平面向量與三角形四心問題

1、平面向量基本定理與三角形四心已知是內(nèi)的一點，的面積分別為，求證：如圖2延長與邊相交于點則圖1 圖2 推論是內(nèi)的一點，且，則有此定理可得三角形四心向量式是的重心是的內(nèi)心是的外心是的垂心 證明：如圖為三角形的垂心，同理得，奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一4.2三角形“四心”的相關向量問題一知識梳理：四心的概念介紹：(1) 重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1；(2) 垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直；(3) 內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；(4) 外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等。l 與“重心”有關的向量問題1

2、 已知是所在平面上的一點，若，則是的( )A重點B外心C內(nèi)心D垂心如圖.M 圖圖 2已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則的軌跡一定通過的( ).A重點B外心C內(nèi)心D垂心【解析】由題意，當時，由于表示邊上的中線所在直線的向量，所以動點的軌跡一定通過的重心，如圖.3 .O是ABC所在平面內(nèi)一點，動點P滿足（0，+），則動點P的軌跡一定通過ABC的（）A內(nèi)心B重心C外心D垂心解：作出如圖的圖形ADBC，由于sinB=sinC=AD，=由加法法則知，P在三角形的中線上故動點P的軌跡一定通過ABC的重心故選：Bl 與“垂心”有關的向量問題3 是所在平面上一點，若，則是的( )A重點B

3、外心C內(nèi)心D垂心【解析】由，得，即，所以同理可證，是的垂心如圖. 圖圖4已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則動點的軌跡一定通過的( )A重點B外心C內(nèi)心D垂心【解析】由題意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即點在過點且垂直于的直線上，所以動點的軌跡一定通過的垂心，如圖.5若為所在平面內(nèi)一點，且則點是的( )A重點B外心C內(nèi)心D垂心BCHA圖6證明: 得即 同理， 故H是ABC的垂心l 與“內(nèi)心”有關的向量問題6已知為所在平面上的一點，且， 若，則是的( )A重點B外心C內(nèi)心D垂心圖圖【解析】，則由題意得，與分別為和方向上的單位向量，與平分線共線，即平分同理可證：平分，平分從

4、而是的內(nèi)心，如圖.7已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足 ，則動點的軌跡一定通過的( )A重點B外心C內(nèi)心D垂心【解析】由題意得，當時，表示的平分線所在直線方向的向量，故動點的軌跡一定通過的內(nèi)心，如圖.8若O在ABC所在的平面內(nèi)：=，則O是ABC的（）A垂心B重心C內(nèi)心D外心解：向量的模等于1，因而向量是單位向量向量、和等都是單位向量由向量、為鄰邊構成的四邊形是菱形，可得AO在BAC的平分線上同理可得OB平分ABC，OA平分ACB，O是ABC的內(nèi)心故選：Cl 與“外心”有關的向量問題8已知是所在平面上一點，若，則是的( )A重點B外心C內(nèi)心D垂心圖圖【解析】若，則，則是的外心，

5、如圖。9 已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則動點的軌跡一定通過的( )。A重點B外心C內(nèi)心D垂心【解析】由于過的中點，當時，表示垂直于的向量（注意：理由見二、4條解釋。），所以在垂直平分線上，動點的軌跡一定通過的外心，如圖l 四心的相互關系1.三角形外心與垂心的向量關系及應用設的外心為，則點為的垂心的充要條件是。2.三角形外心與重心的向量關系及應用設的外心為，則點為的重心的充要條件是3.三角形的外心、重心、垂心的向量關系及應用設的外心、重心、垂心分別為、，則、三點共線（、三點連線稱為歐拉線），且。相關題目10設ABC外心為O，重心為G取點H，使求證：（1）H是ABC的垂心；（2）O，G，H三點共線，且OG：GH=1：2【解答】證明：（1）ABC外心為O，又則=0即AHB