高中數(shù)學求軌跡方程的六種常用技法

1、.求軌跡方程的六種常用技法軌跡方程的探求是解析幾何中的基本問題之一，也是近幾年來高考中的常見題型之一。學生解這類問題時，不善于揭示問題的內(nèi)部規(guī)律及知識之間的相互聯(lián)系，動輒就是羅列一大堆的坐標關系，進行無目的大運動量運算，致使不少學生喪失信心，半途而廢，因此，在平時教學中，總結和歸納探求軌跡方程的常用技法，對提高學生的解題能力、優(yōu)化學生的解題思路很有幫助。本文通過典型例子闡述探求軌跡方程的常用技法。1直接法根據(jù)已知條件及一些基本公式如兩點間距離公式，點到直線的距離公式，直線的斜率公式等，直接列出動點滿足的等量關系式，從而求得軌跡方程。 例1已知線段，直線相交于，且它們的斜率之積是，求點 的軌跡方

2、程。解：以所在直線為軸，垂直平分線為軸建立坐標系，則，設點的坐標為，則直線的斜率，直線的斜率 由已知有 化簡，整理得點的軌跡方程為練習：1平面內(nèi)動點到點的距離與到直線的距離之比為2，則點的軌跡方程是 。2設動直線垂直于軸，且與橢圓交于、兩點，是上滿足的點，求點的軌跡方程。3. 到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點,在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是（）A直線B橢圓C拋物線D雙曲線2定義法通過圖形的幾何性質(zhì)判斷動點的軌跡是何種圖形，再求其軌跡方程，這種方法叫做定義法，運用定義法，求其軌跡，一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線段的垂直平分線，圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，二是熟練掌握平面

3、幾何的一些性質(zhì)定理。例2若為的兩頂點，和兩邊上的中線長之和是，則的重心軌跡方程是_。解：設的重心為，則由和兩邊上的中線長之和是可得，而點為定點，所以點的軌跡為以 為焦點的橢圓。所以由可得故的重心軌跡方程是練習：4方程表示的曲線是（）A橢圓 B雙曲線 C線段 D拋物線3點差法圓錐曲線中與弦的中點有關的問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，等關系式，由于弦的中點的坐標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程。例3橢圓中,過的弦恰被點平分,則該弦所在直線方程為_。解：設過點的直線交橢圓于、，則有 可得而為線段的中點，故有所以，即所以所求

4、直線方程為化簡可得練習：5已知以為圓心的圓與橢圓交于、兩點，求弦的中點的軌跡方程。6已知雙曲線，過點能否作一條直線與雙曲線交于兩點，使 為線段的中點？4轉(zhuǎn)移法轉(zhuǎn)移法求曲線方程時一般有兩個動點，一個是主動的，另一個是次動的。當題目中的條件同時具有以下特征時，一般可以用轉(zhuǎn)移法求其軌跡方程：某個動點在已知方程的曲線上移動；另一個動點隨的變化而變化；在變化過程中和滿足一定的規(guī)律。例4 已知是以為焦點的雙曲線上的動點，求的重心 的軌跡方程。解：設 重心，點 ，因為則有， 故代入 得所求軌跡方程例5拋物線的焦點為,過點作直線交拋物線、兩點,再以、為鄰邊作平行四邊形，試求動點的軌跡方程。解法一：（轉(zhuǎn)移法）設

5、，平行四邊形的中心為，將，代入拋物線方程,得，設，則 ，為的中點.，消去得，由得，故動點的軌跡方程為。解法二：（點差法）設，平行四邊形的中心為，設，則有 由得 而為的中點且直線過點，所以代入可得，化簡可得由點在拋物線口內(nèi)，可得將式代入可得故動點的軌跡方程為。練習：7已知，在平面上動點滿足，點是點關于直線的對稱點，求動點的軌跡方程。5參數(shù)法求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標互化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關系。在確定了軌跡方程之后，有時題目會就方程中的參數(shù)進行討論；參數(shù)取值的變化使方程表示不同的曲線；參數(shù)取值的不同

6、使其與其他曲線的位置關系不同；參數(shù)取值的變化引起另外某些變量的取值范圍的變化等等。例6過點作直線交雙曲線于、兩點，已知。（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；（2）是否存在這樣的直線，使矩形？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。解：當直線的斜率存在時，設的方程為，代入方程，得因為直線與雙曲線有兩個交點，所以，設，則 設，由 得 所以，代入可得，化簡得即 當直線的斜率不存在時，易求得滿足方程，故所求軌跡方程為，其軌跡為雙曲線。（也可考慮用點差法求解曲線方程）（2）平行四邊為矩形的充要條件是即 當不存在時，、坐標分別為、，不滿足式當存在時，化簡得，此方程無實數(shù)解，故不存在直線使為矩形。練

7、習：8設橢圓方程為,過點的直線交橢圓于點、,是坐標原點,點滿足,點的坐標為,當繞點旋轉(zhuǎn)時,求:(1)動點的軌跡方程； (2)的最小值與最大值。9設點和為拋物線上原點以外的兩個動點，且，過作于，求點的軌跡方程。6交軌法若動點是兩曲線的交點，可以通過這兩曲線的方程直接求出交點的方程，也可以解方程組先求出交點的參數(shù)方程，再化為普通方程。例7已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，、是橢圓長軸的兩個端點，求直線和的交點的軌跡方程。解1:(利用點的坐標作參數(shù))令，則而.設與的交點為因為共線，所以 因為共線，所以兩式相乘得， 而即代入得，即交點的軌跡方程為解2: (利用角作參數(shù))設，則所以 , 兩式相乘消去即可得所

8、求的點的軌跡方程為 。練習：10兩條直線和的交點的軌跡方程是_ _?？偨Y歸納1要注意有的軌跡問題包含一定隱含條件，也就是曲線上點的坐標的取值范圍由曲線和方程的概念可知，在求曲線方程時一定要注意它的“完備性”和“純粹性”，即軌跡若是曲線的一部分，應對方程注明的取值范圍，或同時注明的取值范圍。2“軌跡”與“軌跡方程”既有區(qū)別又有聯(lián)系，求“軌跡”時首先要求出“軌跡方程”，然后再說明方程的軌跡圖形，最后“補漏”和“去掉增多”的點，若軌跡有不同的情況，應分別討論，以保證它的完整性。練習參考答案12解：設點的坐標為，則由方程，得由于直線與橢圓交于兩點、，故即、兩點的坐標分別為由題知即即所以點的軌跡方程為3

9、D 【解析】在長方體中建立如圖所示的空間直角坐標系，易知直線與是異面垂直的兩條直線，過直線與平行的平面是面，設在平面內(nèi)動點滿足到直線與的距離相等，作于，于，于，連結，易知平面，則有，(其中是異面直線與間的距離)，即有，因此動點的軌跡是雙曲線，選D.4A5解 設，PMA則，由， OB兩式相減并同除以得 ,而, 又因為所以 化簡得點的軌跡方程6先用點差法求出，但此時直線與雙曲線并無交點，所以這樣的直線不存在。中點弦問題，注意雙曲線與橢圓的不同之處，橢圓不須對判別式進行檢驗，而雙曲線必須進行檢驗。7解：設，則由即所以點的軌跡是以為圓心，以3為半徑的圓。點是點關于直線的對稱點。動點的軌跡是一個以為圓心，半徑為3的圓，其中是點關于直線的對稱點，即直線過的中點，且與垂直，于是有即故動點的軌跡方程為。8解：(1)解法一:直線過點，設其斜率為,則的方程為 記、由題設可得點、的坐標、是方程組 的解 將代入并化簡得,所以于是 設點的坐標為則消去參數(shù)得 當不存在時, 、中點為坐標原點,也滿足方程,所以點的軌跡方程為 解法二:設點的坐標為,因、在橢圓上,所以 得,所以 當時,有 并且 將代入并整理得 當時,點、的坐標為，這時點的坐標為也滿足,所以點的軌跡方程為 (2)解:由點的軌跡方程知，即所以 故當,取得最小值,最小值為時,取得最大值, 最大值為9解法1 ：(常規(guī)設參)