高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何概型學(xué)案 新人教A版必修5

1、山東省沂水縣第一中學(xué)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：幾何概型(1)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.2.了解幾何概型的意義自主梳理1幾何概型如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型2在幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式P(A)_.求試驗(yàn)中幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可求解3要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)：(1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性4古典概型與幾何概型的區(qū)別(1)相同點(diǎn)：基本事件發(fā)生

2、的可能性都是_；(2)不同點(diǎn)：古典概型的基本事件是有限個(gè)，是可數(shù)的；幾何概型的基本事件是_，是不可數(shù)的自我檢測(cè)1(2011南陽調(diào)研)在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并且以線段AM為邊作正方形，則這個(gè)正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為()A. B. C. D.2(2011福建)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自ABE內(nèi)部的概率等于()A. B. C. D.3.如圖所示，A是圓上一定點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A，連接AA，得到一條弦，則此弦的長度小于或等于半徑長度的概率為()A. B.C. D.4(2010湖南)在區(qū)

3、間1,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則|x|1的概率為_5(2011江西)小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書則小波周末不在家看書的概率為_探究點(diǎn)一與長度有關(guān)的幾何概型例1國家安全機(jī)關(guān)監(jiān)聽錄音機(jī)記錄了兩個(gè)間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30 min長的磁帶上，從開始30 s處起，有10 s長的一段內(nèi)容包含兩間諜犯罪的信息后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯(cuò)了鍵，使從此處起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪的內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？

4、變式遷移1在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是_探究點(diǎn)二與角度有關(guān)的幾何概型例2(2011承德模擬)如圖所示，在等腰RtABC中，過直角頂點(diǎn)C在ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AMb.當(dāng)ab時(shí)，a，b取值的情況有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件數(shù)為6，方程f(x)0有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率為P(A).6分(2)a從區(qū)間0,2中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間0,3中任取一個(gè)數(shù)，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域(a，b)|0a2,0b3，這是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積S236.8分設(shè)“方

5、程f(x)0沒有實(shí)根”為事件B，則事件B所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸(a，b)|0a2,0b3，ab，即圖中陰影部分的梯形，其面積SM6224.10分由幾何概型的概率計(jì)算公式可得方程f(x)0沒有實(shí)根的概率為P(B).12分【突破思維障礙】1古典概型和幾何概型的區(qū)別在于試驗(yàn)的全部結(jié)果是否有限，因此到底選用哪一種模型，關(guān)鍵是對(duì)試驗(yàn)的確認(rèn)和分析2用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】1計(jì)算古典概型的概率時(shí)，列舉基本事件應(yīng)不重不漏2計(jì)算幾何概型的概率時(shí)，區(qū)域的幾何度量要準(zhǔn)確無誤1幾何概型：若一個(gè)試驗(yàn)具有兩個(gè)特征：每次試驗(yàn)的結(jié)果是無限多個(gè)，且全體結(jié)果可用一個(gè)有度量的幾何

6、區(qū)域來表示；每次試驗(yàn)的各種結(jié)果是等可能的那么這樣的試驗(yàn)稱為幾何概型2由概率的幾何定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞應(yīng)理解為對(duì)應(yīng)于每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小僅與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無關(guān)3幾何概型的概率公式：設(shè)幾何概型的基本事件空間可表示成可度量的區(qū)域，事件A所對(duì)應(yīng)的區(qū)域用A表示(A)，則P(A).(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2009遼寧)ABCD為長方形，AB2，BC1，O為AB的中點(diǎn)，在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為()A. B1 C. D12(2011天津和平區(qū)模擬)在面積為S的ABC的邊AB

7、上任取一點(diǎn)P，則PBC的面積大于的概率是()A. B. C. D.3(2010青島模擬)如右圖，在一個(gè)長為，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線ysin x(0x)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是()A. B. C. D.4已知函數(shù)f(x)x2bxc，其中0b4,0c4.記函數(shù)f(x)滿足的事件為A，則事件A的概率為()A. B. C. D.5(2011濱州模擬)在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在單位圓x2y21內(nèi)的概率為()A. B. C. D.二、填空題(每小題4分，共12分)6(2010陜西)從如圖所

8、示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M落在陰影部分的概率為_7如圖所示，半徑為10 cm的圓形紙板內(nèi)有一個(gè)相同圓心的半徑為1 cm的小圓現(xiàn)將半徑為1 cm的一枚硬幣拋到此紙板上，使硬幣整體隨機(jī)落在紙板內(nèi)，則硬幣落下后與小圓無公共點(diǎn)的概率為_8(2011濟(jì)南模擬)在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，規(guī)則如程序框圖所示，則能輸出數(shù)對(duì)(x，y)的概率是_三、解答題(共38分)9(12分)已知等腰RtABC中，C90.(1)在線段BC上任取一點(diǎn)M，求使CAM30的概率；(2)在CAB內(nèi)任作射線AM，求使CAM0成立時(shí)的概率學(xué)案62幾何概型自主梳理2.4(1)相等的(2)無限個(gè)自我檢測(cè)1AAM 236,81，A

9、M6,9，P.2C這是一道幾何概型的概率問題，點(diǎn)Q取自ABE內(nèi)部的概率為.故選C.3C當(dāng)AOA時(shí)，AAOA，P.4.解析由|x|1，得1x1.由幾何概型的概率求法知，所求的概率P.5.解析去看電影的概率P1，去打籃球的概率P2，不在家看書的概率為P.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引解決概率問題先判斷概型，本題屬于幾何概型，滿足兩個(gè)條件：基本事件的無限性和每個(gè)基本事件發(fā)生的等可能性，需要抓住它的本質(zhì)特征，即與長度有關(guān)解包含兩個(gè)間諜談話錄音的部分在30 s和40 s之間，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在這段時(shí)間之內(nèi)時(shí)，部分被擦掉，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在0到30 s之間時(shí)全部被擦掉，即在0到40 s之間，即0到 min之間的時(shí)間段

10、內(nèi)按錯(cuò)鍵時(shí)含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉，而0到30 min之間的時(shí)間段內(nèi)任一時(shí)刻按錯(cuò)鍵的可能性是相等的，所以按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率只與從開始到談話內(nèi)容結(jié)束的時(shí)間段長度有關(guān)，符合幾何概型的條件記A按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉，A的發(fā)生就是在0到 min時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵P(A).變式遷移1解析記“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”為事件A，如圖所示，不妨在過等邊三角形BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)F作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為CD時(shí)，就是等邊三角形的邊長，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，由幾何概型的概率公式得P(A).例2解題導(dǎo)引如果試驗(yàn)

11、的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為P(A).解在AB上取ACAC，連接CC，則ACC67.5.設(shè)A在ACB內(nèi)部作出一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，AMAC，則90，A67.5，P(A).變式遷移2解不一樣，這時(shí)M點(diǎn)可取遍AC(長度與AC相等)上的點(diǎn)，故此事件的概率應(yīng)為.例3解題導(dǎo)引解決此題的關(guān)鍵是將已知的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為線性約束條件，從而轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域中與面積有關(guān)的幾何概型問題對(duì)于幾何概型的應(yīng)用題，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用幾何圖形的度量來求隨機(jī)事件的概率，根據(jù)實(shí)際問題的具體情況，合理設(shè)置參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐

12、標(biāo)系的一點(diǎn)，便可構(gòu)造出度量區(qū)域解設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn)，要使兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見當(dāng)且僅當(dāng)|xy|.兩人在約定時(shí)間內(nèi)到達(dá)約見地點(diǎn)的所有可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點(diǎn)來表示，兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的所有可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)的點(diǎn)來表示因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即P.變式遷移3解設(shè)甲、乙兩船到達(dá)時(shí)間分別為x、y，則0x24,0y24且yx4或yx4.作出區(qū)域設(shè)“兩船無需等待碼頭空出”為事件A，則P(A).課后練習(xí)區(qū)1B當(dāng)以O(shè)為圓心，1為半徑作圓，則圓與長方形的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)滿足到點(diǎn)O的距離小于或等于1，故所求事件的概率為P(A)1.2C由于ABC、PBC有公共底邊BC，所以只需P位于線段BA靠近B的四分之一分點(diǎn)E與A之間，即構(gòu)成一個(gè)幾何概型，所求的概率為.3AS矩形OABC2，S陰影sin xdx2，由幾何概型概率公式得P.4A滿足0b4,0c4的區(qū)域的面積為4416，由，得，其表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積為(24)22410，故事件A的概率為.5D區(qū)域?yàn)锳BC內(nèi)部(含邊界)，則概率為P.6.解析陰影部分的面積為S3x2dxx3|1，所以點(diǎn)M落在陰影區(qū)域的概率為.7.解析由題意知，硬幣的中心應(yīng)落在距圓心29