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1、數(shù)的整除（ 1）性質(zhì)、特征、奇偶性【知識(shí)要點(diǎn)】：整除性質(zhì)：（1）如果數(shù)a、b都能被c整除，那么它們的和（a+b）或 差（a- b）也能被c整除。（ 2）如果數(shù) a 能被自然數(shù) b 整除，自然數(shù) b 能被自然數(shù) c 整除，則數(shù) a 必能被數(shù) c 整除。（ 3）若干個(gè)數(shù)相乘，如其中有一個(gè)因數(shù)能被某一個(gè)數(shù)整除，那么，它 們的積也能被這個(gè)數(shù)整除。（ 4）如果一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除，那么，這個(gè)數(shù)能 被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。 反之， 若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除， 那么這個(gè)數(shù)能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)整除。整除特征：（ 1 ）若一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被 4（或 25）整除，則這個(gè)數(shù) 能被 4（或 2

2、5）整除。（2）若一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被 8（或 125）整除，則這個(gè)數(shù)能被 8（或 125）整除。（ 3）若一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被 3（或 9）整除，則這個(gè)數(shù)能被 3（或 9）整除。（ 4）若一個(gè)數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)數(shù)字和之差（以大減?。┠鼙?1 整除，則這個(gè)數(shù)能被 11 整除。（ 5）若一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被 7（或 13）整除，則這個(gè)數(shù)能被 7（或 13） 整除。奇偶性：（1） 奇數(shù)奇數(shù) =偶數(shù)（ 2）偶數(shù)偶數(shù) =偶數(shù)（ 3）奇數(shù)偶數(shù)二奇數(shù)（4）奇數(shù)x奇數(shù)二奇數(shù)（5）偶數(shù)x偶數(shù)二偶數(shù)（6）奇數(shù)x偶數(shù)二偶數(shù)（7）奇數(shù)一奇數(shù)二奇數(shù)（8

3、）典型例題】例 1:一個(gè)三位數(shù)能被 3 整除，去掉它的末尾數(shù)后，所得的兩位數(shù)是17 的倍數(shù)，這樣的三位數(shù)中，最大是幾？例2: 1200這200個(gè)自然數(shù)中，能被6或8整除的數(shù)共有多少個(gè)?9例 3 ：任意取出 1998 個(gè)連續(xù)自然數(shù)， 它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？例 4：有“ 1”，“ 2 ”，“ 3 ”，“ 4”四張卡片，每次取出三張組 成三位數(shù)，其中偶數(shù)有多少個(gè)？例皈口果41位數(shù)芳庁口眇卡能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字杲幾彳【精英班】2D不20人【競賽班】例6:某市舉辦小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽， 共20道題，評分標(biāo)準(zhǔn)是： 答對一題給5分，不答一題給1分，答錯(cuò)一題倒扣1分，如果1999人 參賽，問參賽同學(xué)

4、的總分是奇數(shù)還是偶數(shù)？【課后分層練習(xí)】 A組：入門級(jí)1、判斷306371能否被7整除？能否被13整除?2、abcabc能否被7、11和13整除？3、六位數(shù)7E36F5 是1375的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。4、已知10口 8971能被13整除，求中的數(shù)5、有8個(gè)學(xué)生都面向南站成一排，每次只有 7個(gè)學(xué)生向后轉(zhuǎn)，最 少要做多少次才能使 8個(gè)學(xué)生都面向北？B組：進(jìn)階級(jí)1、有一個(gè)四位數(shù)3AA1，它能被9整除，那么數(shù)A代表多少?2、一個(gè)一百位數(shù)由 1 個(gè) 1，2 個(gè) 2，3 個(gè) 3，4 個(gè) 4，5 個(gè) 5，6 個(gè) 6，7 個(gè) 7 ，及 72 個(gè) 0 組成，問這個(gè)百位自然數(shù)有可能是完全平方數(shù)嗎？3、某市舉辦小學(xué)

5、生數(shù)學(xué)競賽， 共 30 道題，評分標(biāo)準(zhǔn)是： 基礎(chǔ)分 15分， 答對一題給 5 分，不答一題給 1 分，答錯(cuò)一題倒扣 1 分，如果 199 人 參賽，問參賽同學(xué)的總分是奇數(shù)還是偶數(shù)？4、已知10口8971能被13整除，求中的數(shù)。C組：挑戰(zhàn)級(jí)1、能不能將從 1 到 10 的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被 3 整除？2、對于左下表，每次使其中的任意兩個(gè)數(shù)減去或加上同一個(gè)數(shù)，能否 經(jīng)過若干次后（各次減去或加上的數(shù)可以不同），變?yōu)橛蚁卤?？為什么?23n573g1100011133、左下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個(gè)房間 都有通向任何一個(gè)鄰室的門。有人想從某個(gè)房間開始，依次

6、不重 復(fù)地走遍每一個(gè)房間，他的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？HP【典型例題】例 1：一個(gè)三位數(shù)能被 3 整除，去掉它的末尾數(shù)后，所得的兩位數(shù)是17 的倍數(shù)，這樣的三位數(shù)中，最大是幾？解：在兩位數(shù)中，是17的倍數(shù)的數(shù)中最大的為17X 5=85( 17X 6=102). 于是所求數(shù)的前兩位數(shù)字為 85.因?yàn)?8+5=13，故所求數(shù)的個(gè)位數(shù)字為2、5、8 時(shí)，該數(shù)能被 3 整除，為使該數(shù)最大，其個(gè)位數(shù)字應(yīng)為 8.最 大三位數(shù)是 858.例2: 1200這200個(gè)自然數(shù)中，能被6或8整除的數(shù)共有多少個(gè)？解：1200中，能被6整除的數(shù)共有33個(gè)(200-6=33)，能被8 整除的數(shù)共有 25 個(gè)(200- 8=25)

7、但6, 8 =24, 200- 24=88, 即 1200中，有 8 個(gè)數(shù)既被 6整除，又被 8整除。故總共有： 33+25 8=50。例 3：任意取出 1998個(gè)連續(xù)自然數(shù),它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 解：任意取出的 1998 個(gè)連續(xù)自然數(shù),其中奇數(shù)、偶數(shù)各占一半,即 999個(gè)奇數(shù)和 999個(gè)偶數(shù)。 999個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù), 999個(gè)偶數(shù)的和是 偶數(shù),奇數(shù)加上偶數(shù)和為奇數(shù),所以它們的和是奇數(shù)。例 4 ：有“ 1 ”, “ 2”, “ 3”, “4”四張卡片,每次取出三張組成三位數(shù), 其中偶數(shù)有多少個(gè)？解：組成的三位數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是 2或 4兩種情況,若個(gè)位數(shù)字是 2, 百位、十位數(shù)字可從余下

8、的數(shù)字中取，這樣可組成 3X 2=6 (個(gè))三位 偶數(shù)；若個(gè)位數(shù)字是 4,同樣也可以組成 6 個(gè)三位偶數(shù)。這樣總共 12 例5如果41位數(shù)護(hù)?歲9能披7整陳，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是幾?【精英班】 解：根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，555555與999999都能被7整除，所to-5與999也能被7整除。7 jf J訊牛8r55- 5D 999 = 55-500000 999 +55099X 102二?J 京L UL因?yàn)樯鲜街械忍?hào)左邊的數(shù)與等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)都能被 7整除，所以等號(hào)右邊第二個(gè)數(shù) 也能被7整除，推知55口99能被7整除。根據(jù)能被7整除的數(shù) 的特征，口 99-55=口44也應(yīng)能被7整除。由口

9、 44能被7整除， 易知內(nèi)應(yīng)是6?！靖傎惏唷坷?:某市舉辦小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，共 20道題，評分標(biāo)準(zhǔn)是：答 對一題給5分，不答一題給1分，答錯(cuò)一題倒扣1分，如果1999人參賽， 問參賽同學(xué)的總分是奇數(shù)還是偶數(shù)？解：對于每個(gè)學(xué)生來說，20道題都答對，共得5X 20=100分（偶數(shù)）。若該 學(xué)生答錯(cuò)一題，應(yīng)從100分中扣（5+仁6）分，無論他答錯(cuò)多少道題，扣分 的總數(shù)應(yīng)是6的倍數(shù)，即扣分的總數(shù)也是偶數(shù)，100分中扣除偶數(shù)分仍得偶 數(shù)分；同樣若他不答一題，應(yīng)從100分中扣除（5-仁4）分，無論他不答多少道題，扣分的總數(shù)應(yīng)是 4的倍數(shù)，即扣分的總數(shù)也是偶數(shù)，所以100分中減去偶數(shù)仍得偶數(shù)，每個(gè)學(xué)生得分?jǐn)?shù)是

10、偶數(shù)，那么無論有多少人參加 數(shù)學(xué)競賽，學(xué)生得分的總數(shù)和一定是偶數(shù)?！菊n后分層練習(xí)】A組：入門級(jí)1、判斷306371能否被7整除？能否被13整除？解：因?yàn)?71-306=65, 65是13的倍數(shù)，不是7的倍數(shù)，所以306371能被 13整除，不能被7整除。2、abcabc能否被7、11和13整除?分析與解:因jabcabc = abcX 100h 10D1是了，11和13的倍數(shù),所以巫贏能被7，】1和1癌除3、六位數(shù)7E36F5是1375的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。解：因?yàn)?375=5X 5X 5X 11=125X 11,根據(jù)能被125整除數(shù)的特征，這個(gè)數(shù)的末三位能被125整除，可知道F=2，又因?yàn)檫@

11、個(gè)數(shù)是11的倍 數(shù)，所以7+3+2 (E+6+5)= 1-E是11的倍數(shù)，那么E=1.所以這個(gè) 六位數(shù)是713625.4、已知10口 897能被13整除，求中的數(shù)。解：10口8-971= 1008- 971+口 0=37+口 0。上式的個(gè)位數(shù)是 乙若是13的倍數(shù)，則必是13的9倍，由13X9-37=80,推知中的數(shù)是85、有8個(gè)學(xué)生都面向南站成一排，每次只有 7個(gè)學(xué)生向后轉(zhuǎn)，最少要 做多少次才能使8個(gè)學(xué)生都面向北？解：對于每個(gè)人只要向后轉(zhuǎn)奇數(shù)次，就能面向北。由于每一輪恰有7 個(gè)學(xué)生向后轉(zhuǎn)，8個(gè)學(xué)生向后轉(zhuǎn)的次數(shù)總和為 7 X 8=56 （次）。因此最 少要做56- 7=8 （次）才能使8個(gè)學(xué)生都

12、面向北。B組：進(jìn)階級(jí)1、有一個(gè)四位數(shù)3AA1，它能被9整除，那么數(shù)A代表多少？解：3+A+A+1=4+2A，根據(jù)能被9整除數(shù)的特征，4+2A是9的倍數(shù)。 因?yàn)?+2A是偶數(shù)，所以4+2A=18，A=7.2、 一個(gè)一百位數(shù)由 1個(gè)1，2個(gè)2，3個(gè)3，4個(gè)4，5個(gè)5，6個(gè)6，7 個(gè)乙及72個(gè)0組成，問這個(gè)百位自然數(shù)有可能是完全平方數(shù)嗎？解：任何一個(gè)自然數(shù)的平方除以 3都余1或0而這個(gè)一百位數(shù)的數(shù)字 和是140，140除以3余2,所以這個(gè)一百位數(shù)不可能是完全平方數(shù)。3、某市舉辦小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽， 共30道題，評分標(biāo)準(zhǔn)是：基礎(chǔ)分15分, 答對一題給5分，不答一題給1分，答錯(cuò)一題倒扣1分，如果199人 參

13、賽，問參賽同學(xué)的總分是奇數(shù)還是偶數(shù)？解：仿照例6:這199位同學(xué)的得分總分是奇數(shù)。4、已知10口8971能被13整除，求中的數(shù)。解：10口8-971= 1008- 971+口 0=37+口 0。上式的個(gè)位數(shù)是 乙若是13的倍數(shù)，則必是13的9倍，由13X9-37=80，推知中的數(shù)是8C組：挑戰(zhàn)級(jí) 1、能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被3整除?解：10個(gè)數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗(yàn)顯然行不通。我們采用反 證法。假設(shè)題目的要求能實(shí)現(xiàn)。那么由題意，從前到后每兩個(gè)數(shù)一組 共有5組，每組的兩數(shù)之和都能被 3整除，推知110的和也應(yīng)能被 3整除。實(shí)際上，110的和等于55,不能被3整除。這個(gè)矛盾說明 假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實(shí)現(xiàn)。2、對于左下表，每次使其中的任意兩個(gè)數(shù)減去或加上同一個(gè)數(shù)，能否經(jīng)過若干次后（各次減去或加上的數(shù)可以不同），變?yōu)橛蚁卤?？為什解：因?yàn)槊看斡袃蓚€(gè)數(shù)同時(shí)被加上或減去15同一個(gè)數(shù)，所以表中九個(gè)數(shù)碼的總和經(jīng)過變化后，等于原來的總和加 上或減去那個(gè)數(shù)的2倍，因此總和的奇偶性沒有改變。原來九個(gè)數(shù)的總和為1+2+9=45,是奇數(shù)，經(jīng)過