高等代數(shù)北大版第6章習(xí)題答案

1、第六章 線性空間1.設(shè)證明：。證 任取由得所以即證。又因故。再證第二式，任取或但因此無論哪 一種情形，都有此即。但所以。2.證明，。證 則在后一情形，于是所以，由此得。反之，若，則 在前一情形，因此故得在后一情形，因而，得故于是。若。在前一情形X， 。 3、檢驗以下集合對于所指的線性運算是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間：1） 次數(shù)等于n（n1）的實系數(shù)多項式的全體，對于多項式的加法和數(shù)量乘法；2） 設(shè)A是一個nn實數(shù)矩陣，A的實系數(shù)多項式f（A）的全體，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；3） 全體實對稱（反對稱，上三角）矩陣，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，對于向量的加法和

2、數(shù)量乘法；5） 全體實數(shù)的二元數(shù)列，對于下面定義的運算： 6） 平面上全體向量，對于通常的加法和如下定義的數(shù)量乘法： ；7） 集合與加法同6），數(shù)量乘法定義為：；8） 全體正實數(shù)r，加法與數(shù)量乘法定義為：，；解 1）否。因兩個n次多項式相加不一定是n次多項式，例如 。2）令V=f（A）|f（x）為實數(shù)多項式，A是nn實矩陣因為 f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）所以 f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）由于矩陣對加法和數(shù)量乘法滿足線性空間定義的18條，故v構(gòu)成線性空間。 3）矩陣的加法和和數(shù)量乘法滿足線性空間定義的18條性質(zhì)，只需證明對稱矩陣（上三角矩陣，反對稱矩

3、陣）對加法與數(shù)量乘法是否封閉即可。下面僅對反對稱矩陣證明： 當(dāng)A，B為反對稱矩陣，k為任意一實數(shù)時，有 ，A+B仍是反對稱矩陣。 ，所以kA是反對稱矩陣。故反對稱矩陣的全體構(gòu)成線性空間。4）否。例如以已知向量為對角線的任意兩個向量的和不屬于這個集合。5）不難驗證，對于加法，交換律，結(jié)合律滿足，（0，0）是零元，任意（a，b）的負元是（-a，-b）。對于數(shù)乘：即。，即，所以，所給集合構(gòu)成線性空間。6）否，因為。7）否，因為，所給集合不滿足線性空間的定義。8）顯然所給集合對定義的加法和數(shù)量乘法都是封閉的，滿足所以，所給集合構(gòu)成線性空間。4 在線性空間中，證明：1） 2）。證 1）。2）因為。5 證

4、明：在實函數(shù)空間中，1，式線性相關(guān)的。證 因為，所以1，式線性相關(guān)的。6 如果是線性空間中三個互素的多項式，但其中任意兩個都不互素，那么他們線性無關(guān)。證 若有不全為零的數(shù)使，不妨設(shè)則，這說明的公因式也是的因式，即有非常數(shù)的公因式，這與三者互素矛盾，所以線性無關(guān)。7 在中，求向量在基下的坐標。設(shè)1）；2）。解 1）設(shè)有線性關(guān)系，則，可得在基下的坐標為。2）設(shè)有線性關(guān)系，則，可得在基下的坐標為。8求下列線性空間的維數(shù)于一組基：1）數(shù)域P上的空間P；2）P中全體對稱（反對稱，上三角）矩陣作成的數(shù)域P上的空間；3)第3題8)中的空間;4)實數(shù)域上由矩陣A的全體實系數(shù)多項式組成的空間,其中A=。解 1)

5、的基是且。2) i)令，即其余元素均為零,則 是對稱矩陣所成線性空間 的一組基,所以是維的。ii)令，即其余元素均為零,則是反對稱矩陣所成線性空間的一組基, 所以它是維的。iii) 是上三角陣所成線性空間的一組基,所以它是維的。3)任一不等于1的正實數(shù)都是線性無關(guān)的向量,例如取2，且對于任一正實數(shù),可經(jīng)2線性表出，即.,所以此線性空間是一維的，且2是它的一組基。4)因為,所以，于是， 而。9.在中,求由基，到基的過渡矩陣,并求向量在所指基下的坐標。設(shè) ，在下的坐標； ，在下的坐標； ，在下的坐標；解 （）=（）=（）A這里A即為所求由基到的過渡矩陣，將上式兩邊右乘得，得 （）=（），于是 （）

6、=（），所以在基下的坐標為 ，這里=。令則（）=()=()A，（）=()=()B，將()=（）代入上式,得（）=（）B，這里=,B=，且即為所求由基到基的過渡矩陣，進而有=()=（） =（），所以在下的坐標為。同，同理可得A=B=則所求由到的過渡矩陣為B=。再令+b+c+d，即，由上式可解得在下的坐標為下的坐標為 。10繼第9題1）求一非零向量，它在基與下有相同的坐標。解 設(shè)在兩基下的坐標為，則 =（）=（）。又因為 （）=（）=（）A，所以 =A（A - E）=0。又 ，于是只要令 ，解此方程組得 = (c為任意非零常數(shù))，取c為某個非零常數(shù)，則所求為 。11.證明：實數(shù)域作為它自身的線性空

7、間與第3題8）中的空間同構(gòu)。證 因為它們都是實數(shù)域上的一維線性空間，故同構(gòu)。12.設(shè)都是線性空間的子空間，且，證明：如果的維數(shù)與的維數(shù)相等，那么。證 設(shè)dim()=r，則由基的擴充定理，可找到的一組基，因，且它們的唯數(shù)相等，故，也是的一組基，所以=。13。1）證明：全體與可交換的矩陣組成的一個子空間，記做C（A）；2）當(dāng)A=E時，求C（A）；3）當(dāng)A=時，求C（A）的維數(shù)和一組基。證 1）設(shè)與A可交換的矩陣的集合記為C(A)。若B,D屬于C(A)，可得 A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A， 故 B+DC(A)。若k是一數(shù)，B，可得 A（kB）=k(AB)=k(BA)=(kB)A

8、，所以kBC(A)。故C(A)構(gòu)成子空間。2）當(dāng)A=E時，C（A）=。3）設(shè)與A可交換的矩陣為B=（），則B只能是對角矩陣，故維數(shù)為n,即為它的一組基。14.設(shè)求中全體與可交換的矩陣所成的子空間的維數(shù)和一組基。解 若記 A=，并設(shè)B=與A可交換，即AB=BA，則SB=BS。且由SB=，BS=，可是，又 ，即，該方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，所以解空間的維數(shù)為5。取自由未知量a,，并令b=1，其余為0，得=3,a=3;令=1，其余為0，得=3,a=;令=1，其余為0，得=1,a=1;令=1，其余為0，得=0,a=;令=1，其余為0，得=1,a=1;則與A可交換的矩陣為 B=，其中,a,可經(jīng)b,表示,

9、所求子空間的一組基為, , , ，且維數(shù)為5。15如果 且，證明：L=L。證 由，知所以a可經(jīng)線性表出，即可經(jīng)線性表出，同理，也可經(jīng)線性表出。故L=L。16在中，求由下面向量組生成的子空間的基與維數(shù)。設(shè)1） ， 。 解 1）的一個極大線性無關(guān)組，因此為L的一組基，且的維數(shù)是3。 2）的一個極大線性無關(guān)組為，故是L的一組基，且維數(shù)為2。17在中，由齊次方程組確定的解空間的基與維數(shù)。解 對系數(shù)矩陣作行初等變換，有 所以解空間的維數(shù)是2，它的一組基為 ，。18.求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間的交的基與維數(shù)，設(shè) 1） ； 2） ； 3） 。解 1）設(shè)所求交向量 ， 則有 ， 即 ， 可算得，

10、 且 ， 因此方程組的解空間維數(shù)為1，故交的維數(shù)也為1。任取一非零解，得一組基 ， 所以它們的交L是一維的，就是其一組基。 2）設(shè)所求交向量 ， 則有 ， 因方程組的系數(shù)行列式不等于0，故方程組只有零解，即從而 交的維數(shù)為0。 3）設(shè)所求交向量為 ， 即 ，由 知解空間是一維的，因此交的維數(shù)是1。令，可得，因此交向量就是一組基。19 設(shè)與分別是齊次方程組的解空間，證明：證 由于的解空間是你n1維的，其基為而由 知其解空間是1維的，令則其基為且即為的一組基，從而又，故 。20 證明：如果那么 。證 由題設(shè)知 因為 所以 ， 又因為 所以 故， 即證。 21. 證明：每一個n維線性空間都可以表示成

11、n個一維子空間的直和。 證 設(shè)是n維線性空間V的一組基。顯然都是V的一維子空間，且 V ，又因為 ， 故 。 22證明：和是直和的充分必要條件是。 證 必要性是顯然的。這是因為，所以 。 充分性 設(shè)不是直和，那么0向量還有一個分解， 其中。在零分解式中，設(shè)最后一個不為0的向量是 則 ，即 ，因此，這與矛盾，充分性得證。23. 再給定了空間直角坐標系的三維空間中，所有自原點引出的向量天添上零向量構(gòu)成一個三維線性空間R。1） 問所有終點都在一個平面上的向量是否為子空間？2） 設(shè)有過原點的三條直線，這三條直線上的全部向量分別成為三個子空間問能構(gòu)成哪些類型的子空間，試全部列舉出來;3）就用該三維空間的

12、例子來說明，若U,V,X,Y是子空間，滿足U+VX，XY，是否一定有。解 1）終點所在的平面是過原點的平面，那么所有這些向量構(gòu)成二維子空間；但終點在不過原點的平面上的向量不構(gòu)成子空間，因為對加法不封閉。2) ；（1）直線與重合時，是一維子空間；（2）與不重合時，時二維子空間。 ：（1） 重合時，構(gòu)成一維子空間；（2） 在同一平面上時，構(gòu)成二維子空間；（3） 不在同一平面上時，構(gòu)成三維子空間。3） 令過原點的兩條不同直線，分別構(gòu)成一維子空間U和V，XUV是二維子空間，在，決定的平面上，過原點的另一條不與，相同的直線構(gòu)成一維子空間Y，顯然因此，故 并不成立。二補充題參考解答11）證明：在Px中，多

13、項式 （i1，2，n）是一組基，其中是互不相同的數(shù)；2)在1）中，取是全體n次單位根，求由基1，到基的過渡矩陣。證 1）設(shè) ，將代入上式 ，得 ， 于是0。同理，將分別代入，可得， 所以線性無關(guān)。而Px是n維的，故是Px的一組基。2）取為全體單位根則 ， ， .， 故所求過渡矩陣為。2設(shè)是n維線性空間V的一組基，A是一個ns矩陣，且，證明：的維數(shù)等于A的秩。證 只需證的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)等于A的秩。設(shè)，且。不失一般性，可設(shè)A的前r列是極大線性無關(guān)組，由條件得，可證構(gòu)成，的一個極大線性方程組。事實上，設(shè)，于是得，因為線性無關(guān)，所以，該方程組的系數(shù)矩陣秩為故方程組只有零解，于是線性無關(guān)。

14、 其次可證：任意添一個向量后，向量組，一定線性相關(guān)。事實上，設(shè)，于是，其系數(shù)矩陣的秩為rr+1，所以方程組有非零解 即，線性相關(guān)。因此，是的極大線性無關(guān)組。從而的維數(shù)等于A的秩，即等于。3. 設(shè)是一秩為n的二次型，證明：有的一個維子空間（其中為符號差），使對任一，有0。證 設(shè)的正慣性指數(shù)為p，負慣性指數(shù)為q，則p+q=n。于是存在可逆矩陣，C，YCX，使，由。下面僅對 pq證明（pq時類似可證）。將Y=CX展開，有方程組，任取，則線性無關(guān)，將分別代入方程組，可解得，使得，且線性無關(guān)。 下面證明p維子空間（）即為所要求得。事實上，對任意（），設(shè)，代入得故 即證=（）。4. 設(shè)，是線性空間的兩個非平凡的子空間，證明：在中存在，使 同時成立。證 因為，非平凡的子空間，故存在，如果，則命題已證。設(shè) 則一定存在，若，則命題也得證。下設(shè)，于是有及， 因而必有。事實上，若，又，則由是子空間，必有，這與假設(shè)矛盾，即證，同理可證，證畢。5 設(shè)