一線三角模型及例題

1、相似三角形判定的復習：1. 相似三角形的預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。2. 相似三角形的判定定理：(1) 兩角對應相等兩三角形相似。(2)兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似。(3) 三邊對應成比例，兩個三角形相似。3. 直角三角形相似的判定定理：(1) 直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。(2) 一直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩三角形相似。相似三角形的性質(zhì)：要點 1：相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應角相等，對應邊成比例要點 2：相似三角形的性質(zhì)定理：

2、相似三角形的性質(zhì)定理1：相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比相似三角形的性質(zhì)定理2：相似三角形的周長的比等于相似比相似三角形的性質(zhì)定理3：相似三角形的面積的比等于相似比的平方要點 3：知識架構圖對應角相等、對應邊成比例對應高之比、對應中線之比、對應角平分線之比都等于相似比相似三角形的性質(zhì)周長之比等于相似比面積之比等于相似比的平方1、如圖，銳角? ABC的高 CD和 BE相交于點O，圖中相似三角形有多少對？請分別寫出.ADEOBC2、如圖，在銳角? ABC中， ADE= ACB，圖中相似三角形有多少對？請分別寫出.ADEOBC3、如圖已知 BAC= BDC=90， S

3、 EBC 16, S ADE8 . 問： BEC的大小確定嗎？若確定，求期度數(shù)；若不確定，請說明理由 .ADEBC4、如圖，在 ABC 中， BAC90o ， AD 是 BC 邊上的高，點 E 在線段 DC 上， EFAB， EGAC ，垂足分別為 F，G 求證：（1） EGCG ；ADCD（ 2） FD DGAGFBDEC5、如圖，四邊形ABCD 中， AC 與 BD 交于點 E，ACAB,BDCD. S? EBC=16， S? AED =8.(1) 求 AD 的值；BC（ 2）問： BEC 是不是定角？如果是，把它求出來；如果不是，請說明理由.ADEBC5、如圖，在 ABC 中，角ACB為

4、直角， CDAB于點D，又 ACE與 BCF 都是等邊三角形，連結(jié)DE、 DF；求證 :DEDFFECBAD中考熱點：一線三等角型的相似三角形一、問題引入如圖，ABC中，B90 ，CDAC，過 D 作 DEAB交 BC延長線與 E。求證：ABC :CEDADBCE三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：其他常見的一線三等角圖形（等腰三角形中底邊上一線三等角）（等腰梯形中底邊上一線三等角）AEDFBC（直角坐標系中一線三等角）（矩形中一線三等角）等角的頂點在底邊上的位置不同得

5、到的相似三角形的結(jié)論也不同，當頂點移動到底邊的延長線時，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過認真做題，細細體會。（1）等腰三角形中一線三等角例 1、如圖，已知在 ABC 中， AB= AC=6 ， BC=5， D 是 AB 上一點， BD =2 ， E 是 BC 上一動點，聯(lián)結(jié)DE ，并作 DEFB ，射線 EF 交線段 AC 于 F（ 1）求證： DBE ECF；（ 2）當 F 是線段 AC 中點時，求線段BE 的長；（ 3）聯(lián)結(jié) DF ，如果 DEF 與 DBE 相似，求 FC 的長AADFDBECBC講解： 1、本題中，第一問的結(jié)論是這類題共同的特性，只要等腰三角形

6、底邊上有三等角，必有三角形相似；2、第二問中根據(jù)相似求線段的長，也很常見；有時候會反過來問，線段的長是多少是，三角線相似。變式練習1 就是這類題型；3、第三問中間的三角形與左右兩個形似時有兩種情況，一種是DF 與底邊平行，一種是E 為中點；4、在等腰三角形，將腰延長會交于一點，也構成等腰三角形，故而以上三點，在等腰梯形中也適用。變式練習1 （浦東新區(qū)22 題）如圖，已知等邊ABC 的邊長為8，點D 、 F、 E 分別在邊AB、BC、AC 上，BD3， E為AC 中點，當BPD 與PCE 相似時，求BP的值.變式練習2（寶山22 題）如圖6，已知ABC 中，ABAC,點E、F在邊BC 上，滿足E

7、AF=C.求證： BFCEAB2 ；ABCEF變式練習3如圖，在三角形 ABC 中， AB=4 ，AC=2 ， A =900，點 D 為腰 AC 中點，點 E 在底邊 BC 上，且 DE BD ，求 CED 的面積。變式練習4已知 ABC=90 ， AD BC， P 為線段 BD 上的動點，點PQADQ 在射線 AB 上，且滿足，當 AD p AB ，PCAB且點 Q 在線段 AB 的延長線上時，求QPC 的大?。?）等腰梯形中一線三等角例 1、（長寧區(qū) 18 題）如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD2，BC 42，B45?，直角三角板含 45 度角的頂點 E 在邊 BC 上移動，一直角邊

8、始終經(jīng)過點A ，斜邊與 CD 交于點 F . 若 ABE 為等腰三角形，則 CF 的長等于.ADFBEC第18題例 2、如圖，梯形ABCD 中， AB DC， B=90， E為 BC 上一點，且ABE ECD。（ 1）若BC=8 ， AB=3 ， DC=4 ，求BE 的長（2）若BC=43 ， AB=3 ， DC=4 ，求BE的長.（ 3）若 BC=6 ， AB=3 ， DC=4 ，求 BE 的長 .例 3、如圖，梯形 ABCD 中， AB CD ， ABC=900 ，AB=8 ，CD=6 ，在 AB 上取動點 P，連結(jié) DP，作 PQ DP ，使得 PQ 交射線 BC 與點 E，設 AP=x

9、 ， BE=y 。（ 1）當 BC=4 時，試求 y 關于 x 的函數(shù)關系式；（ 2）當 BC 在什么范圍時，存在點 P，使得 PQ 經(jīng)過點 C（直接寫出結(jié)果） 。例 4、（徐匯區(qū)25）如圖，在梯形ABCD 中，ADBC，ABCDBC6 ，AD3 點M為邊BC的中點，以M為頂點作EMFB ，射線ME 交腰AB 于點E ，射線MF交腰CD于點F，聯(lián)結(jié)EF（ 1）求證：MEFBEM；（ 2）若BEM是以BM為腰的等腰三角形，求EF 的長；（ 3）若EFCD ，求BE 的長例 4、（楊浦區(qū)基礎考） 四邊形 ABCD 中， AD BC ， ABC0o90o ， AB DC3，BC5 點P 為射線 BC

10、 上動點（不與點 B 、C 重合），點 E 在直線 DC 上，且APE記 PAB1， EPC2 ，BP x， CEy （ 1）當點 P 在線段 BC 上時，寫出并證明1與2的數(shù)量關系；（ 2）隨著點 P 的運動，（1）中得到的關于1與2的數(shù)量關系，是否改變？若認為不改變，請證明；若認為會改變，請求出不同于（ 1）的數(shù)量關系，并指出相應的x 的取值范圍；（ 3）若 cos=1 ，試用 x 的代數(shù)式表示y 3（3）坐標系中一線三等角例 1、（金山區(qū)24）如圖，住平面直角系中，直線AB ： y4x4 a0分別交x 軸、y 軸于B 、A 兩點，直線 AE 分別交x 軸、y 軸于E 、A 兩點，D 是

11、x 軸上的一點，OAOD ，過D作CDx 軸交AE于C，連接B C ，當動點B 在線段OD 上運動（不與點O點 D 重合）且ABBC 時(1)求證：ABO BCD ； (2)求線段CD 的長（用a 的代數(shù)式表示） ；(3)若直線AE 的方程是y13 xb ，求tanBAC 的值16例、如圖，在直角坐標系中，直線y1 x 2 與軸，軸分別交于，兩點，以為邊在第二象限內(nèi)作2矩形，使AD5，求點的坐標變式練習1在平面直角坐標系XOY中，AOB 的位置如圖所示，已知AOB900,A600, 點A 的坐標為3,1（ 1） 求點 B 的坐標；（ 2） 若拋物線 y ax 2 bx c 經(jīng)過 A、 O、 B

12、 三點，求函數(shù)解析式。變式練習 2如圖所示： RT AOB 中 AO B=90 ， OA=4 ， OB=2 ，點 B 在反比例函數(shù) y2A 的雙曲線解圖像上，求過點x析式。變式練習 3如圖，在平面直角坐標系中，OB OA ，且 OB 2OA ，點 A 的坐標是 ( 1，2)求過點A、O 、B 的拋物線的表達式；（4）矩形中一線三等角如圖， 四邊形是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點在軸上， 點在軸上， 將邊折疊，使點落在邊的點D 處已知折疊線 CE 且 CE 5 5， tan EDA3,求直線與軸交點的坐標；4例 6、（長寧區(qū)24 題）如圖，在矩形ABCD 中，AB4 ，AD6 ，點P 是

13、射線DA 上的一個動點，將三角板的直角頂點重合于點P ，三角板兩直角中的一邊始終經(jīng)過點C ，另一直角邊交射線BA 于點E （ 1）判斷EAP與PDC 一定相似嗎？請證明你的結(jié)論；（ 2）設PDx ，AEy ，求y 與 x的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域；（ 3）是否存在這樣的點P ，是EAP 周長等于PDC 周長的2 倍？若存在，請求出PD 的長度；若不存在，請簡要說明理由PADEBC“一線三等角”專題練習一、知識梳理：1、如圖 1， AB AC，B ADE ，那么一定存在的相似三角形有；2、如圖 2， AB AC，B EDF ，那么一定存在的相似三角形有；AFAEEBBCD圖 13、在等腰 A

14、BC 中，腰長 10 厘米，底邊長點 P 運動到 PA 與腰垂直的位置時，點CD圖 216 厘米， 點 P 在底邊上以0. 5 厘米 / 秒的速度從點B 向點 C 移動當P 的運動時間為秒二、經(jīng)典例題解析1、如圖，在ABC 中， AB AC=4，BC 6， B ADE ，點 D、E 分別在 BC、AC 上（點 D 與 B、C 不重合），設 BD x ，AE y ，求 y 關于 x 的函數(shù)解析式及x 的取值范圍。AEBDC2、如圖：在直角梯形 ABCD中， AD BC， B = 90 ， DH BC于 H， AB = 6 ， BC = 16 ， DC = 10 ，線段 BC上有一動點 E（不與點

15、 C重合），過點 E 作 EF DC交線段 DC于點 F. （ 1）求 CH的長；（ 2）設 BE = x ， EF = y ，求 y 關于 x 的函數(shù)解析式及x 的取值范圍；（ 3）當以 E、 F、 C 為頂點的三角形與ABE相似時，求BE 的長 .ADFBEHC3、如圖，在Rt ABC 中， ACB=90o，AB=10 ， AC=6 ，點 E、F 分別是邊AC、BC 上的動點，過點E 作 ED AB 于點 D，過點 F 作 FGAB 于點 G， DG 的長始終為2（ 1）當 AD =3 時，求 DE 的長；（ 2）當點 E、F 在邊 AC、BC 上移動時，設ADx ， FGy ，求 y 關

16、于 x 的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（ 3）在點 E、F 移動過程中， AED 與 CEF 能否相似，若能，求 AD 的長；若不能，請說明理由CEFADGB4、已知在梯形ABCD 中， AD BC， AD BC，且 BC =6 ， AB= DC=4 ，點 E 是 AB 的中點（ 1）如圖 3，P 為 BC 上的一點，且 BP=2 求證： BEP CPD；（ 2）如果點 P在 BC 邊上移動（點 P 與點 B、C 不重合），且滿足 EPF= C， PF交直線 CD 于點 F，同時交直線 AD 于點 M，那么當點 F 在線段 CD 的延長線上時， 設 BP= x ，DF= y ，求 y 關于

17、 x 的函數(shù)解析式， 并寫出函數(shù)的定義域；當 S DMF9 S4BEP 時，求BP 的長ADEBPC5、（ 2009 閘北 22 題）（本題滿分10 分，第（ 1）小題滿分3 分，第（ 2）小題滿分7 分）如圖七，在平面直角坐標中，四邊形 OABC是等腰梯形，OA=7，AB=4， COA=60 ，點 P 為 x 軸上的 個動點，但是點CB OA，P不與點 0、點 A 重合連結(jié)CP， D 點是線段 AB上一點，連結(jié)PD.(1) 求點 B 的坐標；(2) 當 CPD=OAB，且 BD = 5 ，求這時點 P 的坐標 .AB86、如圖，已知在ABC 中， AB=AC=8 ， cosB= 5 ， D

18、是邊 BC 的中點，點E、F 分在邊 AB 、 AC 上，且 EDF=8 B，連接 EF（ 1）如果 BE=4 ，求 CF 的長；（ 2）如果 EF BC，求 EF 的長7、（徐匯2009 年 25題）如圖，ABC 中， AB AC 10 ， BC 12 ，點 D 在邊 BC 上，且 BD4，以點 D為頂點作EDFB ，分別交邊AB 于點 E ，交射線 CA于點 F （ 1）當AE6 時，求AF的長；（ 2）當以點C 為圓心CF 長為半徑的C 和以點A 為圓心AE 長為半徑的A 相切時，求BE 的長；（ 3）當以邊AC 為直徑的O 與線段DE 相切時，求BE 的長AAEFBDCBDC知識總結(jié)：

19、補 充：關于“一線三等角”圖形的提煉及變式：當為銳角時：AADDEEEBCBCBCPPP當為直角時：當為鈍角時：DEEFBPCBPC總結(jié)：在教學中要突出重點、深化學生對于“一線三等角 ”模型的理解；把握難點：“一線三等角 ”模型變式；通過問題建構，關注課堂再生資源的挖掘，引導學生對于幾何綜合習題的有效分解具體的1在教學中通過 “回憶舊知 ”環(huán)節(jié)的師生互動過程讓 95% 學生掌握解函數(shù)型綜合題需要的必備知識儲備2在教學中通過一個 “一線三等角 ”模型綜合題的有效分析引導過程，讓95% 的學生樹立幾何型綜合題的解決的信心，讓75% 的學生能夠順利解決前兩小題，培養(yǎng)更多的學生具備解決最后壓軸點一小題

20、的能力3 在教學中通過有效分解策略的實施，打破他們對綜合題的畏懼心理，讓同學們加深對于題目條件的使用：條件用完，即使題目沒有求解完畢，也得到相應的分數(shù)，提高問題解決的能力，在這個師生共同探討的過程中鼓勵學生嘗試著加強解后反思與培養(yǎng)他們欣賞試題的能力【課后作業(yè)】1、如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P 是射線CD上一動點.將一把三角尺的直角頂點與P 重合，一條直角邊始終經(jīng)過點B，另一條直角邊所在直線與射線AD相交于點E. 設CP=x ， DE=y.（ 1）當點P 在線段CD上時，求證：BPC PED ；（ 2）當點P 在線段CD的延長線上時，求y 與x 的函數(shù)解析式及自變量x 的取值范圍；（

21、3）當DE=1時，求CP的長 .AEDPBC2、如圖，在矩形ABCD 中， E 為 AD 的中點， EFEC 交 AB于點 F ，聯(lián)結(jié) FC ( ABAE) （ 1） AEF 與 EFC 是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；（ 2）設 ABk ，是否存在這樣的k 值，使得 AEF BFC ？若存在，證明你的結(jié)論并求出k 的值；若不BC存在，請說明理由DCEAFB（第 12題）3、等腰 ABC ，AB=AC= ，BAC=120 ，P 為 BC 的中點，小慧拿著含30 角的透明三角板，使30 角的頂點落在點 P，三角板繞P 點旋轉(zhuǎn)（ 1）如圖 a，當三角板的兩邊分別交AB 、 A

22、C 于點 E 、F 時求證：BPE CFP；（ 2）操作：將三角板繞點P 旋轉(zhuǎn)到圖b 情形時，三角板的兩邊分別交BA 的延長線、邊AC 于點 E、 F探究： BPE 與 CFP 還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）探究：連結(jié)EF， BPE 與 PFE 是否相似？請說明理由；設 EF=m ， EPF 的面積為S，試用 m 的代數(shù)式表示SEAAEFFBCBCPP4、如圖，在邊長為1 的正方形ABCD 中，點 E 在邊 BC 上 (與端點不重合 )，點 F 在射線 DC 上（ 1）若 AF= AE ，并設 CE = x， AEF 的面積為 y，求 y 關于 x 的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（ 2）當 CE 的長度為何值時， AEF 和 ECF 相似 ?1（ 3）若 CE，延長 FE 與直線 AB 交于點 G，當 CF 的長度為何值時，EAG 是等腰三角形？4DFCDCEBB0，點 D 為腰 BC 中點，點 E 在底邊 AB 上，且 DEAD, 則 BE 的5、如圖，在 ABC 中， AC= BC=2 ， C=90長為.CDAEB6、如圖，? ABC中， ACB=90， A=60，AC=2， CD AB，垂足為D. 任意作 EDF=60， 點 E、F 分別在AC、 BC上 . 設 AE=x， BF=y.（ 1）求 y 關于 x 的函數(shù)關系式，并