初中幾何輔助線的規(guī)律

1、初中幾何輔助線的規(guī)律初中幾何輔助線的規(guī)律 ( 一) 線、角、相交線、平行線 規(guī)律 1 如果平面上有 n(n≥2) 個點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同 一直線上，那么每兩點(diǎn)畫一條直線，一共可以畫出 n(n-1) 條。規(guī)律 2平面上的 n 條直線最多可把平面分成 n(n+1)+1 個部 分。規(guī)律 3如果一條直線上有 n 個點(diǎn)，那么在這個圖形中共有線段的條數(shù)為 n(n-1) 條。規(guī)律 4線段(或延長線 ) 上任一點(diǎn)分線段為兩段，這兩條線段的 中點(diǎn)的距離等于線段長的一半。規(guī)律 5有公共端點(diǎn)的 n 條射線所構(gòu)成的交點(diǎn)的個數(shù)一共有n(n-1) 個。規(guī)律 6如果平面內(nèi)有 n 條直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，則可構(gòu)成小于平

2、角的角共有 2n(n-1) 個 規(guī)律 7如果平面內(nèi)有 n 條直線都經(jīng)過同一點(diǎn)， 則可構(gòu)成 n(n-1) 對對頂角。規(guī)律 8平面上若有 n(n≥3) 個點(diǎn)，任意三個點(diǎn)不在同一直線 上，過任意三點(diǎn)作三角形一共可作出 n(n-1)(n-2) 個。規(guī)律 9互為鄰補(bǔ)角的兩個角平分線所成的角的度數(shù)為 90°規(guī)律 10平面上有 n 條直線相交，最多交點(diǎn)的個數(shù)為 n(n-1) 個。規(guī)律 11 互為補(bǔ)角中較小角的余角等于這兩個互為補(bǔ)角的角的 差的一半。規(guī)律 12 當(dāng)兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯角 的角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直。規(guī)律 13已知AB/ DE,如圖(6)

3、,規(guī)律如下：規(guī)律 14成“8”字形的兩個三角形的一對內(nèi)角平分線相交所成 的角等于另兩個內(nèi)角和的一半。三角形部分規(guī)律 15 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如果直接 證不出來，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出 現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不 等式性質(zhì)證題。注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時，常通過 引輔助線，把求證的量 （ 或與求證有關(guān)的量 ） 移到同一個或幾 個三角形中去然后再證題。規(guī)律 16 三角形的一個內(nèi)角平分線與一個外角平分線相交所成 的銳角，等于第三個內(nèi)角的一半。規(guī)律 17三角形的兩個內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于 90o 加上 第三個內(nèi)角的

4、一半。規(guī)律 18三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等于 90o 減去 第三個內(nèi)角的一半。規(guī)律 19 從三角形的一個頂點(diǎn)作高線和角平分線，它們所夾的角 等于三角形另外兩個角差 （的絕對值 ） 的一半。注意：同學(xué)們在學(xué)習(xí)幾何時，可以把自己證完的題進(jìn)行 適當(dāng)變換，從而使自己通過解一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力。規(guī)律 20 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明 角的不等關(guān)系時，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長某 邊，構(gòu)造三角形， 使求證的大角在某個三角形外角的位置上， 小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題。規(guī)律 21 有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等

5、三 角形。規(guī)律 22 有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，常加倍延長此線段構(gòu)造 全等三角形。規(guī)律 23 在三角形中有中線時，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形。 規(guī)律 24截長補(bǔ)短作輔助線的方法 截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段 補(bǔ)短法：延長較短線段和較長線段相等 . 這兩種方法統(tǒng)稱截長補(bǔ)短法。當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、 b、c、 d 有下列情況之一時用此種方法： a>b a±b = c a±b = c±d規(guī)律 25證明兩條線段相等的步驟： 觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證 這兩個三角形全等。 若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段

6、用和它相等 的線段代換，再證它們所在的三角形全等。 如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等 三角形。規(guī)律 26 在一個圖形中，有多個垂直關(guān)系時，常用同角 （等角 ） 的 余角相等來證明兩個角相等。規(guī)律 27三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線所在的直線的距離 相等。初中幾何輔助線的規(guī)律 （ 二）規(guī)律 28 條件不足時延長已知邊構(gòu)造三角形。規(guī)律 29連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題 規(guī)律 30有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長?？?歸結(jié)為“角分垂等腰歸”。規(guī)律 31 當(dāng)證題有困難時，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn) 連接起來構(gòu)造全等三角形。規(guī)律 32 當(dāng)證題缺少

7、線段相等的條件時，可取某條線段中點(diǎn)，為 證題提供條件。規(guī)律 33 有角平分線時，常過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線， 利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題。規(guī)律 34 有等腰三角形時常用的輔助線作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線有底邊中點(diǎn)時，常作底邊中線將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題 常過一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線 常過一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線 常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形 等邊三角形規(guī)律 35有二倍角時常用的輔助線構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外 角平分二倍角加倍小角 規(guī)律 36 有垂直平分線時常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn) 連結(jié)起來。規(guī)律 37有垂直時

8、常構(gòu)造垂直平分線。規(guī)律 38 有中點(diǎn)時常構(gòu)造垂直平分線。規(guī)律 39 當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時常構(gòu)造直角三角形，利用 勾股定理證題。規(guī)律 40 條件中出現(xiàn)特殊角時常作高把特殊角放在直角三角形 中。四邊形部分規(guī)律 41 平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半。 規(guī)律 42平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差。規(guī)律 43 有平行線時常作平行線構(gòu)造平行四邊形。規(guī)律 44 有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時常延長此線 段。規(guī)律 45 平行四邊形對角線的交點(diǎn)到一組對邊距離相等。規(guī)律 46 平行四邊形一邊 （ 或這邊所在的直線 ） 上的任意一點(diǎn)與 對邊的兩個端點(diǎn)

9、的連線所構(gòu)成的三角形的面積等于平行四 邊形面積的一半。規(guī)律 47 平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與四個頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的四 個三角形中，不相鄰的兩個三角形的面積之和等于平行四邊 形面積的一半。規(guī)律 48 任意一點(diǎn)與同一平面內(nèi)的矩形各點(diǎn)的連線中，不相鄰的 兩條線段的平方和相等。規(guī)律 49 平行四邊形四個內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為矩形。規(guī)律 50 有垂直時可作垂線構(gòu)造矩形或平行線。規(guī)律 51 直角三角形常用輔助線方法：作斜邊上的高作斜邊中線，當(dāng)有下列情況時常作斜邊中線： 有斜邊中點(diǎn)時 有和斜邊倍分關(guān)系的線段時 規(guī)律 52 正方形一條對角線上一點(diǎn)到另一條對角線上的兩端距離相等。規(guī)律 53 有正方形一邊中點(diǎn)時常

10、取另一邊中點(diǎn)。規(guī)律 54 利用正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換 旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時，可以把 圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置的引 輔助線方法。旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從 而為證題創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中 規(guī)律 55有以正方形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，常把這條線段延 長，構(gòu)造全等三角形。規(guī)律 56 從梯形的一個頂點(diǎn)作一腰的平行線，把梯形分成一個平 行四邊形和一個三角形。規(guī)律 57 從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形 轉(zhuǎn)化成一個矩形和兩個三角形。規(guī)律 58 從梯形的一個頂點(diǎn)作一條對角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)

11、化 成平行四邊形和三角形。規(guī)律 59 延長梯形兩腰使它們交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形。 規(guī)律 60有梯形一腰中點(diǎn)時，常過此中點(diǎn)作另一腰的平行線，把 梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。規(guī)律 61 有梯形一腰中點(diǎn)時，也常把一底的端點(diǎn)與中點(diǎn)連結(jié)并延 長與另一底的延長線相交，把梯形轉(zhuǎn)換成三角形。規(guī)律 62 梯形有底的中點(diǎn)時，常過中點(diǎn)做兩腰的平行線。 初中幾何輔助線的規(guī)律 （ 三）規(guī)律 63 任意四邊形的對角線互相垂直時，它們的面積都等于對 角線乘積的一半。規(guī)律 64 有線段中點(diǎn)時，常過中點(diǎn)作平行線，利用平行線等分線 段定理的推論證題。規(guī)律 65 有下列情況時常作三角形中位線。 有一邊中點(diǎn) ;有線段倍分關(guān)系 ;有兩

12、邊 （或兩邊以上 ） 中點(diǎn)。規(guī)律 66 有下列情況時常構(gòu)造梯形中位線有一腰中點(diǎn) 有兩腰中點(diǎn)涉及梯形上、下底和規(guī)律 67 連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為平行四邊形。規(guī)律 68 連結(jié)對角線相等的四邊形中點(diǎn)所得的四邊形為菱形。規(guī)律 69 連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為矩形。規(guī)律 70 連結(jié)對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的 四邊形為正方形。規(guī)律 71 連結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各邊 中點(diǎn)所得的四邊形分別為平行四邊形、 菱形、矩形、正方形、 菱形。規(guī)律 72等腰梯形的對角線互相垂直時，梯形的高等于兩底和的 一半 （或中位線的長 ） 。規(guī)律 73 等腰梯

13、形的對角線與底構(gòu)成的兩個三角形為等腰三角 形。規(guī)律 74如果矩形對角線相交所成的鈍角為1200,則矩形較短邊是對角線長的一半。規(guī)律 75 梯形的面積等于一腰的中點(diǎn)到另一腰的距離與另一腰 的乘積。規(guī)律 76若菱形有一內(nèi)角為120°,則菱形的周長是較短對角線長的 4 倍。相似形和解直角三角形部分 規(guī)律 77 當(dāng)圖形中有叉線 （基本圖形如下 ） 時，常作平行線。規(guī)律 78 有中線時延長中線 （ 有時也可在中線上截取線段 ） 構(gòu)造 平行四邊形。規(guī)律 79 當(dāng)已知或求證中，涉及到以下情況時，常構(gòu)造直角三角 形。有特殊角時，如有 30°、45°、60°、 120°

14、、 135° 角時 .涉及有關(guān)銳角三角函數(shù)值時 . 構(gòu)造直角三角形經(jīng)常通過作垂線來實(shí)現(xiàn) . 規(guī)律 800° 、 30° 、 45° 、 60° 、 90° 角的三 角函數(shù)值表。另外： 0° 、 30° 、 45° 、 60° 、 90° 的正弦、余弦、正切值也可用下面的口訣來記憶：0° 可記為北京電話區(qū)號不存在，即： 010 不存在， 90° 正好相反30° 、 45° 、 60° 可記為：1、2、3、3、2、1，3、9、27， 弦比 2，切比 3， 分子根號別忘添

15、. 其中余切值可利用正切與余切互為倒數(shù)求得。規(guī)律 81 同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：(1) . 平方關(guān)系： sin?2;α+cos?2;α=1(2) . 倒數(shù)關(guān)系： tanα·cotα=1(3) . 商數(shù)關(guān)系： 規(guī)律 82 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值 ; 任意銳角的 余弦值等于它的余角的正弦值。規(guī)律 83 任意銳角的正切值等于它的余角的余切值 ; 任意銳角的 余切值等于它的余角的正切值。規(guī)律 84 三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角正弦之積的一 半。規(guī)律 85 等腰直角三角形斜邊的長等于直角邊的 √2 倍。 規(guī)律

16、86在含有30°角的直角三角形中，60o角所對的直角 邊是 30° 角所對的直角邊的 √3 倍。（ 即 30° 角所對的直角邊是幾，另一條直角邊就是幾倍 √3 。）規(guī)律 87直角三角形中，如果較長直角邊是較短直角邊的 2 倍， 則斜邊是較短直角邊的 √5 倍。圓部分規(guī)律 88 圓中解決有關(guān)弦的問題時，常常需要作出圓心到弦的垂 線段 （即弦心距 ）這一輔助線，一是利用垂徑定理得到平分弦 的條件，二是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題。規(guī)律 89有等弧或證弧等時常連等弧所對的弦或作等弧所對的 圓心角。規(guī)律 90有弦中點(diǎn)時常連弦心距。規(guī)律 91證明弦相等或已知弦相等時常作弦心距。規(guī)律 92有弧中點(diǎn) （ 或證明是弧中點(diǎn) ） 時，常有以下幾種引輔助線 的方法：連結(jié)過弧中點(diǎn)的半徑連結(jié)等弧所對的弦連結(jié)等弧所對的圓心角 規(guī)律 93 圓內(nèi)角的度數(shù)等于它所對的弧與它對頂角所對的弧的 度數(shù)之和的一半。規(guī)律 94 圓外角的度數(shù)等于它所截兩條弧的度數(shù)之差的一半。規(guī)律 95 有直徑時常作直徑所對的圓周角，再利用直徑所對的圓 周角為直角證題。規(guī)律 96 有垂直弦時也常作直徑所對的圓周角。規(guī)律 97 有等弧時常作輔助線有以下幾種