斯普林菲爾德分配學(xué)生答案

1、1概述研究的背景 斯普林菲爾德（Springfield ）學(xué)校董事會(huì)打算在年底關(guān)閉它的一所中學(xué)（包括6 , 7 , 8 年級(jí)）, 并在下一年將這些年級(jí)的學(xué)生分配到另外三所中學(xué)去。學(xué)校為離校距離超過(guò)1英里的所有學(xué)生提供上下課的接送服務(wù)，因此，為了節(jié)省公交費(fèi)用，學(xué)校將對(duì)學(xué)生進(jìn)行分配。從該城市的六個(gè)居住區(qū)到各所學(xué)校，每個(gè)學(xué)生的一年的公交費(fèi)用如下表所示（表中還給出了下一年的其他一些基本數(shù)據(jù)）。其中，0表示不需要公交服務(wù)，而“”表示這種分配不可能。地區(qū)學(xué)生數(shù)量6年級(jí)比例7年級(jí)比例8年級(jí)比例每學(xué)生的校車成本（美元）學(xué)校1學(xué)校2學(xué)校30007002600372835400500355002004350055

2、003934270400645000學(xué)校容量90011001000學(xué)校的董事會(huì)規(guī)定每個(gè)學(xué)校里，每一年級(jí)的學(xué)生人數(shù)必須在總?cè)藬?shù)的3036之間，上表顯示了第二年每個(gè)地區(qū)學(xué)校的各年級(jí)的學(xué)生比例?？梢詣澇鰧W(xué)生上學(xué)的地區(qū)界限，以便于在多所學(xué)校之間分配學(xué)生。但是，不管如何分配，上表所要求的每所學(xué)校的各年級(jí)的比例必須得到滿足。假設(shè)學(xué)校雇用你作為管理科學(xué)的顧問(wèn)，幫助學(xué)校決定如何在各所學(xué)校之間分配學(xué)生。2模型的建立2.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的建立目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的確定通過(guò)觀察分析，我們可以知道：目標(biāo)函數(shù)=各個(gè)居住區(qū)分配到某個(gè)學(xué)校的人數(shù)*該居住區(qū)到這個(gè)學(xué)校的學(xué)生公交費(fèi)用經(jīng)過(guò)調(diào)查分析，總結(jié)出各個(gè)居住區(qū)到學(xué)校的公交花費(fèi)，我們統(tǒng)計(jì)了

3、一個(gè)學(xué)生每年從家里到學(xué)校所要花費(fèi)的公交費(fèi)用，為了更加清晰明了，我們以表格的形式進(jìn)行整理：1.3.1各個(gè)居住區(qū)的學(xué)生到不同學(xué)校的每年公交的費(fèi)用地區(qū)每位學(xué)生每年的公交成本學(xué)校1學(xué)校2學(xué)校3130007002400500360030020042005005040065003000注：“”表示費(fèi)用無(wú)窮大，不分配學(xué)生。 居住區(qū)學(xué)生總?cè)藬?shù)以及各個(gè)年級(jí)學(xué)生的數(shù)量根據(jù)學(xué)校的調(diào)查結(jié)果 ，發(fā)現(xiàn)一共有6個(gè)居住區(qū)，每個(gè)居住區(qū)的學(xué)生數(shù)量、各個(gè)年級(jí)學(xué)生在這個(gè)居住區(qū)中所占的比例，都進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，由于數(shù)字比較多，為了更加清晰的表達(dá)出來(lái)，我們進(jìn)行了一系列的整理與分析，通過(guò)一定的計(jì)算，因而得到如下表格 1.3.2 A各個(gè)居住區(qū)學(xué)生

4、總數(shù)量與各個(gè)年級(jí)的學(xué)生比例地區(qū)學(xué)生數(shù)量6年級(jí)比例%7年級(jí)比例%8年級(jí)比例%145032383026003728353550303238435028403255003934276450342838總計(jì)2900 1.3.2b各個(gè)年級(jí)學(xué)生的總體數(shù)量地區(qū)學(xué)生數(shù)量6年級(jí)比例%7年級(jí)比例%8年級(jí)比例%每個(gè)年級(jí)學(xué)生數(shù)量總計(jì)6年級(jí)7年級(jí)8年級(jí)44171135450261682106003557620955043501123505517013550064503428380總計(jì)292900各個(gè)學(xué)校的可容納量由于學(xué)校的規(guī)模不一樣，可容納的學(xué)生數(shù)量也就不一樣，因此通過(guò)學(xué)校的研究，這些學(xué)校還可以容量的學(xué)生數(shù)量為，我們同

5、樣通過(guò)表格來(lái)表示：1.3.3 各個(gè)學(xué)校的可容納量（人）學(xué)校1學(xué)校2學(xué)校3總計(jì)學(xué)生容納量9900各個(gè)學(xué)校不同年級(jí)學(xué)生的可容納量由于校方規(guī)定，每個(gè)學(xué)校里，每一個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)必須在總?cè)藬?shù)的30%36%之間，則根據(jù)這個(gè)要求我們又得到每個(gè)年級(jí)最大與最小接收量。經(jīng)過(guò)計(jì)算，我們同樣通過(guò)表格體現(xiàn)：1.3.4各個(gè)學(xué)校不同年級(jí)學(xué)生的可容納量學(xué)校1學(xué)校2學(xué)校3學(xué)校容量90011001000各年級(jí)可容納量最小最大最小最大最小最大6年級(jí)27003607年級(jí)27003608年級(jí)2700360總計(jì)1719961080 學(xué)?？扇菁{量的總數(shù)一定學(xué)?？扇菁{量的總數(shù)為3000 2.2 變量的設(shè)定設(shè)各個(gè)居住區(qū)中各個(gè)年級(jí)分配到不同學(xué)

6、校的數(shù)量分別是：由于變量相對(duì)比較多，寫起來(lái)比文字?jǐn)⑹鲞^(guò)于復(fù)雜，我們就通過(guò)表格來(lái)表未清楚： 變量居住區(qū)各個(gè)居住區(qū)中不同年級(jí)的學(xué)生分配到各個(gè)學(xué)校的人數(shù)學(xué)校1(x1)學(xué)校2(x2)學(xué)校3(x3)6年級(jí)7年級(jí)8年級(jí)6年級(jí)7年級(jí)8年級(jí)6年級(jí)7年級(jí)8年級(jí)1x11x12x13x111x112x113x121x122x123x131x132x1332x22x23x221x222x223x231x232x2333x31x32x33x311x312x313x321x322x323x331x332x3334x41x42x411x412x413x421x422x4235x51x53x511x512x513x531x5

7、32x5336x61x62x63x611x612x613x621x622x623x631x632x6332.3 目標(biāo)函數(shù)的建立根據(jù)上述基礎(chǔ)數(shù)據(jù)可以得出如下目標(biāo)函數(shù) Minf(x)=300x11+600x31+200x41+500x61+400x22+300x32+500x42+300x62+700x13+500x23+200x33+400x53目標(biāo)函數(shù)=各個(gè)居住區(qū)分配到某個(gè)學(xué)校的人數(shù)*該居住區(qū)到這個(gè)學(xué)校的學(xué)生公交費(fèi)用 要使總損益值最小，只需要該目標(biāo)函數(shù)取得極小值即可，這與研究問(wèn)題的目的是相一致的。限制條件案例中a題的約束條件 居住區(qū)的學(xué)生總數(shù)量的約束x11+x12+x13=450x22+x23

8、=600x31+x32+x33=550x41+x42=350x51+x53=500x61+x62+x63=450 各個(gè)學(xué)?？扇菁{量的約束x11+x31+x41+x51+x61-x1=0x21+x22+x32+x42+x62-x2=0x13+x23+x33+x53+x63-x3=0各個(gè)學(xué)校中各個(gè)年級(jí)人數(shù)的約束x111+x121+x131=144x112+x122+x132=171x113+x123+x133=135x221+x231=222x222+x232=168x223+x233=210x311+x321+x331=165x312+x322+x332=176x313+x323+x333=20

9、9x411+x421=98x412+x422=140x413+x423=112x511+x531=195x512+x532=170x513+x533=135x611+x621+x631=153x612+x622+x623=126x613+x623+x633=171各個(gè)居住區(qū)總學(xué)生人數(shù)的限制x111+x112+x113-x11=0x311+x312+x313-x31=0x411+x412+x413-x41=0x511+x512+x513-x51=0x611+x612+x613-x61=0x121+x122+x123-x21=0x221+x222+x223-x22=0x321+x322+x323-

10、x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623-x62=0x131+x131+x133-x13=0x231+x232+x233-x23=0x331+x332+x333-x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623-x62=0x131+x132+x133-x13=0x231+x232+x233-x23=0x331+x332+x333-x33=0x531+x532+x533-x53=0x631+x632+x633-x63=0居住區(qū)各個(gè)年級(jí)人數(shù)的約束x111+x311+x411+x511+x611-0.3x10x111+x311+x4

11、11+x511+x611-0.36x10x112+x312+x412+x512+x612-0.36x10x113+x313+x413+x513+x613-0.36x10x121+x221+x321+x421+x621-0.36x20x122+x222+x322+x422+x622-0.36x20x123+x223+x323+x423+x623-0.36x20x131+x231+x331+x531+x631-0.36x30x132+x232+x332+x532+x632-0.36x30x133+x233+x333+x533+x633-0.36x30 案例中c題的約束條件同a題約束條件1-4，無(wú)條

12、件5約束，但增加約束條件6居住區(qū)學(xué)生分到同一學(xué)校的約束X(ijk）這些所有的變量均為整數(shù)3 模型的求解及解的分析3.1 模型的求解對(duì)該線性規(guī)劃進(jìn)行求解，結(jié)果如下所示a 為該問(wèn)題建立線性規(guī)劃模型。b 你給學(xué)校董事會(huì)的最終建議是什么？由以上的求解結(jié)果可知，當(dāng)各個(gè)居住區(qū)的學(xué)生人數(shù)分配取得相對(duì)應(yīng)的值時(shí)，即為最終成本達(dá)到426800美元。c 根據(jù)這一點(diǎn)調(diào)整你的建議，使同一個(gè)地區(qū)盡可能的分配在同一所學(xué)校里。（加人這一限制可能會(huì)使你不得不取消另外一些約束。）這樣做會(huì)增加多少公交成本？（在案例9.4 中將會(huì)對(duì)這一類的分析進(jìn)一步探討。）最終成本是420000，成本較a題減少6800元。d將問(wèn)題a 中的模型加人選項(xiàng)l重新考慮，并求解。將結(jié)果與b中的結(jié)果想比較，包括公交總成本的減少。成本為25040