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1、、等差數(shù)列1.等差數(shù)列的定義：an an 1d (d為常數(shù))(n 2);-10 -首項(xiàng)：a1，公差:d，末項(xiàng)：an2 等差數(shù)列通項(xiàng)公式：*ana1 (n 1)d dn 日 d (n N )推廣：an am (n m)d .從而dan amn m3.等差中項(xiàng)(1) 如果a , A , b成等差數(shù)列，那么(2) 等差中項(xiàng)：數(shù)列an是等差數(shù)列A叫做a與b的等差中項(xiàng).即:a b亠A 或 2A a22a nan-1 an 1(n 2)2 an 1an an 24. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:n(d a.)2n(n(其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)dM 0時(shí),d 212n (印 d)n An Bn2 2Sn是關(guān)于n

2、的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0)特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1 a1 a2n 122n 1 an1 (項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng))2n 1時(shí)，an 1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)5.等差數(shù)列的判定方法(1) 定義法：若an an 1d 或 an 1and (常數(shù)n N )an是等差數(shù)列.(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列an是等差數(shù)列2anan-1an 1(n 2)2a“ 1an an 2數(shù)列an是等差數(shù)列an kn b(其中k, b是常數(shù))。(4)數(shù)列an是等差數(shù)列Sn An2Bn,(其中A、B是常數(shù))。S2n 16. 等差數(shù)列的證明方法定義法：若an an 1 d或an 1 an d (常

3、數(shù)n N ) an是等差數(shù)列.7. 提醒:a1、d稱作為基(1) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n和公式中，涉及到 5個(gè)元素：a1、d、n、an及Sn，其中 本元素。只要已知這 5個(gè)元素中的任意 3個(gè)，便可求出其余 2個(gè)，即知3求2。(2) 設(shè)項(xiàng)技巧： 一般可設(shè)通項(xiàng)an a1 (n 1)d 奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，a 2d, a d,a, a d,a 2d(公差為d )； 偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，a 3d, a d,a d,a 3d ,(注意；公差為2d )8.等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)公差d 0時(shí)， 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an a1 (n 1)d dn a1 d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d ；前

4、n和Sn門印1)d dn2 (a1 )n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為 0.2 2 2(2)若公差d 0,則為遞增等差數(shù)列，若公差 d 0,則為遞減等差數(shù)列，若公差 d 0,(3)當(dāng)m n p q時(shí)，則有am注：a1 ana2 an 1 a3an ap aq ,特別地，當(dāng)m nan 2,2p時(shí)，則有am an則為常數(shù)列。2ap.(4)若an、bn為等差數(shù)列，則anb ,耳20都為等差數(shù)列 若a.是等差數(shù)列，則Sn,S2nSn , S3nS2n，也成等差數(shù)列(6)數(shù)列an為等差數(shù)列，每隔k(kN )項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,am k,am 2k,am 3k,)仍為等差數(shù)列(7)設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列,1.當(dāng)

5、項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，d為公差，S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和,S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和,Sn是前n項(xiàng)的和aia3 a5a2nn a1a2n 1a2a4a6a2n2n a2a2n2nannan 1nan inann an iannananna* 1 an 12、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1時(shí)，則S2n 1S奇S偶(2n 1) an+1S奇S偶 an+1(n 1)an+1S偶n an+1(其中an+1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng))(8)、bn的前n和分別為An、Bn,且 A f(n),Bn貝y(2 n 1)an、石(2n 1)bnB2n 1f(2n 1).(9)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sm n，前m項(xiàng)和Snm ,則前m+n

6、項(xiàng)和Sm n(10)求Sn的最值法一：因等差數(shù)列前n項(xiàng)是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性 n N*法二：(1) “首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和an 0即當(dāng)a1 0, d 0,由n 可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值.an 10(2)“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前 n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。an 0即 當(dāng)a1 0, d 0,由可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值或求an中正負(fù)分界項(xiàng)an 10軸最近的整數(shù)時(shí),法三：直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過原點(diǎn)的二次函數(shù)，故 n取離二次函數(shù)對(duì)稱Sn取最大值(或最小值)。若Sp = Sq則

7、其對(duì)稱軸為n注意：解決等差數(shù)列問題時(shí)，通?？紤]兩類方法： 基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程； 巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運(yùn)算量.、等比數(shù)列1.等比數(shù)列的定義：-aq q 0 n 2,且n N* , q稱為公比an 12.通項(xiàng)公式:3. 等比中項(xiàng)(1) 如果a,代b成等比數(shù)列，那么 A叫做a與b的等差中項(xiàng)即： A ab或A . ab 注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng) 有兩個(gè)(兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù))2(2) 數(shù)列an是等比數(shù)列ana. i a. 14. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式：當(dāng)q 1時(shí)，Sn naiai 1 qn當(dāng)q 1時(shí)，Sn

8、1 q旦5qn A A Bn ABn A ( A,B,A,B為常數(shù))1 q 1 q5. 等比數(shù)列的判定方法a(1) 用定義：對(duì)任意的n,都有an 1 qan或口 q(q為常數(shù)，an 0)an為等比數(shù)列an2(2) 等比中項(xiàng)：anan仙1 ( an 1an 1 0)an為等比數(shù)列(3) 通項(xiàng)公式：an A Bn A B 0a.為等比數(shù)列(4) 前n項(xiàng)和公式：Sn A A Bn或 Sn ABn A A,B,A,B為常數(shù)%為等比數(shù)列6. 等比數(shù)列的證明方法a*依據(jù)定義：若 q q 0 n 2,且n N 或an 1 qanan為等比數(shù)列an 17. 注意(1) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n和公式中，涉及

9、到 5個(gè)元素：a1、q、n、an及Sn,其中a1、q稱作為基本 元素。只要已知這 5個(gè)元素中的任意 3個(gè)，便可求出其余 2個(gè)，即知3求2。(2) 為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)；an a-iqn 1如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，-ar,-,a,aq,aq2(公比為q，中間項(xiàng)用a表示)；q q8.等比數(shù)列的性質(zhì)n 1 ai nanaiqqqA Bn a1 q 0,A B 0 ,首項(xiàng)：a1 ；公比：q推廣：ann mamq ,從而得qn m(1)當(dāng)q 1時(shí)等比數(shù)列通項(xiàng)公式 an agqn A Bn A B 0是關(guān)于n的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底為公比qqa 1 qn1 q數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，

10、底數(shù)為公比前n項(xiàng)和Shaqn A A Bn ABn A，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是互為相反 q 對(duì)任何m,n N，在等比數(shù)列an中,有annamqm，特別的，當(dāng) m=1時(shí),便得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 因此，此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性。 若 m+n=s+t (m，n，s，t N )，則 a* am a$ q .特別的，當(dāng) n+m=2k 時(shí)，得 an am2ak注：a1 an a2 an 1 a3an 2 列an，bn為等比數(shù)列，則數(shù)列，k an，ank，k an bnaanb(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列.(8)(9)數(shù)列an為等比數(shù)列，每隔如果an是各項(xiàng)均為正數(shù)的若an為等比數(shù)列，則數(shù)列若an為等

11、比數(shù)列，則數(shù)列當(dāng)q 1時(shí),k(k N )項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,am k,am 2k,am 3k,等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)og a an是等差數(shù)列Sn，S2na a?)仍為等比數(shù)列Sn , S3n S2n，成等比數(shù)列an，an 1 an 2a2n，a2n 1 a2n 2a3n成等比數(shù)列當(dāng)0q1時(shí),a1 0,則an為遞增數(shù)列 a1 0，貝Uan為遞減數(shù)列,0,則an為遞減數(shù)列0，則an為遞增數(shù)列 當(dāng)q=1時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列(此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列) 當(dāng)q0時(shí),該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.S奇1(10)在等比數(shù)列an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (n N )時(shí)，亠 S禺q(11)若an是公比為q的等比數(shù)列，則Sn m Sn q Sm

12、三、等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的比較等差數(shù)列性質(zhì)等比數(shù)列性質(zhì)1、定義an+1-an=d(n 1) ； an-an=d(n2)-q(n 1)，-q(n 2)anan-12、通項(xiàng)公式a a (n 1dn 1an a1 qn manam(nm)d(n，m N)an am q3、前n項(xiàng)和- an)nSn2n(n 1).Sn n aq=1 , Sn=na1；q 1S = a1(1-qn)嚴(yán)nq1-q1-qa+ba、A、b成等差數(shù)列A=Aba、A、b成等比數(shù)列一一2a Aan是其前k項(xiàng)an-k與后k項(xiàng)a”k的等差中項(xiàng)，（不等價(jià)于A2=ab，只能）_;4、中項(xiàng)即：a =an-k+an+kan是其前k項(xiàng)an-k與

13、后k項(xiàng)a“+k的an 2等比中項(xiàng)，即：a：二an-k an+k若 m+n=p+q,則 am anap aq若m+n=p+q則am an / /特別地,若5、下標(biāo)和公式2m+n=2p,則 o ooam anap特別地,若m+n=2p,則am an2ap等差數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首尾等比數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的積等于首尾項(xiàng)性質(zhì)兩項(xiàng)的和,即：首尾兩項(xiàng)的積，即：6、a1 an a2 an 1akan (k 1)a1 an a 2 an 1a* an * 1) an為等差數(shù)列，右m,n,p成等差數(shù)列，則a 為等比數(shù)列，若m,n,p成等差數(shù)列，則 anam,an,ap成等差數(shù)列am，an，ap

14、成等比數(shù)列（兩個(gè)等差數(shù)列的和仍是等差數(shù)列）（兩個(gè)等比數(shù)列的積仍是等比數(shù)列）等差數(shù)列an,bn的公差分別為d ,e,則數(shù)等比數(shù)列 an,bn的公比分別為p, q ,列an bn仍為等差數(shù)列，公差為 d e則數(shù)列an bn仍為等比數(shù)列，公差為pq取出等差數(shù)列的所有奇（偶）數(shù)項(xiàng)，組成的取岀等比數(shù)列的所有奇（偶）數(shù)項(xiàng)，組成的新7、結(jié)論新數(shù)列仍為等差數(shù)列，且公差為2d2數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為q0無此性質(zhì)；右 am 二n,an 二m(mn),則 am n若 Sm= n,Sn=m(m n),則 Sm n(m n)無此性質(zhì)；若 Sm S(m 0),則 Smm 0無此性質(zhì)；Sm,S2m Sm,S3m S,成等差數(shù)列，SmSm，S3mSm，成等差數(shù)公差為m2dm列，公比為q當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，s偶 s奇nd當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶 qS奇當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1時(shí)，s奇anS奇a1q s偶s禺a(chǎn)n 1當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1時(shí)，審s偶a中八S奇nS2n 1(2n a中，S禺n 1定義法：an qa d定義法：a an i d n2W 1等差中項(xiàng)概念；anan 22an 1 (an0)等差中項(xiàng)概念；2an an1an