18 19第1章11117柱錐臺和球的體積

1、1.1.7 柱、錐、臺和球的體積學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解柱、錐、臺和球的體積計算公式.（重點）2.能夠運用柱、錐、 臺、球的體積公式求簡單幾何體的體積.（重點）3.臺體的體積及簡單幾何體的 體積計算.（難點）自主預(yù)習(xí)探新知1. 祖暅原理（1）“幕勢既同，則積不容異”，即“夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩 個幾何體的體積相等”.作用：等底面積、等高的兩個柱體或錐體的體積相等2. 柱體、錐體、臺體和球的體積公式其中S、S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r和r分別表示上、下底面圓的半徑，R表示球的半徑.名稱體積（V）柱體棱柱Sh

2、圓柱n2h錐體棱錐1評圓錐1 21nh臺體棱臺h(S+7SS + Sz )圓臺1223命(+ rr+ r 2)球基礎(chǔ)自測1. 判斷（正確的打“V”，錯誤的打“X”）（1）夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的某個平面所截,如果截得的兩個截面面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.（）（2）錐體的體積只與底面積和高度有關(guān)，與其具體形狀無關(guān).（）1（3）由V錐體= Sh,可知三棱錐的任何一個面都可以作為底面.（）答案X V (3) V2圓錐的母線長為5,底面半徑為3,則其體積為()【導(dǎo)學(xué)號：90662054】A. 15 nB. 30C. 12 nD. 36 nC 圓錐的高5規(guī)律方法計算柱

3、體體積的關(guān)鍵及常用技巧： 計算柱體體積的關(guān)鍵：確定柱體的底面積和高. 常用技巧： 充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，構(gòu)造直角三角形，從而計算出底面-32= 4,故 V= 3nX 32X4= 12冗.3. 若一個球的直徑是12 cm,則它的體積為 cm積和高. 由于柱體的體積僅與它的底面積和高有關(guān)，而與柱體是幾棱柱，是直棱柱還是斜棱柱沒有關(guān)系，所以我們往往把求斜棱柱的體積通過作垂直于側(cè)棱的截面轉(zhuǎn)化.43433解析由題意，知球的半徑R= 6 cm,故其體積V=nR = 3X nX 6 = 288 n (m ) 答案288 n合作探究攻重難求柱體的體積例 如圖1-1-68所示的幾何體，上面是圓柱

4、，其底面直徑為6 cm,高為3 cm, 下面是正六棱柱，其底面邊長為4 cm,高為2 cm,現(xiàn)從中間挖去一個直徑為2 cm 的圓柱，求此幾何體的體積.圖 1-1-68解V 六棱柱= X 42x 6X 2 = 48,3(cm3),V 圓柱=n 2x3= 27 n (m3),V 挖去圓柱=n 21 (3 + 2)= 5 n (m3),此幾何體的體積：V= V六棱柱+ V圓柱一V挖去圓柱=(483 + 22 n )(m).成求直棱柱的體積.跟蹤訓(xùn)練1.一個正方體的底面積和一個圓柱的底面積相等，且側(cè)面積也相等，求正方體 和圓柱的體積之比.【導(dǎo)學(xué)號：90662055】解設(shè)正方體邊長為a，圓柱高為h，底面

5、半徑為r，2 2|a = n， 則有22 nh = 4a，由得r二fa，2由得nh = 2a，二V圓柱=n2h =3V正方體：V圓柱=a：1 = , n ： 2.第12頁求錐體的體積例 如圖 1-1-69三棱臺 ABC A1B1C1 中，AB : AiBi = 1 : 2,求三棱錐 Ai-ABC, 三棱錐B-A1B1C，三棱錐C A1B1C1的體積之比.圖 1-1-69思路探究AB : A1B1= 1 : 2 Saabc : SA A1B1C1 計算 VA1 ABC 計算 VC A1B1C1 計算 VB A1B1C 解設(shè)棱臺的高為h，Saabc = S,則SAA1B1C1 = 4S.1 1-V

6、A ABC= Saabc h=Sh,14VC A1B1C1 = 3SA A1B1C1 h = Sh17又 V 臺=h(S+ 4S+ 2S)= Sh, VB A1B1C = V 臺一VA1 ABC VC A1B1C173ShSh 4Sh 2亍-亍=3Sh，體積比為1 : 2 : 4.規(guī)律方法三棱柱、三棱臺可以分割成三個三棱錐，分割后可求錐體的體積和 柱體或臺體的體積關(guān)系，割補法在立體幾何中是一種重要的方法.跟蹤訓(xùn)練2 在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體, 則截去8個三棱錐后，剩下的凸多面體的體積是（）245D.51 d i n i 1D 如圖，去掉的一個棱錐的體積是

7、3X 2X 2X 2 % 2 = 48,15剩余幾何體的體積是1- 8X 48=6求臺體的體積例已知正四棱臺兩底面邊長分別為 20 cm和10 cm,側(cè)面積是780 cmOE= 2AB= 10, - O1O= - ：E1E2 OE-O1E1 2= 12,122V正四棱臺=3X 12X (102+ 202 + 10X 20).求正四棱臺的體積.【導(dǎo)學(xué)號：90662056】思路探究可以嘗試借助四棱臺內(nèi)的直角梯形求出棱臺底面積和高，從而求出體積.解 如圖所示，正四棱臺 ABCD A1B1C1D1 中，A1B1= 10 cm，AB= 20 cm.取A1B1的中點E1, AB的中點E,貝U E1E是側(cè)面

8、ABB1A1的高.設(shè)01、O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E1是直角梯形.1由 S側(cè)=4X2(10 + 20) E1E = 780,得 EE仁 13,1在直角梯形 EOO1E1 中，OE1 = 2A1B1 = 5,3=2 800 (cm2S 下=42= 16(cm2), V 正四棱臺=X (4 + , 4X 16+ 16)=fx 2X28 =282 (cm3).求球的體積 過球面上三點A, B, C的截面到球心O的距離等于球的半徑的一半，且AB= BC = CA= 3 cm,求球的體積和表面積【導(dǎo)學(xué)號：90662057】思路探究解決本題要充分利用已知條件，尤其是球半徑，截面圓半徑和球

9、心距構(gòu)成的直角三角形.).故正四棱臺的體積為2 800 cm3.規(guī)律方法求臺體的體積關(guān)鍵是求出上、下底面的面積和臺體的高.要注意充 分運用棱臺內(nèi)的直角梯形或圓臺的軸截面尋求相關(guān)量之間的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練3. 本例若改為“正四棱臺的上、下兩底的底面邊長分別為2 cm和4 cm,側(cè)棱長為2 cm,求該棱臺的體積.”解如圖，正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面邊長分別為2 cm和4 cm,則 O1B1 = 2 cm,OB= 2 2 cm,過點B1作B1M丄OB于點M，那么B1M為正四棱臺的高，在Rt BMB1 中，BB1 = 2 cm, MB= (2 2 2)= 2 (cm).根據(jù)勾股定理2

10、MB221B B土 S2 . 2 2(cm).22S 上=22 = 4 (cm2),解如圖，設(shè)過A, B, C三點的截面為圓0，連接00、AO、A0T AB= BC = CA= 3 cm, 0為正三角形ABC的中心, AO，=aB= 3 (cm).1設(shè) 0A= R,J則 00 = 2R，v 00丄截面ABC, 00丄 A0, A0 = tR=：3 (cm), - R = 2 cm,4332322 V 球=3泯3 n (m3), S 球=4tR= 16 n (m ).即球的體積為32 n m3,表面積為16 n m2.規(guī)律方法球的基本性質(zhì)是解決與球有關(guān)的問題的依據(jù)，球半徑、截面圓半徑 和球心到截

11、面的距離所構(gòu)成的直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要 方法.跟蹤訓(xùn)練4如果三個球的半徑之比是1 : 2 : 3,那么最大球的體積是其余兩個球的體積之和的()A. 1倍 B . 2倍 C. 3倍D . 4倍C 半徑大的球的體積也大，設(shè)三個球的半徑分別為x,2x,3x,則最大球的半徑為3x,其體積為3冗 (3x)3，其余兩個球的體積之和為3 n3 + 4 nX (2x)3,434343 3 nX (3x)+ 3 nX 2x = 3.空間幾何體的體積探究問題1. 設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為 S1, S2,體積分別為V1, V2.若它們的側(cè)面 積相等，且字9,求轄的值.S19提示設(shè)兩個圓柱的

12、底面半徑和高分別為ri, r2和hi, h2，由S2=4,ri 3hi 2Vi則=3由圓柱的側(cè)面積相等,得2nihi = 2 Tf2h2,即rihi =2h2,則冠=3，所以V2nfhi 3=碌=2.2 .把長和寬分別為6和3的矩形卷成一個圓柱的側(cè)面，求這個圓柱的體積.提示設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為I,3當(dāng)2n=6 時，=；，1=3，22|327所以V圓柱=n l = n 3=.5n當(dāng)2n=3時，l=6，2 6 =瓷2所以V圓柱=n l = n27 27所以這個圓柱的體積為4或創(chuàng) 如圖i-i-70所示，正方體ABCDAiBiCiDi的棱長為i, E為線段BiC上的一點，則三棱錐A DEDi

13、的體積為.【導(dǎo)學(xué)號：90662058】圖 1-1-70思路探究(1)利用轉(zhuǎn)換底面以便于找到幾何體的高，從而求出幾何體的體積.(2)利用等體積法可求點到平面的距離.解V三棱錐A-DEDi = V三棱錐E DDiA1 ii=qx ix ix 1 = 6.母題探究：本例中，求點A到平面AiBD的距離d.圖 1-1-71解在三棱錐 Ai ABD 中，AAi丄平面 ABD，AB = AD = AAi= 1,Ai B= BD= AiD = ;2， VAi ABD= VA AiBD，11,11 c 3 3X 2X 1X 1X 1 = 3X 2 2X 2 2d. d= J規(guī)律方法1. 計算柱體、錐體和臺體的體

14、積時，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高， 要充分運用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.旋轉(zhuǎn)體的軸截面是用過旋轉(zhuǎn)軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體而得到的截面. 例如，圓柱 的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形，球的 軸截面是過球心的平面截球所得的圓面.2. 在求不規(guī)則的幾何體的體積時，可利用分割幾何體或補全幾何體的方法轉(zhuǎn)化 為柱、錐、臺、球的體積計算問題.當(dāng)堂達標(biāo)固雙基1.如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4n那么圓柱的體積等于（）A. nB . 2 nC. 4 nD . 8 nB 設(shè)軸截面正方形的邊長為a，由題意知S側(cè)a= n .又 T S 側(cè)=4n

15、 a= 2. V 圓柱=nX 2= 2 冗.2. 已知高為3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形（如圖1-1-72），則三棱錐B1-ABC的體積為（）圖 1-1-72A14c逅C. 611 亞 c 亞D V= 3Sh= 3乂丁 X 3 = 丁.3.已知圓錐SO的高為4,體積為4n,則底面半徑r =【導(dǎo)學(xué)號：90662059】1 2解析由已知得4 n= 3 X 4,解得r= 3.答案34. 棱臺上、下底面面積之比為1 : 9,則棱臺的中截面分棱臺成兩部分的體積之 比是.解析設(shè)棱臺高為2h,上底面面積為S,則下底面面積為9S,中截面面積為4S,V上3 S+ *S 4S+ 4S h 7V 下 34S+ , 4S 9S+ 9S h 195. 一個正三棱錐底面邊長為6,側(cè)棱長為.15,求這個三棱錐體積【導(dǎo)學(xué)號：90662060解如圖所示