大學(xué)高等數(shù)學(xué)ppt課件第六章3逆矩陣與分塊矩陣.ppt

1、逆矩陣 與 分塊矩陣,逆矩陣, 引言,對于數(shù)的運(yùn)算，如果對于數(shù) ，存在數(shù) ，使得 ，則稱數(shù) 為數(shù) 的倒數(shù)，記作 。,從而有,對于矩陣運(yùn)算，是否有相似之處呢？, 逆矩陣的概念,設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱 矩陣B為方陣A的逆矩陣，記作B=A-1.逆矩陣也稱為非奇異矩陣。,例如：,所以,當(dāng)然, 逆矩陣存在的充分必要條件,性質(zhì),2、逆矩陣存在的充分必要條件,方陣A可逆,且,推論：如果A是n階方陣，則,推論：如果A可逆，則,注意足標(biāo)的變化,1、方陣 的伴隨矩陣,為元素 的 代數(shù)余子式,例1 判斷下面的矩陣是否可逆，如果可逆，則求逆矩陣,解 因?yàn)?所以矩陣A可逆,所以,（

2、2）因?yàn)?所以，矩陣B不可逆,例2 用逆矩陣求解線性方程組,解 將方程組改寫成矩陣形式，得,因?yàn)?因而有,所以，系數(shù)矩陣A可逆,解 記原矩陣方程為 AXB=C，因?yàn)?所以，矩陣 A、B 都可逆,在原方程兩邊同時(shí)左乘 A-1，右乘 B-1，得,例3 求解矩陣方程,逆矩陣的性質(zhì),1、逆矩陣是唯一存在的。,3、若A可逆，則A-1也可逆，且 .,4、若A可逆，數(shù) ，則,5、若A、B為同階可逆矩陣，則,6、若A可逆，則,7、,（此性質(zhì)可將定義簡化）,解,例4 設(shè)三階方陣A的伴隨矩陣為 ，且 ，求,分塊矩陣, 分塊矩陣的概念,用穿過矩陣的橫線和豎線將矩陣A分割成若干個(gè)子塊，以這些子塊為元素的矩陣A稱為分塊

3、矩陣。,例如,則A可記作,稱A為以子塊A11、A12、A13、A21、A22、A23為元素的分塊矩陣。,如：,則不是分塊矩陣。, 分塊矩陣,分塊矩陣的加減運(yùn)算,設(shè)A、B同型，且采用完全相同的分塊方法，得,則,注意：A i j與B i j同型, 分塊矩陣的數(shù)乘及轉(zhuǎn)置,設(shè)將A分塊得,則,記作,列分塊,分塊矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算子塊當(dāng)作元素轉(zhuǎn)置后子塊本身,再轉(zhuǎn)置。如,先把子塊當(dāng)作元素運(yùn)算，然后子塊再運(yùn)算。,只適用于矩陣的加、減、數(shù)乘、相乘、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算。, 分塊矩陣的乘法運(yùn)算,設(shè)A、B矩陣分塊得,則,其中,注意： A的列塊數(shù)=B的行塊數(shù)；A i k的列數(shù)=B k j的行數(shù),例題：設(shè),將A、B適當(dāng)分塊，計(jì)算AB

4、,解 將A、B作如下分塊：在一、二行之間插入橫線， 在一、二列之間插入豎線（如題目所示），則,則,而,所以,1、矩陣的分塊運(yùn)算分兩步完成，首先，視子塊為元素，按 矩陣的運(yùn)算法則作第一步運(yùn)算，然后，在子塊的運(yùn)算中， 再進(jìn)行實(shí)質(zhì)上的矩陣運(yùn)算。,2、在對矩陣進(jìn)行分塊時(shí)，必須遵守相應(yīng)運(yùn)算的前提條件。 如：相加減的矩陣，需采取完全相同的分塊方法；相乘 時(shí)，左矩陣的列塊數(shù)必須等于右矩陣的行塊數(shù)，同時(shí)還 須保證子塊運(yùn)算時(shí)的左子塊的列數(shù)必須等于右子塊的行 數(shù)。,小結(jié)：,分塊對角矩陣,如果可將矩陣A進(jìn)行適當(dāng)分塊，得到如下形式，則稱矩陣A為分塊對角矩陣。,其中A i i 為方陣子塊，其余子塊 均為零子塊,分塊對角矩陣的性質(zhì),（1）,（2）若A可逆，則, 分塊對角矩陣,其中對角線上的子塊全是方陣，其余子塊是零矩陣。如,（方