(最新整理)無人機避障系統(tǒng)模型

1、(完整)無人機避障系統(tǒng)模型(完整)無人機避障系統(tǒng)模型 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內(nèi)容進行仔細(xì)校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)無人機避障系統(tǒng)模型）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進步的源泉，前進的動力。本文可編輯可修改，如果覺得對您有幫助請收藏以便隨時查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績進步，以下為(完整)無人機避障系統(tǒng)模型的全部內(nèi)容。無人機避障系統(tǒng)模型1。無人機位置模型就本質(zhì)而言，無人機避障是對其位置進行控制的過程。因此首先需要建立起能夠反應(yīng)

2、無人機所處位置的完善系統(tǒng).此外，由于無人機運行中需要一定的空間體積，而且在改變飛行狀態(tài)時也需要考慮其姿態(tài)的變化，故而也有必要對其進行姿態(tài)控制。無人機的位置控制與姿態(tài)控制分別涉及到無人機機體坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系，兩者分別如圖4。1表示。圖4.1無人機機體坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系圖中無人機機體坐標(biāo)系vb以無人機機身本體的幾何中心為原點，以無人機的橫滾、俯仰以及垂直無人機機體向上方向作為無人機機體坐標(biāo)系vb的三個坐標(biāo)軸。地面坐標(biāo)系vg則以無人機的起飛位置作為坐標(biāo)原點,三個坐標(biāo)軸分別取為正東方向、正北方向與垂直地面向上方向。無人機機體坐標(biāo)系vb與地面坐標(biāo)系vg之間可以相互轉(zhuǎn)化，具體的轉(zhuǎn)化公式為：（4。1)在上

3、述兩個坐標(biāo)系中可以實現(xiàn)無人機位置的準(zhǔn)確描述，以此為基礎(chǔ)，可以進一步實現(xiàn)無人機飛行軌跡規(guī)劃等任務(wù)。當(dāng)無人機在飛行過程中遭遇障礙物時，需要及時動作以避開障礙，由于環(huán)境中障礙物的出現(xiàn)存在較大的隨機性，因此障礙的具體位置信息無法事先由地面坐標(biāo)系vg描述，也就是說，僅依靠地面坐標(biāo)系vg的坐標(biāo)信息無法實現(xiàn)無人機避障任務(wù)。為此，需要進一步研究獲取無人機與障礙物之間的相對位置關(guān)系，即建立起無人機輔助避障坐標(biāo)系，并以此為基礎(chǔ)進一步設(shè)計避障動作控制算法.2無人機輔助避障模型無人機在飛行過程中往往會遇到隨機出現(xiàn)的障礙物分布，如果不能及時避障則會導(dǎo)致嚴(yán)重的損失與危害。為了實現(xiàn)無人機的避障控制功能,以四旋翼無人機為對象

4、建立地面坐標(biāo)系vg與無人機機體坐標(biāo)系vb下的無人機動力學(xué)模型：（4.2)（4.3)（4.4）(4。5)（4。6)(4.7)其中，式4.24。4為無人機的姿態(tài)控制方程，式4。54.7表示無人機在地面坐標(biāo)系vg中的位置信息。無人機飛行控制技術(shù)目前已經(jīng)十分成熟，可以達(dá)到較為穩(wěn)定的飛行控制效果.因此，在現(xiàn)有飛行控制技術(shù)的基礎(chǔ)上進行無人機避障控制系統(tǒng)的設(shè)計與研究。在本文2.2.2節(jié)已經(jīng)描述，四旋翼無人機的飛行動作由四個方面構(gòu)成,分別為升降、俯仰、橫滾與偏航。而事實上,會對無人機與障礙物相對位置產(chǎn)生影響的飛行動作僅包括前三類動作，這是由于偏航是通過對無人機自身的正反轉(zhuǎn)馬達(dá)轉(zhuǎn)速而產(chǎn)生的反扭矩實現(xiàn)無人機轉(zhuǎn)向控

5、制。當(dāng)無人機轉(zhuǎn)向發(fā)生時，其與障礙物之間的相對位置不發(fā)生變化。據(jù)此，在無人機俯仰、升降和橫貫三個方向上進行建模，獲得輔助無人機避障坐標(biāo)系vf如圖4。2所示圖4。2輔助無人機避障坐標(biāo)系其中,無人機起飛前的位置坐標(biāo)為原點o，以在起點處無人機水平向右翻滾為x軸正方向，以在起點處無人機水平向前俯仰為y軸正方向,以垂直于x軸、y軸而向上的方向為z軸正方向.為了區(qū)別輔助無人機避障坐標(biāo)系vf與地面坐標(biāo)系vb，列寫兩者區(qū)別于表4.1。表4。1位置控制地面坐標(biāo)系vb與輔助無人機避障坐標(biāo)系vf對比坐標(biāo)系元素地面坐標(biāo)系vb輔助無人機避障坐標(biāo)系vf原點地面起飛點地面起飛點x軸正東方向無人機俯仰飛行方向y軸正北方向無人機

6、橫滾飛行方向z軸垂直地面向上垂直于x、y軸向上在輔助無人機避障坐標(biāo)系中分析障礙物與無人機的相對運動關(guān)系。設(shè)障礙物與無人機的坐標(biāo)分別為（u, v， w）和（x, y， z），則可以計算得到無人機相對于障礙物的坐標(biāo)為：x軸坐標(biāo)：dz=w-zy軸坐標(biāo)：dy=v-y(4。8）z軸坐標(biāo)：dx=u-x為了能夠更加精確的對無人機飛行狀態(tài)進行控制，需要在輔助無人機避障坐標(biāo)系中對其進行受力分析。在x軸方向上無人機受升力在橫滾方向上的分力作用;在y軸方向上無人機受升力在俯仰方向上的分力作用;在z軸方向上，無人機受升力在垂直方向的分力與其自身重力的共同作用。線性化處理輔助無人機避障坐標(biāo)系vf與地面坐標(biāo)系vb可以得到

7、：（4。9）則無人機所產(chǎn)生的各個方向上的分力為：(4。10）由以上兩式可以得到在輔助無人機避障坐標(biāo)系vf下各個方向的運動方程為：(4。11）其中，(u， v, w)為障礙物在輔助無人機避障坐標(biāo)系vf下的坐標(biāo)位置，f為四旋翼無人機電機產(chǎn)生的升力，為無人機飛行狀態(tài)的俯仰角度，為無人機的橫滾角度，m為無人機重量.由式(4.11）可以看出，無人機垂直方向上的位置僅與無人機產(chǎn)生的升力相關(guān)，在進行俯仰與橫滾動作時，無人機的狀態(tài)與俯仰角度和橫滾角度相關(guān)。也就是說當(dāng)升力一定時,無人機在俯仰方向與橫滾方向上的變化只和俯仰角度和橫滾角度相關(guān)。接下來對無人機在垂直方向、俯仰方向與橫滾方向上的控制方程進行推導(dǎo)：(1）

8、垂直方向上的控制方程推導(dǎo)無人機所受重力為恒定值,因此垂直方向上的作用力uz為（4。12）由牛頓第二定律:（4。13）對式（4。13)拉氏變換：（4.14)由于無人機起飛前處于靜止，初速度為0，因此式中有z(0)=z(0)=0,因此垂直方向上的傳遞函數(shù)gz(s)為:（4。15）（2)俯仰及橫滾方向上的控制方程推導(dǎo)假設(shè)無人機所產(chǎn)生的升力為恒定值,則式（4。11）中的f為一常數(shù)，則俯仰與橫滾方向的受力方程為：(4.16)同樣的，由拉氏變換可以得到:(4.17）顯然，起飛前無人機在x軸和y軸方向的速度分量均為0，則無人機在俯仰及橫滾方向的傳遞函數(shù)為:（4.18）在獲得式（4.15）與（4.18）的基礎(chǔ)

9、上，可以設(shè)計輔助無人機避障系統(tǒng)以實現(xiàn)無人機的避障功能。又由式（4。4）可以得知，四旋翼無人機的避障控制其本質(zhì)是對高度和水平位置，而高度的控制與無人機的角度變量無關(guān)。在水平方向上，俯仰角度與橫滾角度與無人機受到的升力有關(guān)，因此可以通過pid控制技術(shù)實現(xiàn)避障.3pid避障控制模型優(yōu)化設(shè)計3。1pid控制及參數(shù)介紹飛行器的避障系統(tǒng)主要作用是對飛行器的飛行位置、飛行路徑進行控制調(diào)整。避障系統(tǒng)對飛行器的控制調(diào)整分為水平飛行軌跡調(diào)整、飛行高度調(diào)整兩方面。本文采用比例積分微分(pid：proportionalintegratedifferential）控制器對飛行器飛行高度進行控制調(diào)整。pid是按照偏差的比

10、例p、積分i、微分d進行控制的調(diào)節(jié)器,主要基于控制對象進行參數(shù)調(diào)節(jié).pid控制系統(tǒng)在工業(yè)、機械控制領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用.pid控制器結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便而成為過程控制的主要技術(shù)之一。除控制效果好、容易實現(xiàn)等特點外，它原理簡單并且理論分析體系完整、參數(shù)物理意義明確，所以在過程控制中得到了廣泛應(yīng)用。簡而言之，pid控制系統(tǒng)中，在比例負(fù)反饋的基礎(chǔ)上加入微分項實現(xiàn)快速調(diào)節(jié)，加入積分項實現(xiàn)無靜差.pid控制原理如圖4.3所示：圖4。3pid控制原理圖對應(yīng)于圖4.3，pid控制器的一般形式可以寫為：(4。19)在式（4.15）中分別采用kp，ki和kd表示比例、積分和微分系數(shù)，進而得到pid

11、控制器的傳遞函數(shù)模型如下：（4。20)pid控制器中的各控制參數(shù)的主要作用分別為：（1）比例控制（p）比例控制系數(shù)用于減少偏差,可以及時成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號.偏差一旦產(chǎn)生,pid控制器可以立即產(chǎn)生控制作用,從而減少偏差。加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，同時間提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度.比例系數(shù)越大,系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快，控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度也就越高，即控制系統(tǒng)對偏差的重視程度越高.但是比例控制系統(tǒng)過大將產(chǎn)生超調(diào)，甚至導(dǎo)致控制系統(tǒng)穩(wěn)定嚴(yán)重降低；比例控制系數(shù)過小時，控制系統(tǒng)的降調(diào)節(jié)精度會降低，使系統(tǒng)響應(yīng)速度緩慢，調(diào)節(jié)時間被延長，此時系統(tǒng)是動態(tài)、靜態(tài)特性變差。（2）積分控制（i）積分控制系數(shù)用來提高系統(tǒng)的無差度，

12、即消除靜差。積分時間常數(shù)決定了積分作用的強弱。積分時間常數(shù)越大，積分作用越弱;反之，積分時間常數(shù)越小，積分作用則越強.積分作用系數(shù)越大，控制系統(tǒng)的靜態(tài)誤差消除越大，但此時積分作用過大，在響應(yīng)過程的開始階段會產(chǎn)生積分飽和現(xiàn)象，從而引起響應(yīng)過程的較大超調(diào)。如積分作用系數(shù)過小，則系統(tǒng)靜差將難以消除，控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度將受到影響。（3)微分控制（d）微分控制系數(shù)主要用于反映偏差信號的變化速率，即反映偏差信號的變化趨勢，及時在控制系統(tǒng)中引入修正信號(在偏差信號值變得太大之前在系統(tǒng)中引入），從而使系統(tǒng)迅速產(chǎn)生控制作用,加快系統(tǒng)的動作速度，減少所需調(diào)節(jié)時間。3.2輔助無人機避障系統(tǒng)的pid控制仿真無人機的p

13、id控制是指當(dāng)飛抵障礙物附近時，無人機通過控制自身位置達(dá)到避障的效果。由無人機輔助避障控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型可知，無人機的位置移動分為兩種,分別是高度位移和水平位移。并且高度控制和水平位移沒有相互耦合關(guān)系，可單獨采用pid控制實現(xiàn)對高度避障的控制，具體的控制方程為：(4.21）高度避障通道:由式（4.15）可知系統(tǒng)傳遞函數(shù)和無人機質(zhì)量有關(guān)。在此假設(shè)四旋翼無人機的重量為7 kg。進一步可得以飛行器為整體，得到無人機在高度避障通道的傳遞函數(shù)為式（4。22）所示:（4.22）可以得到無人機飛行高度的控制流程如圖4.4所示：圖4.4高度輔助避障通道控制流程由經(jīng)驗值設(shè)置參數(shù),如圖4.5所示，在matlab的s

14、imulink環(huán)境下設(shè)置取比例控制系數(shù)kp為-127，積分控制系數(shù)ki為13，微分控制系數(shù)kd為37?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4。6所示。圖4.5高度輔助避障通道pid控制仿真參數(shù)設(shè)置圖4。6高度輔助避障通道pid控制仿真模型以單位階躍響應(yīng)為激勵源仿真得到系統(tǒng)高度通道的響應(yīng)如圖4.7所示。圖4.7高度通道仿真系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)可以看出，該pid系統(tǒng)在階躍源的作用下在1。69s后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定后該系統(tǒng)無震蕩現(xiàn)象發(fā)生，調(diào)節(jié)過程較為平穩(wěn)。但該系統(tǒng)的超調(diào)量與穩(wěn)態(tài)時間均高于實際要求,因此無法滿足無人機控制中的需要.俯仰避障通道：由式（4.18）可以發(fā)現(xiàn)，無人機在俯仰方向的動作同無人機產(chǎn)生的升力和無人機重量

15、有著直接的關(guān)系.在飛行過程中可能出現(xiàn)無人機升力大于、等于、小于無人機重量的情況.由于無人機升力即高度方向的輔助避障控制是單獨的，與俯仰和橫滾沒有耦合關(guān)系。在此，直接將無人機產(chǎn)生的升力f假設(shè)為常數(shù)（等于重力）。此時,無人機在俯仰避障通道的傳遞函數(shù)如式(4.23）所示，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4.8所示。(4.23)圖4。8俯仰輔助避障通道pid控制仿真模型式中,g為重力加速度，取9。8 m/s2。采用pid控制器控制并取kp=1.4,ki=0。125，kd=-0.468,得避障系統(tǒng)在俯仰通道的單位階躍響應(yīng)如圖4.9所示：圖4.9俯仰避障通道仿真系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由上圖可以看出，俯仰避障通道在施加激勵源作

16、用2s后達(dá)到穩(wěn)定，穩(wěn)定后狀態(tài)保持平穩(wěn)，沒有出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象.但在整個調(diào)節(jié)過程中,系統(tǒng)表現(xiàn)出了較為劇烈的震蕩，而這將會對無人機的pid控制產(chǎn)生較為嚴(yán)重的影響。3。3基于遺傳算法的pid避障系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計3.3。1遺傳算法介紹遺傳算法（genetic algorithms， ga）是j. holland于1975年受生物進化論的啟發(fā)而提出的。ga是一種基于自然選擇和基因遺傳學(xué)原理的優(yōu)化搜索算法。其創(chuàng)立過程有兩個研究目的：其一是抽象地解釋自然界的適應(yīng)過程;其二是為了將生物系統(tǒng)的機理運用到工程系統(tǒng)、計算機系統(tǒng)或商業(yè)系統(tǒng)等人工系統(tǒng)的設(shè)計中.ga是基于“適者生存”的一種高度并行、隨機和自適應(yīng)的優(yōu)化算法,它將問題

17、的求解表示成“染色體”的適者生存過程,通過“染色體群的一代代不斷進化，包括復(fù)制、交叉、變異等操作，最終收斂到“最適應(yīng)環(huán)境的個體，從而求得問題的最優(yōu)解和滿意解，而其兩個最顯著的特點則是隱含并行性和全局解空間搜索.目前，隨著計算機技術(shù)的發(fā)展,越來越得到人們的重視，并在機器學(xué)習(xí)、模式識別、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、優(yōu)化控制等領(lǐng)域中得到了成功的應(yīng)用。遺傳算法包括以下幾個部分：(1)基因鏈碼生物的性狀是由生物的遺傳基因的鏈碼所決定的.在使用遺傳算法時,需要把問題的每一個解編碼成為一個基因鏈碼。因此說，一個基因鏈碼就代表問題的一個解，每個基因鏈碼有時也被稱作一個個體。有時也把基因鏈碼稱作染色體（2）群體一些個體組成了一個

18、群體，一個群體是若干個個體的集合.由于每個個體代表了問題的一個解，所以一個群體就是問題的解的集合。（3)交叉許多生物體的繁衍是通過染色體的交叉完成的。交叉算子在遺傳算法中的實現(xiàn)過程如下：選擇群體中的任意兩個個體x1和x2，以這兩個個體為雙親做基因鏈碼的交叉，從而產(chǎn)生兩個新個體x1、x2,作為它們的后代.交叉方法有單點交叉和多點交叉等,交叉算子是以一定的概率發(fā)生的，這一概率稱為交叉概率。(4)變異在生物體的繁衍過程中變異是一個重要的步驟。通過在染色體上的某些基因位置產(chǎn)生突變使得新產(chǎn)生的個體與其他個體有所不同.（5）適應(yīng)度生物體對環(huán)境的適應(yīng)程度的不同而表現(xiàn)出不同的生命力。每個個體對應(yīng)于優(yōu)化問題的一

19、個解xi，每個解xi對應(yīng)于一個函數(shù)值fi.可以用每個個體的函數(shù)值fi作為它對環(huán)境的適應(yīng)度。(6)選擇選擇的目的是為了從當(dāng)前群體中選出優(yōu)良的個體，使它們有機會作為父代交叉變異產(chǎn)生后代個體.在自動控制領(lǐng)域，遺傳算法因其優(yōu)越的性能而得到了廣泛的應(yīng)用。3。3.2基于遺傳算法的pid參數(shù)優(yōu)化由本文1。2.2。1部分的介紹可以得出,遺傳算法在自動控制領(lǐng)域的突出優(yōu)勢在于通過將待優(yōu)化的參數(shù)組合編碼后，不斷進行交遺傳、交叉與變異操作，除了可以在極大程度上豐富了“基因庫”內(nèi)的參數(shù)組合外，也可以依據(jù)具體問題計算每個參數(shù)組合對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，由此得到最優(yōu)解.為了能夠利用遺傳算法實現(xiàn)無人機pid參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計,首先有必

20、要明確待編碼的pid控制參數(shù),即kp， ki, kd之值。給出pid控制過程方程如式（4。19）所示。由此,當(dāng)前待解決的問題由無人機運動的pid控制轉(zhuǎn)變?yōu)閜id參數(shù)kp, ki， kd值的優(yōu)化選取。具體流程如下：(1）確定待優(yōu)化參數(shù)及優(yōu)化范圍.由實際需要確定待優(yōu)化的pid參數(shù)，并通過simulink初步仿真試驗結(jié)果結(jié)合工程實際中的參數(shù)范圍與精度確定參數(shù)的優(yōu)化區(qū)間；（2）初始化種群。按照設(shè)定的種群規(guī)模完成種群初始化,由算法給出pid參數(shù)的選取結(jié)果。（3）確定目標(biāo)函數(shù)。綜合pid控制過程的準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性、快速性等性能來評價pid參數(shù)組合的實際性能與優(yōu)劣情況.（4）確定后代群體。通過目標(biāo)函數(shù)計算得到

21、每組pid參數(shù)對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，進而求得該組pid參數(shù)的復(fù)制概率。其中,能保留下來的是復(fù)制概率大的個體,被淘汰的是復(fù)制概率小的個體.再對其進行單點交叉(概率為pc）運算，隨機確定交叉位置，用pc的概率從下一代中選取字串再進行交叉運算.最后把運算后得到的下一代進行變異操作，其概率是pm。（5）優(yōu)化。用遺傳算法在pid控制參數(shù)中進行編程尋優(yōu),得到最優(yōu)的pid參數(shù)。以上過程即為利用遺傳算法實現(xiàn)無人機pid控制的具體流程，對應(yīng)流程圖如圖4。10所示.圖4。10基于遺傳算法的pid參數(shù)整定流程本文設(shè)置初始種群規(guī)模為200,交叉概率為0.7，變異概率為0。01。其余參數(shù)設(shè)置如表4。2所示。表4.2位置控制

22、地面坐標(biāo)系vb與輔助無人機避障坐標(biāo)系vf對比參數(shù)名稱參數(shù)值種群規(guī)模(g）200最大進化次數(shù)（maxgen)300個體長度（l）10選擇概率（pr）0。95交叉概率(pc）0.7變異概率（pm）0。01設(shè)個體i與個體i+1之間進行交叉，交叉算子為：（4。24）其中：xit，xi+1t為交叉前指紋參數(shù)組;xit+1，xi+1t+1為交叉后指紋參數(shù)組；ci在0， 1內(nèi)取值。假設(shè)對個體i進行變異操作，變異算子為:（4。25）其中:xit為變異前指紋參數(shù)組；xi+1t為變異后指紋參數(shù)組;ci在uminxit, umax+xit上隨機分布。以無人機橫滾方向的pid控制為例,該通道上無人機的pid控制傳遞函

23、數(shù)為:(4.26）為獲取較好的動態(tài)特性，在確定性能指標(biāo)j時選擇誤差絕對值時間積分性能指標(biāo)作為參數(shù)確定的最小目標(biāo)函數(shù)。同時，為了防止控制能量過大，在目標(biāo)函數(shù)中加入控制輸入的平方項。即采用式(4。27)作為最優(yōu)指標(biāo):(4。27）其中：e(t）為系統(tǒng)誤差；u(t）為控制器輸出；w1, w2， w3為參數(shù)權(quán)重。經(jīng)反復(fù)測試，本文選取pc=0.9,w1=0.999,w2=0.01，得離散化后的最優(yōu)指標(biāo)為(4。28)以式（4.28)為目標(biāo)函數(shù)進行訓(xùn)練，得到收斂趨勢如圖4.11所示:圖4.11不同世代數(shù)下的最優(yōu)個體適應(yīng)度函數(shù)值可以看出，由遺傳算法計算pid優(yōu)化控制參數(shù)迭代計算第171次后即可以求得穩(wěn)定的最優(yōu)組

24、合.對應(yīng)的組合參數(shù)為kp, ki, kd = 39.9926, 1.7923， 3.4978(4.29）對應(yīng)得到優(yōu)化后的控制系統(tǒng)對單位階躍激勵的響應(yīng)曲線如圖4.12所示。圖4.12橫滾方向上避障系統(tǒng)pid參數(shù)優(yōu)化前后的階躍響應(yīng)曲線可以清楚的看到，經(jīng)過遺傳算法優(yōu)化后得到的pid控制參數(shù)組合極大程度上提高了系統(tǒng)的時間積分性能，系統(tǒng)調(diào)節(jié)至穩(wěn)定狀態(tài)所需要的時間由之前的2s下降至僅需要1.25s。但需要注意的是,當(dāng)前階段的優(yōu)化是以時間積分性能，即j1目標(biāo)函數(shù)展開,因此未充分考慮系統(tǒng)超調(diào)量參數(shù)的表現(xiàn)情況，導(dǎo)致控制過程中出現(xiàn)了較大的超調(diào)。為了解決這一問題，需要進行系統(tǒng)的二次優(yōu)化，即在j1目標(biāo)的基礎(chǔ)上，加入超調(diào)量（t)一同參與pid參數(shù)優(yōu)化，得到新的目標(biāo)函數(shù)：（4.30)