2018年高考數(shù)學(xué)專題34空間中線線角、線面角的求法黃金解題模板

1、專題 34 空間中線線角、線面角的求法【高考地位】立體幾何是高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)重點(diǎn)，空間中線線角、線面角的考查更是重中之重 . 其求解的策略主要有兩種方法：其一是一般方法，即按照“作證解”的順序進(jìn)行；其一是空間向量法，即建立直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解 . 在高考中常常以解答題出現(xiàn)，其試題難度屬中高檔題 .【方法點(diǎn)評(píng)】類型一 空間中線線角的求法方法一 平移法使用情景：空間中線線角的求法解題模板：第一步 首先將兩異面直線平移到同一平面中；第二步 然后運(yùn)用余弦定理等知識(shí)進(jìn)行求解；第三步 得出結(jié)論 .例 1 正四面體 ABCD中， E，F(xiàn) 分別為棱 AD，BC 的中點(diǎn)，則異面直線 EF 與CD 所成的角為A.

2、 B. C. D.6 4 3 2【答案】 B平移；利用特殊點(diǎn) ( 線段的端點(diǎn)或中點(diǎn) ) 作平行線平移；補(bǔ)形平移計(jì)算異面直線所成的角通常轉(zhuǎn)化為解三角形的問題處理，要注意異面直線所成角的范圍為 0,。2【變式演練 1】如圖， 四邊形 ABCD 是矩形， 沿直線 BD 將 ABD 翻折成 A BD ，異面直線 CD 與 AD所成的角為 , 則（ ）A A CA B A CAC. A CD D A CD【答案】 B考點(diǎn)：異面直線所成角的定義及運(yùn)用 .【變式演練 2【】2018 年衡水聯(lián)考】 在棱長(zhǎng)為 1的正方體ABCD A B C D 中，點(diǎn) E， F 分別是側(cè)面 A A1D1D1 1 1 1與底面

3、ABCD 的中心，則下列命題中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（ ） DF / / 平面D EB ； 異面直線 DF 與 B1C 所成角為 60 ；1 1 ED1 與平面 B1DC 垂直； 1V F CDB112A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】 A【解析】對(duì)于， DF/ / B D ，DF 平面 D1EB1， B1D1 平面 D1E B1 ， DF / / 平面 D1EB1 ，正確；1 1對(duì)于， DF/ / B1D1 ，異面直線 DF 與 B1C 所成角即異面直線 B1D1 與 B1C 所成角， B1D1C 為等邊三角形，故異面直線 DF 與B C 所成角為 60 ，正確；1對(duì)于， ED1 A1D

4、， ED1 C D，且 A1D CD=D， ED1 平面 A1B1DC ，即 ED1 平面 B1DC，正確；對(duì)于，1 1 1 1V V S 1 ，正確，F(xiàn) CDB B CDF1 1 CDF3 3 4 12故選： A【變式演練 3】設(shè)三棱柱ABC A B C 的側(cè)棱與底面垂直， BCA 90 ， BC CA 2 ，若該棱柱的所有頂1 1 1點(diǎn)都在體積為323的球面上，則直線B C 與直線 AC1 所成角的余弦值為（ ）1A 232B 3C 53D 53【答案】 B【變式演練 4】如圖所示， 正四棱錐 P ABCD 的底面面積為 3，體積為 22， E 為側(cè)棱 PC 的中點(diǎn)， 則 PA與 BE 所

5、成的角為（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90【答案】 C3方法二 空間向量法使用情景：空間中線線角的求法解題模板：第一步 首先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)；第二步 然后求出所求異面直線的空間直角坐標(biāo)；a b第三步 再利用 cos 即可得出結(jié)論 .a b例 2、如圖，直三棱柱ABC A B C 中， AC BC AA1 3 ， AC BC ，點(diǎn) M 在線段 AB 上.1 1 1（1）若 M 是 AB中點(diǎn)，證明：AC1 / / 平面 B1CM ；（2）當(dāng) BM 2 時(shí)，求直線C A 與平面 B1MC 所成角的正弦值1 1【答案】（1）詳見解析（ 2） 63（II

6、） AC BC , CC1 平面ABC , 故如圖建立空間直角坐標(biāo)系B ， A ， B ， C ， , BA 3 2 ,1(0 3 3), (3 0 0), (0 3 0), (0 0 0)1BM = BA31BM = BA = (1,- 1,0), CM = CB+ BM = (0,3,0) + (1,- 1,0) = (1,2,0) ，3令平面 B1MC 的法向量為 n = (x, y, z) ，由n CB1 0n CM 0，得y z 0x 2y 0設(shè) z= 15所以 n = (2, - 1,1),C1 A1 = CA = (3,0,0) ，設(shè)直線 C1 A1 與平面 B1MC 所成角為

7、qsin q|C A n| 6 61 1= = =3|C A |n | 3 4+ 1+ 11 1故當(dāng) BM = 2 時(shí)，直線 C1A1 與平面 B1MC 所成角的正弦值為63.考點(diǎn)：線面平行判定定理，利用空間向量求線面角【思路點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.例 3、如圖，正方形 AMDE 的邊長(zhǎng)為 2，B、C 分別為線段 AM、MD 的中點(diǎn)，在五棱錐 P ABCDE 中，F(xiàn) 為棱 PE的中點(diǎn)，平面 ABF 與棱 PD、PC

8、分別交于點(diǎn) G、H （1）求證： AB / /FG ；（2）若 PA 底面 ABCDE ，且 PA AE ，求直線 BC 與平面 ABF 所成角的大小【答案】（1）詳見解析（ 2）6考點(diǎn)：線面平行判定定理，利用空間向量求線面角【思路點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.【變式演練 4】已知正四面體 ABCD 中，E 是 AB 的中點(diǎn)， 則異面直線 CE 與 BD 所成角的余弦值為 _【答案】367考點(diǎn)：異面直線及其所成的角【變式

9、演練 5】如圖，在三棱柱ABC A B C 中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面， AB 4 , AA1 6 .1 1 1若 E， F 分別是棱1BB ， CC1 上的點(diǎn)，且 BE B1E ，C1F CC1 ，則異面直線 A1E 與 AF 所成角的余13弦值為（ ）A36B 26C 310D 210【答案】 D【解析】試題分析：以 BC 的中點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則 A(2 3,0,0) ，A ，1(2 3,0,6)E ， F (0, 2,4) ， A1E ( 2 3,2, 3)， AF ( 2 3, 2, 4) ，設(shè) A1E ， AF 所成的角為 ，則(0,2,3)cos|

10、AE AF | 4 21|AE | | AF | 5 4 2110考點(diǎn)： 線面角 .類型二 空間中線面角的求法方法一 垂線法使用情景：空間中線面角的求法解題模板：第一步 首先根據(jù)題意找出直線上的點(diǎn)到平面的射影點(diǎn)；第二步 然后連接其射影點(diǎn)與直線和平面的交點(diǎn)即可得出線面角；第三步 得出結(jié)論 .例 3 如圖，四邊形 ABCD是矩形， AB 1, AD 2 ， E 是 AD 的中點(diǎn)， BE 與 AC 交于點(diǎn) F ，GF 平面 ABCD.G CBFDA E（）求證： AF 面 BEG；（）若 AF FG ，求直線 EG 與平面 ABG所成角的正弦值 .【答案】（）證明見解析； （）1559證法 2：（坐

11、標(biāo)法）證明 1K AC K ，得 AC BE ，往下同證法 1BE1證法 3：（向量法）以 AD, AB為基底， AC AD AB BE AD AB , ， AD AB 021 )AC BE ( AD AB) ( AD AB2122 21AD AB 2 1 02 AC BE ，往下同證法 1（2）在 Rt AGF 中，2 GF2AG AF (332) (33)263在 Rt BGF 中，2 GF2 2 26 3BG BF ( ) ( ) 13 3在 ABG 中，6AG ， BG AB 1 3SABG12631(66)2126330656設(shè)點(diǎn) E 到平面 ABG 的距離為 d ，則131S d

12、S3GF，dSABFSGFABG12221533301063 6 22 EF2 2 2EG ，設(shè)直線 EG 與平面 ABG 所成角的大小為 ，則GF ( ) ( )3 6 230d 15 10sin . EG 2 52考點(diǎn)：線面垂直的判定，直線與平面所成的角【點(diǎn)評(píng)】解決直線與平面所成的角的關(guān)鍵是找到直線上的點(diǎn)到平面的射影點(diǎn)，構(gòu)造出線面角 .【變式演練 6】已知三棱柱 ABC A1B1C1 的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等 , A1在底面 ABC 內(nèi)的射影為 ABC的中心, 則 AB1與底面 ABC所成角的正弦值為（ ）1 2 3 2A3 B 3 C 3 D 3【答案】 B考點(diǎn) : 直線與平面所成的角【變

13、式演練 7】在四面體 ABCD 中， AB AD ， AB AD BC CD 1，且 平面ABD 平面BCD ，M 為 AB 中點(diǎn)，則 CM 與平面 ABD 所成角的正弦值為（ ）A 22B 33C 32D 63【答案】 D11考點(diǎn)： 1平面與平面垂直； 2直線與平面所成的角方法二 空間向量法使用情景：空間中線面角的求法解題模板：第一步 首先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)；第二步 然后求出所求異面直線的空間直角坐標(biāo)以及平面的法向量坐標(biāo)；a b第三步 再利用 sin 即可得出結(jié)論 .a b例 4 2018 衡水金卷大聯(lián)考 如圖，在四棱錐 中，底面 為直角梯形，其中 ， ，側(cè)面 平

14、面 ，且 ，動(dòng)點(diǎn) 在棱 上，且 .（1）試探究 的值，使 平面 ，并給予證明；（2）當(dāng) 時(shí)，求直線 與平面 所成的角的正弦值 .（2）取 的中點(diǎn) , 連接 . 則 .平面 平面 ，平面 平面 ，且 ， 平面 . ，且 ，四邊形 為平行四邊形， .又 ， .由 兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .13則 ， ， ， ， ， .當(dāng) 時(shí)，有 ，【變式演練 8】【2018 浙江嘉興市第一中模擬】如圖，四棱錐 , 底面 為菱形， 平面 ， 為 的中點(diǎn)， .（I ）求證：直線 平面 ；（II ）求直線 與平面 所成角的正弦值 .【解析】（I ）證明： ，又又 平面 ,直線 平面 .（方法二）如圖建立

15、所示的空間直角坐標(biāo)系 .設(shè)平面 的法向量 ，. 所以直線 與平面 所成角的正弦值為15【高考再現(xiàn)】1. 【2017 課標(biāo) II ，理 10】 已知直三棱柱C C 中， C 120 ， 2， C CC1 1，1 1 1則異面直線1 與 C1 所成角的余弦值為（ ）A 32B 155C 105D 33【答案】 C【考點(diǎn)】 異面直線所成的角；余弦定理；補(bǔ)形的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；計(jì)算：求該角的值，

16、常利用解三角形；取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是 0,，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直2線所成的角。求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍。2. 【2017 浙江， 9】如圖，已知正四面體 DABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐）， P，Q，R分別為 AB，BC，C A上的點(diǎn)， AP=PB， BQ CR 2QC RA，分別記二面角 DPRQ，DPQR，DQRP的平面角為 ，則A B C D【答案】 B3. 【2017 課標(biāo) 3，理 16】a，b 為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形 ABC的直角邊 A C所在直線與 a，b 都垂直，斜邊 AB以直線 A C為旋

17、轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線 AB與 a 成 60 角時(shí)， AB與 b 成 30 角；當(dāng)直線 AB與 a 成 60 角時(shí)， AB與 b 成 60 角；直線 AB與 a 所成角的最小值為 45 ；直線 AB與 a 所成角的最小值為 60 .其中正確的是 _. （填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）【答案】【解析】試題分析：由題意， AB 是以 AC為軸, BC為底面半徑的圓錐的母線，由 AC a, AC b ，又 AC圓錐底面， 在底面內(nèi)可以過點(diǎn) B，作 BD a ，交底面圓 C 于點(diǎn) D，如圖所示， 連結(jié) D E，則 D EBD， DE b ，連結(jié) AD，等腰 ABD中， AB AD 2 , 當(dāng)直線 AB

18、與 a 成 60 角時(shí)， ABD 60 ，故 BD 2 ，又在 RtBDE 中， BE 2, DE 2 ，過點(diǎn) B作 B FD E，交圓 C于點(diǎn) F，連結(jié) A F，由圓的對(duì)稱性可知 BF DE 2 ,17ABF 為等邊三角形， ABF 60 ，即 AB與 b 成 60 角，正確，錯(cuò)誤 .由最小角定理可知正確；很明顯，可以滿足平面 ABC直線 a，直線 AB 與 a 所成的最大角為 90 ，錯(cuò)誤 .正確的說法為 .【考點(diǎn)】 異面直線所成的角4. 【2017 北京，理 16】如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為正方形，平面 PAD平面 ABCD，點(diǎn) M在線段 PB上，PD/ 平面 MA

19、，C PA=PD= 6 ，AB=4（I ）求證： M為 P B的中點(diǎn)；（II ）求二面角 B- PD- A的大??；（III ）求直線 M C與平面 BDP所成角的正弦值如圖建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz，則 P (0,0, 2) ， D (2,0,0) ， B( 2, 4,0) ，BD (4, 4,0) ， PD (2,0, 2) .設(shè)平面 BDP 的法向量為 n (x, y, z) ，則nnBDPD00，即4x 4y 02x 2z 0.令 x 1，則 y 1， z 2 . 于是 n (1,1, 2) .平面 PAD 的法向量為 p (0,1,0) ，所以cosn p 1|n | p| 2.由

20、題知二面角 B PD A 為銳角，所以它的大小為. 3195. 【2017 浙江， 19】（本題滿分 15 分）如圖，已知四棱錐 PABCD，PAD是以 A D為斜邊的等腰直角三角形， BC / AD ，C DAD，PC=AD=2D C=2C B，E為 P D的中點(diǎn)PE DAB C（）求直線 CE與平面 PBC所成角的正弦值【解析】PFH QE DANB C M【考點(diǎn)】求線面角6. 【2017 江蘇， 22】 如圖, 在平行六面體 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1平面 ABCD, 且 AB=AD=2, AA1= 3 ,BAD 120 .（1）求異面直線 A1B與 AC1 所成角的余弦值；

21、21【考點(diǎn)】空間向量、異面直線所成角【名師點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.7.【2017 天津，文 17】如圖， 在四棱錐 P ABCD 中，AD 平面 PDC ，ADBC ，PD PB，AD 1，BC 3， CD 4， PD 2 .（I ）求異面直線 AP 與 BC 所成角的余弦值；（II ）求證： PD 平面 PBC ；（）求直線 AB 與平面 PBC 所成角的正弦值 .23【反饋練習(xí)】1. 【2018 河北邢臺(tái)市育才

22、中學(xué)模擬】如圖，長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1 的底面是邊長(zhǎng)為 1的正方形，高為2,M 、N 分別是四邊形BB C C 和正方形 A1B1C1D1的中心，則直線 BM 與 DN 的夾角的余弦值是（ ）1 1A.3 1010B.7 1030C.5 3434D.106【答案】 B【解析】以AB, AD, AA 為 x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：11 21 1 1 2 7 10BM ,0,1 , DN , ,2 , cosBM , DN .2 2 2 1 1 1 30 1 44 4 4本題選擇 B 選項(xiàng).點(diǎn)睛：異面直線所成的角與其方向向量的夾角：當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)

23、，就是該異面直線的夾角；否則向量夾角的補(bǔ)角是異面直線所成的角 .2【山西大學(xué)附中 2018 屆高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題】已知三棱錐 P ABC 的各棱長(zhǎng)均相等，O是 ABC的中心， D 是 PC 的中點(diǎn)，則直線 PO與直線 BD 所成角的余弦值為（ ）A.23B.73C.12D.13【答案】 A25故答案選 A點(diǎn)睛：本題考查異面直線所成角的問題，根據(jù)條件先通過直線的平行構(gòu)造出異面直線所成角的平面角，然后進(jìn)行解三角形，注意題目中一些數(shù)量關(guān)系3【2018 黑龍江齊齊哈爾市第八中學(xué)模擬】 已知正方體ABCD A B C D ，E是棱 CD的中點(diǎn)， 則直線 A1E1 1 1 1與直線 BC1所

24、成角的余弦值為（ ）A. 0 B.13C.33D.2 23【答案】 A4. 【 2018 湖 南 五 市 十 校 教 研 教 改 共 同 體 聯(lián) 考 】 如 圖 ， 四 邊 形 ABCD 與 BDEF 均 為 菱 形 ，DAB DBF 60 ，且 FA FC .（1）求證： AC 平面 BDEF ；（2）求直線 AF 與平面 BCF 所成角的正弦值 .27則sin cosAF ,nAF nAF n105.5【2018 湖北八校第一次聯(lián)考】 四棱錐 S ABCD中， AD BC ， BC CD,0SDA SDC 60 ，AD DC1 1BC SD ， E 為SD的中點(diǎn) .2 2（1）求證：平面

25、AEC 平面 ABCD；（2）求 BC 與平面 CDE 所成角的余弦值 .面 ECD 面 OEF , OF 在面 ECD射影為 EF ， EFO 的大小為 BC 與面 ECD 改成角的大小 , 設(shè)AD a，則aOF ，23EF a2cos EFOOFEF33, 即 BC 與 ECD 改成角的余弦值為33.6【2018 河南鄭州市第一中學(xué)模擬】如圖，在四棱柱ABCD A B C D 為長(zhǎng)方體，點(diǎn) P 是CD 上的一點(diǎn) .1 1 1 1（2）若 AB 2 ，BC CC1 1，當(dāng) DP DC (0 1)時(shí)，直線 A1C 與平面 PBC1所成角的正弦值是否存在最大值？若存在，求出 的值；若不存在，請(qǐng)說

26、明理由 .291 12 2則sinn AC1n AC11 11 16 2 6 2224 1 4 11 1令2 t 2，t ，則 t 3, ，1 1所以sint 1 12 23 1 1 1t2 6 6 36 2 1 12t 6 64 tt 4所以當(dāng)1 1t 6，即 t 6， 時(shí)， sin 取得最大值 1.7 【 2018 廣 西 玉 林 市 陸 川 中 學(xué) 期 中 】 如圖 所 示 ， PA 與 四 邊 形 ABCD 所 在 平 面 垂 直 ， 且PA BC CD BD, AB AD , PD DC .（1）求證： AB BC；（2）若 PA 3, E 為 PC 的中點(diǎn)，設(shè)直線 PD 與平面 B

27、DE 所成角為 ，求 sin .318. 【2018 吉林舒蘭第一高級(jí)中模擬】 如圖，在四棱錐 P ABCD 中， PA 平面 ABCD， AB BC 2，AD CD 7 ， PA 3， ABC 120 ， G 為線段 PC 上的點(diǎn)（1）證明： BD 平面 PAC ；（2）若 G 是 PC 的中點(diǎn)，求 DG 與平面 APC所成的角的正切值【解析】（1）證明：在四棱錐 P ABCD中， PA 平面 ABCD ， PA BD . AB BC 2， AD CD 7 .9. 【 2018 廣 雅 中 學(xué) 、 東 華 中 學(xué) 、 河 南 名 校 聯(lián) 考 】 如 圖 ， 在 三 棱 柱ABC A B C

28、中 ，1 1 10BA BC BB1, ABC 90 , BB1 平面 ABC ，點(diǎn) E 是 A1B 與 AB1 的交點(diǎn)，點(diǎn) D 在線段 AC 上，B1C / / 平面 A1BD .（1）求證：BD AC ；1（2）求直線AC 與平面 A1B1D 所成的角的正弦值 .133(2) 令 AB 1，則 BC B B1 1，如圖，以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 B xyz ，則1 1 1 1A 1,0,1 ,B 0,0,1 , C 0,1,0 , D , ,0 ，得 B1 A1 1,0,0 , B1D , , 1 ，1 12 2 2 2設(shè) m x, y,z 是平面 A1B1D 的一個(gè)法向量，則m B A x 01 1m B A1 1 1 1m B D m B D x y z1 1 1 12 20，令 z 1，得 m 0,2,1 ，又A1C 1,1, 1 , 設(shè)直線 A1C 與平面 A1B1D 所成的角為 ，則si