 性質(zhì)“相交線的性質(zhì)”的內(nèi)涵是什么？ 兩條直線相交形成四個(gè)角（幾何元素），這些角之間的相互關(guān)系幾何圖形組成元素間的相互關(guān)系就是性質(zhì)！ 如何發(fā)現(xiàn)這些角的相

5、互關(guān)系,探究過(guò)程,四個(gè)角的關(guān)系 1+2+3+4=360 三個(gè)角的關(guān)系 變化中不存在不變性沒(méi)有固定的關(guān)系 兩個(gè)角的關(guān)系 （1）兩兩配對(duì)有6對(duì)角，即1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4,2）1和2的關(guān)系如何研究？ 從角的定義出發(fā)，得到研究?jī)?nèi)容：兩個(gè)角的頂點(diǎn)、邊的關(guān)系，得到1與2的位置關(guān)系。 頂點(diǎn)重合；一邊重合，稱這兩個(gè)角“相鄰”；另一邊互為反向延長(zhǎng)線，所以兩個(gè)角“互補(bǔ)”。 用幾何語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)即為鄰補(bǔ)角的定義：1與2有一條公共邊OA，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，即1與2互補(bǔ)，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角,3）其余5對(duì)角的關(guān)系的研究 讓學(xué)生類比1與2的位置關(guān)系的研究過(guò)程，對(duì)其余5對(duì)角的邊

6、的位置關(guān)系進(jìn)行自主探究，并作出分類，得出對(duì)頂角的定義，再得出：兩條直線相交所形成的4個(gè)角中，兩兩之間的位置關(guān)系，根據(jù)兩個(gè)角的邊之間特殊的位置關(guān)系，分成兩類，一類是鄰補(bǔ)角，一類是對(duì)頂角。 過(guò)程與結(jié)果的融合，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)的落實(shí),接下去研究什么,已經(jīng)研究了兩條直線相交形成的6對(duì)角的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可以分為兩類。那么，鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角分別有怎樣的大小關(guān)系呢？這就是接下來(lái)要研究的問(wèn)題。幾何學(xué)是研究幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系的科學(xué),如何讓學(xué)生感受證明“對(duì)頂角相等”的必要性,從一個(gè)給定的圖形中得到“對(duì)頂角相等”，但任意兩個(gè)對(duì)頂角都相等嗎？ 觀察剪刀剪紙的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程中什么在變化？對(duì)頂角的相等關(guān)

7、系總能保持嗎？為什么？ 在一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線，不僅AB，CD的位置關(guān)系可以改變，交點(diǎn)O的位置也可以改變。在這些變化過(guò)程中，對(duì)頂角仍然相等嗎？你如何使人相信：如果兩個(gè)角具有對(duì)頂角的位置關(guān)系，那么它們就一定相等？你能把道理完整地寫出來(lái)嗎,接下來(lái)研究什么,垂線從一般相交到相互垂直。 從一般到特殊是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的“基本之道”！ “特殊”往往很重要,小結(jié)：相交線的研究路徑,概念性質(zhì)特例 其中，概念的定義明確了研究對(duì)象及其幾何要素（4個(gè)共頂點(diǎn)的角）；性質(zhì)是指幾何要素之間的相互關(guān)系（4個(gè)角的位置關(guān)系、大小關(guān)系）；特例是指兩條相交線的特殊位置關(guān)系，即垂直，與距離這一重要數(shù)學(xué)概念相關(guān)，因此有特別的重要

8、性。 角的關(guān)系是指角的組成要素之間的關(guān)系。 從定義出發(fā)研究性質(zhì),如何研究平行線的性質(zhì),大前提：兩條直線平行； 小前提：與第三條直線相交； 結(jié)論：同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 性質(zhì)的表現(xiàn)方式：“第三條直線”在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，與兩條平行線相交形成的角（幾何要素）之間具有確定的關(guān)系,體現(xiàn)核心素養(yǎng)的“大概念,從方法論的高度看，研究?jī)蓷l直線某種位置關(guān)系的性質(zhì)，就是探索在這種位置關(guān)系下，兩條直線的組成要素之間以及與其他直線所形成的圖形中出現(xiàn)的確定關(guān)系（不變性和不變量）。 具體方法是讓幾何元素動(dòng)起來(lái)，看“變化中的不變性、不變量”。 這是教學(xué)設(shè)計(jì)的源頭，需要采用單元設(shè)計(jì)，把“數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象組成元素的

9、提取相互關(guān)系的猜想猜想的證明性質(zhì)的應(yīng)用”等落實(shí)下來(lái),提倡單元整體設(shè)計(jì)教學(xué),學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達(dá)成不是一蹴而就的，具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點(diǎn)。教師應(yīng)理解不同數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的具體要求，不僅關(guān)注每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，更要關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標(biāo)。所以，整體把握教學(xué)內(nèi)容對(duì)促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展具有重要意義。這就是提倡單元整體設(shè)計(jì)教學(xué)的理由,要防止碎片化教學(xué)現(xiàn)象的延續(xù),老師的困惑：?jiǎn)卧O(shè)計(jì)會(huì)出現(xiàn)課的容量過(guò)大問(wèn)題，知識(shí)不鞏固、解題能力不過(guò)關(guān)。受應(yīng)試的困擾，大家習(xí)慣于“當(dāng)堂鞏固”，學(xué)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就要進(jìn)行大量鞏固性練習(xí)。這樣的教學(xué)，結(jié)果必然是：知識(shí)碎片化，而孤立的、缺乏知識(shí)系統(tǒng)

10、性的知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練也導(dǎo)致了訓(xùn)練效果不佳，學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力不強(qiáng),思想、方法的普遍適用性,例如，直線平行于平面的性質(zhì) 位置關(guān)系（大前提）：直線l 平面； 探究性質(zhì)的思路：直線l、平面與其他直線、平面所形成的確定關(guān)系，可以得到命題： （1）如果 al （小前提） ，那么a ； （2）如果 a ，那么a l； （3）如果a l，那么a； （4）如果a，那么a l,5）如果l，那么； （6）如果，那么l； （7）如果l，那么 ； （8）如果 ，那么 l,9）與“公理”相聯(lián)系，直線l與平面 內(nèi)任意一點(diǎn)A確定一個(gè)平面 ， =m ，那么 ml； （10）l ，所以l =。如果m在 內(nèi)，則或者ml，或者m與l

11、是異面直線。 （11）直線m與直線l異面，則過(guò)直線m有且只有一個(gè)平面與直線l平行。 （12）l ， =l， =l1， =l2，那么l1l2,研究對(duì)象在變，“研究套路”不變，思想方法不變！ 這就是數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的力量,幾何性質(zhì)的分類,幾何學(xué)的基本研究對(duì)象可分為兩類：物體的形狀、物體的位置，它們的特征就是性質(zhì)。 幾何圖形的形狀：通過(guò)它的組成元素的形狀及其位置關(guān)系來(lái)反映結(jié)構(gòu)特征； 點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系：點(diǎn)、直線、平面（基本幾何圖形）的位置關(guān)系是幾何圖形位置關(guān)系的基礎(chǔ)，核心是平行（空間的平直性）、垂直（空間的對(duì)稱性），距離、角度等可以把位置關(guān)系定量化,三角形性質(zhì)的研究思路和方法,以

12、三角形的要素（三條邊、三個(gè)內(nèi)角）、相關(guān)要素（高、中線、角平分線、外角等）以及幾何量（邊長(zhǎng)、角度、面積等）之間的相互關(guān)系為基本問(wèn)題，從“形狀、大小和位置關(guān)系”等角度展開(kāi)研究。 “形狀”中，“特例”是重點(diǎn)等腰三角形和直角三角形，凡事“特例”都有性質(zhì)和判定兩個(gè)基本問(wèn)題。 在一般觀念指導(dǎo)下研究幾何圖形的性質(zhì),如何讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的性質(zhì),問(wèn)題1：什么叫三角形的性質(zhì)？ 問(wèn)題2：“三條邊的關(guān)系”指什么？“三個(gè)角的關(guān)系”又指什么？ 問(wèn)題3：邊和角之間有確定的關(guān)系嗎？ 問(wèn)題4：高、角平分線、中線的性質(zhì)是如何表現(xiàn)的？外角呢,從三角形的“內(nèi)角和為180”、“兩邊之和大于第三邊”、“大邊對(duì)大角”、“等邊對(duì)等角”等你想

13、到了什么？ 抽象：三角形的角、邊之間的穩(wěn)定的聯(lián)系、確定的關(guān)系就是性質(zhì)。 某一類幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系（任意一個(gè)對(duì)象都具有的關(guān)系）就是性質(zhì),從“外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”、“三條高交于一點(diǎn)”、“等腰三角形三線合一”等又想到了什么？ 把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關(guān)要素，這些“相關(guān)要素”之間的位置關(guān)系就是性質(zhì)。 要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系（不隨具體事物的變化而變化）也是性質(zhì),三條線段首尾相連,四條線段首尾相連而成的平面圖形,問(wèn)題1 我們已經(jīng)比較完整地研究了三角形， 接下來(lái)你想研究什么平面圖形,四邊形,三角形,你能按這個(gè)定義畫一個(gè)四邊形嗎,四邊形的教學(xué),我們是怎樣研究三角形的,

14、研究思路,研究?jī)?nèi)容,研究方法,確定研究對(duì)象（給定義）發(fā)現(xiàn)性質(zhì)證明性質(zhì)研究特例（性質(zhì)、判定,三角形的組成要素、相關(guān)要素之間的大小關(guān)系、位置關(guān)系（角與角、邊與邊、邊與角,度量、觀察、實(shí)驗(yàn)，從幾個(gè)具體三角形中發(fā)現(xiàn)共性，再推廣到一般；研究對(duì)象特殊化，發(fā)現(xiàn)特殊三角形的性質(zhì)；條件和結(jié)論互換，發(fā)現(xiàn)新的定理（性質(zhì)判定,怎樣研究四邊形溫故而知新,三角形,邊,角,三線,三角形,三角形,三角形,邊,角,三線,三角形,邊,角,三線,三角形,三角形,三角形,三角形,邊,角,三線,三角形,邊,角,三線,三角形,觀察,猜想,證明,邊,角,三線,三角形,觀察,猜想,證明,邊,角,三線,三角形,觀察,猜想,證明,邊,角,三線,

15、三角形,邊,角,三線,三角形,邊,角,三線,三角形,確定研究對(duì)象（給定義）發(fā)現(xiàn)性質(zhì)證明性質(zhì)研究特例（性質(zhì)、判定,研究一般四邊形,四邊形,內(nèi)角和為360，外角和360,定義,任意三邊的和都大于第四邊,對(duì)角線的和大于周長(zhǎng)的一半而小于周長(zhǎng),明確定義,發(fā)現(xiàn)性質(zhì),證明性質(zhì),四條線段首尾相連而成的平面圖形,提出問(wèn)題：特殊四邊形的研究,怎樣研究,研究思路,研究?jī)?nèi)容,研究方法,確定研究對(duì)象（給定義）發(fā)現(xiàn)性質(zhì)證明性質(zhì)研究特例（性質(zhì)、判定,平行四邊形的組成要素、相關(guān)要素之間的大小關(guān)系、位置關(guān)系（邊與邊、角與角、對(duì)角線與對(duì)角線,度量、觀察、實(shí)驗(yàn)，從幾個(gè)具體平行四邊形中發(fā)現(xiàn)共性，再推廣到一般；研究對(duì)象特殊化，發(fā)現(xiàn)特殊

16、平行四邊形的性質(zhì)；條件和結(jié)論互換，發(fā)現(xiàn)新的定理（性質(zhì)判定,研究平行四邊形性質(zhì),定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形,四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD,AD BC,ABCD,AD BC ， 四邊形ABCD是平行四邊形,觀察并猜想：平行四邊形可能有哪些性質(zhì),能寫出已知、求證并加以證明嗎,明確定義,發(fā)現(xiàn)性質(zhì),證明性質(zhì),研究平行四邊形的性質(zhì),定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形,平行四邊形性質(zhì)定理：平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分,四邊形ABCD是平行四邊形， AB=CD,AD =BC，OA=OC,OB=OD,研究平行四邊形的判定,溫故,直角三角形的判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)

17、系：互逆,等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)系：互逆,知新,平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)系：互逆,猜一猜：怎樣判定一個(gè)四邊形是平行四邊形,證明你的猜想,1.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形； 2.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。 3.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 4.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,知識(shí)整理,研究思路,研究?jī)?nèi)容,研究方法,研究結(jié)果,確定研究對(duì)象（給定義）發(fā)現(xiàn)性質(zhì)證明性質(zhì)研究特例（性質(zhì)、判定,四邊形的組成要素、相關(guān)要素之間的大小關(guān)系、位置關(guān)系（邊與邊、角與角、對(duì)角線與對(duì)角線,度量、觀察、實(shí)驗(yàn)，從幾個(gè)具體四邊形中發(fā)現(xiàn)共性，再推廣到一般；研究對(duì)象特殊化

18、，發(fā)現(xiàn)特殊四邊形的性質(zhì)；條件和結(jié)論互換，發(fā)現(xiàn)新的定理（性質(zhì)判定,研究結(jié)果,判定,作業(yè)：1.請(qǐng)你寫一篇關(guān)于如何研究一個(gè)幾何圖形的短文。 2.請(qǐng)用你學(xué)到的方法繼續(xù)研究特殊的平行四邊形，比如： 有一個(gè)內(nèi)角為60的平行四邊形,幾何要教類比 代數(shù)要教歸納 研究對(duì)象在變，研究套路、思想方法不變,平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學(xué),課標(biāo)要求 （1）通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形的旋轉(zhuǎn)。探索它的基本性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等,2）了解中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形的概念，探索它的基本性質(zhì)：成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分

19、。 （3）探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對(duì)稱性。 （4）認(rèn)識(shí)和欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對(duì)稱圖形,內(nèi)容結(jié)構(gòu),概念和性質(zhì)特例（性質(zhì)）數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用 其中，“概念和性質(zhì)”是基礎(chǔ)，是重中之重,如何確定一個(gè)旋轉(zhuǎn)的條件,平面圖形的旋轉(zhuǎn)，就是通過(guò)對(duì)圖形實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換，把一個(gè)圖形從一個(gè)位置變到另一個(gè)位置。這里，圖形從一個(gè)位置變到另一個(gè)位置，需要做到“唯一確定”。 只有當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度的大小都確定后，圖形的旋轉(zhuǎn)才能做到“唯一確定,如何讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“三要素,思考：如果缺少其中某個(gè)條件的話，旋轉(zhuǎn)后的圖形能唯一確定嗎？為了激發(fā)學(xué)生的獨(dú)立思考，可以讓他們進(jìn)行如下活動(dòng)：任意畫一個(gè)ABC， （1）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)30，得到的結(jié)果怎樣？ （2）分別繞點(diǎn)A和點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30，得到的結(jié)果一樣嗎