小學(xué)奧數(shù)專題—抽屜原理(一)

1、最新 料推薦小學(xué)奧數(shù)專題抽屜原理( 一 ) 介 把 4 只蘋果放到 3 個(gè)抽 里去，共有 4 種放法（ 小朋友 自己列 ），不 如何放，必有一個(gè)抽 里至少放 兩個(gè)蘋果。同 ，把 5 只蘋果放到 4 個(gè)抽 里去，必有一個(gè)抽 里至少放 兩個(gè)蘋果。更 一步，我 能 得出 的 ：把n1 只蘋果放到 n 個(gè)抽 里去，那么必定有一個(gè)抽 里至少放 兩個(gè)蘋果。 個(gè) ，通常被稱 抽 原理。利用抽 原理，可以 明（ 明） 多有趣的 象或 。不 ，抽 原理不是拿來就能用的， 關(guān) 是要 用所學(xué)的數(shù)學(xué)知 去 找 “抽 ”，制造“抽 ”，弄清 當(dāng)把什么看作“抽 ” ，把什么看作“蘋果” 。 典例 【例 1】一個(gè)小 共有

2、13 名同學(xué)，其中至少有 2 名同學(xué)同一個(gè)月 生日。 什么？【分析與解答】每年里共有12 個(gè)月，任何一個(gè)人的生日，一定在其中的某一個(gè)月。如果把 12 個(gè)月看成 12 個(gè)“抽 ”，把 13 名同學(xué)的生日看成 13 只“蘋果”，把 13 只蘋果放 12 個(gè)抽 里，一定有一個(gè)抽 里至少放 2 個(gè)蘋果，也就是 ，至少有 2 名同學(xué)在同一個(gè)月 生日?！纠?2 】任意 4 個(gè)自然數(shù)，其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是 3 的倍數(shù)。 是 什么？【分析與解答】 首先我 要弄清 一條 律： 如果兩個(gè)自然數(shù)除以 3 的余數(shù)相同，那么 兩個(gè)自然數(shù)的差是 3 的倍數(shù)。而任何一個(gè)自然數(shù)被 3 除的余數(shù)，或者是 0，或者是 1，或者

3、是 2，根據(jù) 三種情況，可以把自然數(shù)分成 3 ， 3 種 型就是我 要制造的3 個(gè)“抽 ”。我 把 4 個(gè)數(shù)看作“蘋果”，根據(jù)抽 原理，必定有一個(gè)抽 里至少有2 個(gè)數(shù)。 句 ， 4 個(gè)自然數(shù)分成3 ，至少有兩個(gè)是同一 。既然是同一 ，那么 兩個(gè)數(shù)被 3 除的余數(shù)就一定相同。所以，任意 4 個(gè)自然數(shù)，至少有 2 個(gè)自然數(shù)的差是 3 的倍數(shù)。想一想，例 2 中 4 改 7，3 改 6， 成立 ？【例 3】有 格尺寸相同的5 種 色的襪子各15 只混裝在箱內(nèi)， 不 如何取，從箱中至少取出多少只就能保 有3 雙襪子（襪子無左、右之分）？【分析與解答】 想一下，從箱中取出6 只、 9 只襪子，能配成3

4、雙襪子 ？回答是否定的。按 5 種 色制作 5 個(gè)抽 ，根據(jù)抽 原理1，只要取出 6 只襪子就 有一只抽 里裝 2 只， 2 只就可配成一雙。拿走 一雙，尚剩4 只，如果再 2只又成 6 只，再根據(jù)抽 原理1，又可配成一雙拿走。如果再 2 只，又可取得第 3 雙。所以，至少要取622=10 只襪子，就一定會(huì)配成3 雙。思考： 1. 能用抽 原理 2，直接得到 果 ？2. 把 中的要求改 3 雙不同色襪子，至少 取出多少只？3. 把 中的要求改 3 雙同色襪子，又如何？【例 4】一個(gè)布袋中有 35 個(gè)同 大小的木球，其中白、黃、 三種 色球各有 10 個(gè)，另外 有 3 個(gè) 色球、 2 個(gè) 色球，

5、 一次至少取出多少個(gè)球，才能保1最新 料推薦證取出的球中至少有4 個(gè)是同一顏色的球？【分析與解答】從最“不利”的取出情況入手。最不利的情況是首先取出的5 個(gè)球中，有 3 個(gè)是藍(lán)色球、 2 個(gè)綠色球。接下來，把白、黃、紅三色看作三個(gè)抽屜，由于這三種顏色球相等均超過 4 個(gè)，所以，根據(jù)抽屜原理 2，只要取出的球數(shù)多于（ 4-1 ）3=9 個(gè)，即至少應(yīng)取出 10 個(gè)球，就可以保證取出的球至少有 4 個(gè)是同一抽屜（同一顏色）里的球。故總共至少應(yīng)取出105=15 個(gè)球，才能符合要求。思考：把題中要求改為4 個(gè)不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？當(dāng)我們遇到“判別具有某種事物的性質(zhì)有沒有， 至少有幾個(gè)”這樣

6、的問題時(shí)，想到它抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。提示抽屜原理還可以反過來理解：假如把n1 個(gè)蘋果放到 n 個(gè)抽屜里，放 2 個(gè)或 2 個(gè)以上蘋果的抽屜一個(gè)也沒有 （與“必有一個(gè)抽屜放 2 個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋果”相反），那么，每個(gè)抽屜最多只放 1 個(gè)蘋果， n 個(gè)抽屜最多有 n 個(gè)蘋果，與“ n+1個(gè)蘋果”的條件矛盾。運(yùn)用抽屜原理的關(guān)鍵是“制造抽屜” 。通常，可采用把 n 個(gè)“蘋果”進(jìn)行合理分類的方法來制造抽屜。比如，若干個(gè)同學(xué)可按出生的月份不同分為12 類，自然數(shù)可按被 3 除所得余數(shù)分為 3 類等等。例 5 有 5 個(gè)小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出 3 枚棋子 .

7、請(qǐng)你證明，這 5 個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。【分析與解答】首先要確定3 枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3 黑， 2 黑 1 白， 1 黑 2 白， 3 白共 4 種配組情況，看作 4 個(gè)抽屜 . 把每人的 3 枚棋作為一組當(dāng)作一個(gè)蘋果，因此共有 5 個(gè)蘋果 . 把每人所拿 3 枚棋子按其顏色配組情況放入相應(yīng)的抽屜 . 由于有 5 個(gè)蘋果，比抽屜個(gè)數(shù)多，所以根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。例 6 一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當(dāng)中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同

8、的？【分析與解答】撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃 4 種花色， 2 張牌的花色可以有： 2 張方塊， 2 張梅花， 2 張紅桃， 2 張黑桃， 1 張方塊 1 張梅花， 1 張方塊1 張黑桃， 1 張方塊 1 張紅桃， 1 張梅花 1 張黑桃， 1 張梅花 1 張紅桃， 1 張黑桃 1 張紅桃共計(jì) 10 種情況 . 把這 10 種花色配組看作 10 個(gè)抽屜，只要蘋果的個(gè)數(shù)比抽屜的個(gè)數(shù)多 1 個(gè)就可以有題目所要的結(jié)果 . 所以至少有 11 個(gè)人。例 7 證明：任取 8 個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7 的倍數(shù)?！痉治雠c解答】在與整除有關(guān)的問題中有這樣的性質(zhì)，如果兩個(gè)整數(shù)a、b，它們除以自然數(shù) m的

9、余數(shù)相同，那么它們的差 a-b 是 m的倍數(shù) . 根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，本題只需證明這 8 個(gè)自然數(shù)中有 2 個(gè)自然數(shù)，它們除以 7 的余數(shù)相同 . 我們可以把所有自然數(shù)按被 7 除所得的 7 種不同的余數(shù) 0、1、2、3、4、5、6 分成七類 . 也就是 7 個(gè)抽屜 . 任取 8 個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中，也就是它們除以 7 的余數(shù)相同，因此這兩個(gè)數(shù)的差一定是 7 的倍數(shù)。2最新 料推薦把所有整數(shù)按照除以某個(gè)自然數(shù) m的余數(shù)分 m ，叫做 m的剩余 或同余 ，用 0 ，1 ，2 ，m-1 表示 . 每一個(gè) 含有無 多個(gè)數(shù)，例如 1 中含有 1，m+1，2m 1，3m1， .

10、在研究與整除有關(guān)的 ，常用剩余 作 抽屜 . 根據(jù)抽 原理，可以 明：任意 n+1 個(gè)自然數(shù)中， 有兩個(gè)自然數(shù)的差是 n 的倍數(shù)。在有些 中，“抽 ”和“蘋果”不是很明 的，需要精心制造“抽 ”和“蘋果” . 如何制造“抽 ”和“蘋果”可能是很困 的，一方面需要 真地分析 目中的條件和 ，另一方面需要多做一些 累 。例 8 從 2、4、 6、 30 這 15 個(gè)偶數(shù)中，任取 9 個(gè)數(shù)， 明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是 34?！痉治雠c解答】我 用 目中的15 個(gè)偶數(shù)制造 8 個(gè)抽 ：凡是抽 中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)： 兩個(gè)數(shù)的和是34。 從 目中的 15 個(gè)偶數(shù)中任取 9 個(gè)數(shù)，由抽 原理（

11、因 抽 只有 8 個(gè)），必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽 中 . 由制造的抽 的特點(diǎn)， 兩個(gè)數(shù)的和是 34。例 9 從 1、2、3、4、 19、20 這 20 個(gè)自然數(shù)中，至少任 幾個(gè)數(shù)，就可以保 其中一定包括兩個(gè)數(shù)，它 的差是 12?！痉治雠c解答】在 20 個(gè)自然數(shù)中，差是12 的有以下 8 ：20，8， 19，7， 18，6， 17， 5， 16， 4， 15，3， 14，2， 13，1。另外 有 4 個(gè)不能配 的數(shù) 9， 10， 11， 12，共制成 12 個(gè)抽 （每個(gè)括號(hào)看成一個(gè)抽 ） . 只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽 ，那么它 的差就等于 12，根據(jù)抽 原理至少任 13 個(gè)數(shù)，即可 到（取 12 個(gè)

12、數(shù)：從 12 個(gè)抽 中各取一個(gè)數(shù)（例如取 1，2，3， 12），那么 12 個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于 12）。例 10 從 1 到 20 這 20 個(gè)數(shù)中，任取 11 個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)?！痉治雠c解答】 根據(jù) 目所要求 的 ， 考 按照同一抽 中， 任意兩數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系的原 制造抽 . 把 20 個(gè)數(shù)按奇數(shù)及其倍數(shù)分成以下十 ， 看成10 個(gè)抽 （ 然，它 具有上述性 ）：3最新 料推薦1，2，4，8，16， 3，6，12， 5， 10，20， 7，14， 9，18， 11， 13， 15， 17， 19。從 10 個(gè)數(shù) 的 20 個(gè)數(shù)中任取 11 個(gè)數(shù)，根據(jù)抽

13、 原理，至少有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽 . 由于凡在同一抽 中的兩個(gè)數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系， 所以 兩個(gè)數(shù)中，其中一個(gè)數(shù)一定是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。例 11 某校校 ，來了 n 位校友，彼此 的握手 候 . 你 明無 什么情況，在 n 個(gè)校友中至少有兩人握手的次數(shù)一 多?！痉治雠c解答】 共有 n 位校友，每個(gè)人握手的次數(shù)最少是 0 次，即 個(gè)人與其他校友都沒有握 手；最多有 n-1 次，即 個(gè)人與每位到會(huì)校友都握了手 . 校友人數(shù)與握手次數(shù)的不同情況（ 0，1，2， n-1 ）數(shù)都是 n， 無法用抽 原理。然而，如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是 0 次，那么握手次數(shù)最多的不能多于 n-2 次；如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)

14、是 n-1 次，那么握手次數(shù)最少的不能少于 1次 . 不管是前一種狀 0、1、2、 n-2 ， 是后一種狀 1、2、3、 n-1 ，握手次數(shù)都只有 n-1 種情況 . 把 n-1 種情況看成 n-1 個(gè)抽 ，到會(huì)的 n 個(gè)校友每人按照其握手的次數(shù) 入相 的“抽 ”，根據(jù)抽 原理，至少有兩個(gè)人屬于同一抽 ， 兩個(gè)人握手的次數(shù)一 多。例 12 在 度是 10 厘米的 段上任意取 11 個(gè)點(diǎn)，是否至少有兩個(gè)點(diǎn)，它 之 的距離不大于 1 厘米？【分析與解答】 把 度 10 厘米的 段 10 等分，那么每段 段的 度是 1 厘米（ 下 ）。將每段 段看成是一個(gè)“抽 ”，一共有 10 個(gè)抽 。 在將 11

15、 個(gè)點(diǎn)放到這 10 個(gè)抽 中去。根據(jù)抽 原理，至少有一個(gè)抽 里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn) （包括 些 段的端點(diǎn)） 。由于 兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)抽 里， 它 之 的距離當(dāng)然不會(huì)大于 1 厘米。所以，在 度是 10 厘米的 段上任意取 11 個(gè)點(diǎn)，至少存在兩個(gè)點(diǎn)， 它 之 的距離不大于 1 厘米。例 13 有蘋果和桔子若干個(gè)，任意分成 5 堆，能否找到 兩堆，使蘋果的 數(shù)與桔子的 數(shù)都是偶數(shù)？【分析與解答】 由于 目只要求判斷兩堆水果的個(gè)數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個(gè)數(shù)的奇、偶性上來考 抽 的 。4最新 料推薦對(duì)于每堆水果中的蘋果、 桔子的個(gè)數(shù)分別都有奇數(shù)與偶數(shù)兩種可能， 所以每堆水果中蘋果、桔子個(gè)數(shù)的搭配就有 4

16、 種情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括號(hào)中的第一個(gè)字表示蘋果數(shù)的奇偶性，第二個(gè)字表示桔子數(shù)的奇偶性。將這 4 種情形看成 4 個(gè)抽屜，現(xiàn)有 5 堆水果，根據(jù)抽屜原理可知， 這 5 堆水果里至少有 2 堆屬于上述 4 種情形的同一種情形。 由于奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù)， 偶數(shù)加偶數(shù)仍為偶數(shù)，所以在同一個(gè)抽屜中的兩堆水果， 其蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)。例 14 用紅、藍(lán)兩種顏色將一個(gè) 25 方格圖中的小方格隨意涂色（見右圖），每個(gè)小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？【分析與解答】 用紅、藍(lán)兩種顏色給每列中兩個(gè)小方格隨意涂色，只有下面四種情形：將上

17、面的四種情形看成四個(gè) “抽屜”。根據(jù)抽屜原理， 將五列放入四個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜中有不少于兩列，這兩列的小方格中涂的顏色完全相同。5最新 料推薦習(xí)題1. 某校的小學(xué)生年 最小的 6 ，最大的 13 ，從 個(gè)學(xué)校中任 幾位同學(xué)就一定保 其中有兩位同學(xué)的年 相同？2. 中午食堂有 5 種不同的菜和 4 種不同的主食， 每人只能 一種菜和一種主食， 你 明某班在食堂 的 21 名學(xué)生中，一定至少有兩名學(xué)生所 的菜和主食是一 的。3. 明：任取 6 個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是 5 的倍數(shù)。4. 了 迎外 來校參 ，學(xué)校準(zhǔn) 了 色、黃色、 色的小旗，每個(gè)同學(xué)都左右兩手各拿一面彩旗列 迎接外 . 至少有

18、多少位同學(xué)才能保 其中至少有兩個(gè)人不但所拿小旗 色一 ，而且（左、右） 序也相同？5. 從 10 至 20 這 11 個(gè)自然數(shù)中，任取 7 個(gè)數(shù)， 明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是29。6. 從 1、2、3、 20 這 20 個(gè)數(shù)中，任 12 個(gè)數(shù)， 明其中一定包括兩個(gè)數(shù)，它 的差是 11。7.20 名小 棋手 行 循 比 （即每個(gè)人都要和其他任何人比 一次）， 明：在比 中的任何 候 每人已 的 次都至少有兩位小棋手比 相同的 次。8. 從整數(shù) 1、2、3、199、200 中任 101 個(gè)數(shù)，求 在 出的 些自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù) ，其中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù) .6最新 料推薦 解答1. 從 6 到 13 共有 8 種不同的年 ，根據(jù)抽 原理，任 9 名同學(xué)就一定保 其中有兩位同學(xué)的年 相同。2. 共有 4 5=20（種）不同的 菜的方式，看作20 個(gè)抽 ， 21 名同學(xué)按照 菜的方式 入相 的抽 ，根據(jù)抽 原理，至少有兩人屬于同一抽 ，即他 所 的菜和主食是一 的。3. 把自然數(shù)按照除以 5 的余數(shù)分成 5 個(gè)剩余 ，即 5 個(gè)抽 . 任取 6 個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽 原理，至少有兩個(gè)數(shù)屬于同一剩余 ，即 兩個(gè)數(shù)除以5 的余數(shù)相同，因此它 的差是5 的倍數(shù)。4. 持兩面彩旗的方式共有以下 9 種： 、黃黃、 、 黃、黃 、 、 、黃 、 黃 . 把 9